XLIV. Trouver trois nombres tels, que leur somme multi
pliée parle premier, donne pour produit un nombre triangulaire (de la forme x ( x + l ) ^ ^ q Ue ce tte somme, multipliée par
le second, donne un carré, et multipliée par le troisième, donne un cube.
Solution. J'appelle la somme h*, et je suppose que , , sont les trois nombres, a sera triangulaire,
P carré, y cube. Or, la somme des trois nombres étant n% on trouve N 4 = a+ P+y. H faut donc trouver un triangulaire , un carré et un cube qui fassent en somme une quatrième puissance. Je fais le carré égal a n 4 — 2 n 8 + 1, le cube égal a 8, le triangulaire vaudra, à cause delà dernière égalité, 2N 9 — 9
(mais 8 fois un triangulaire ■ r ( J ^- ï ) égale (a x-\- i)* — t)
donc (2K a — q)8-|-i sera un carré; nous l'égalerons à
(4 n— 1)' , d'où n=9- Les nombres cherchés seront ,
obs. de fermât. Bachet na pas fait un essai assez exact. Prenons un cube quelconque , celui dont le côté est un multiple de ?>plus 1. On égalera par exemple aw 9 — 344 a un triangulaire, ow 161s'— 3751 à un carré, dont on supposera, par exemple, le côté 4n — 3 ; mais rien n empêche qu'au lieu du nombre 3 nous n'employions les autres nombres impairs à l'infini , en variant les cubes.
Ce qui précède exige quelques explications. D'abord le problème de Diophante sera résolu si nous décomposons une quatrième puissance x* en un triangulaire /, un carré q et un cube c, car alors
toc
x*z=t c et a; a = -j-|--p-f-— . ^ est c ^" r *l ue * e sccon d
membre de cette dernière étant égal à x* , sa valeur multipliée successivement par 4j. , ~ , ~ donnera un triangulaire , un carré
x xr xr
ou un cube ; mais 8 fois un triangulaire plus 1 fait un carré
^ 8 (/<) (fl-H) ^ | = ( aw | !)* Si, conformément à Phypothèsc de
Fermât , le premier nombre donné est a — 7* — 1 , on exprimera qu'il est triangulaire en faisant 16 N a — 8.7* — 7 égal à nu carré à (4n — 3)* par exemple. Le premier nombre étant donc triangulaire, on aura évidemment N 4 z=(2N a — 7* — i)H-7*-h(N 4 — 2 N*-f- 0- Celte dernière identité résout ( après la détermination de n ) le problème.
XLV. Trouver trois nombres tels , que la différence du plus grand et du moyen , soit dans un rapport donne , à la différence du moyen et du plus petit. Il faut de plus que la somme de deux quelconques des trois nombres soit un carré.
Solution. Supposons que le rapport de l'excès du grand sur le moyen soit triple de l'excès du moyen sur le plus petit; nous prendrons pour le plus petit nombre 2 — n, pour le moyen n -f- 2 ; le plus grand surpasse le moyen du triple de l'excès 2 n des deux premiers , il sera donc 7 n -f-2. Mais comme le plus petit et le moyen font en somme le carré 4, il faudra encore que le petit, plus le grand, savoir: 6n-|~4 » I e moyen plus le grand 8 n -f~4 soient des carrés , ce qui sera aisé ; mais il faudra que n soit moindre que 2 pour que le plus petit nombre 2 — n soit positif. Les trois carrés de notre question sont donc : 8 N-f 4 » 6n+4 et 4 ; l'excès 2 n du plus grand sur le moyen est le tiers de 6n, excès du moyen sur le plus petit 4- Nous pouvons mettre 6n+4 sous la forme x % +4x+$ -> alors8is-f-4 aura la
forme ~> x*+(5 -\ — ^Jx-{-/\. Cette expression, multipliée par , sera encore un carré ; j'égalerai donc : 3jt ,9 -|- 1 2 x-k-g h (3-ax) J , d'où x=. , niais
puisqueGN-r-^C^-r- 2 )'^* x < 2 on ai* <2; or, pour que x < 2 , on peut prendre a= 5. D'où x = — , et par suite
w= -^jJ , donc les trois nombres 2 — n , N-+-2 , 7 n+ 2 58 1878 T3a3
obs. de fermât. Qu on propose cette double égalité, savoir 3N-H5 et 6n-+-3 égaux à des carrés, le carré égal à 2N-f5serai6, et celui égal à 6n-|-3 sera 36; on peut en trouver a" autres, à l'infini, satisfaisant à la question, et il n est pas difficile de proposer une règle générale pour la solution des questions de ce genre. De sorte que la limitation de Bachet est à peine digne £un homme si éminent , puisqu'on peut étendre à un nombre infini de cas , et à tous les cas possibles , ce quil na trouvé que pour deux cas seulement
XLVI. Trouver trois nombres tels , que l'excès du carré du plus grand sur le carré du moyen soit, à la différence du moyen et du petit, dans un rapport donné. Il faut de plus que la somme de deux quelconques des trois nombres soit un carré.
Solution. Le rapport des deux différences sera 3 , j'appelle le plus grand 81s a +a , le moyen 8 n 4 — a , leur somme est un carré , et pour que le plus grand plus le petit , donne en somme un carré, je fais le petit égal h n' — a. La différence des carrés du grand et du moyen , c'est-à-dire 3q a n * , vaut 3 fois 7 n a , différence du moyen et du petit ;
d'où on conclut : a= il restera a faire que la somme du moyen 8 n 1 — ^- , plus le petit n * — -j-p soit un carré. Cette somme sera égaléeà(3N— 6)', d'oùN=-^|;
