LIVRE V

I. Trouver trois nombres en progression géométrique tels, que, en diminuant chacun d'un nombre donné, les trois restes soient des carrés.

Solution. Nombre donné 12; or il est aisé de trouver un carré tel que 4* -h -4- , qui , diminué de 1 2 , donne pour reste un carré. Posons la proportion 424— -p :(6H — : : (6+-j-)n : n\ il faudra déterminer n de telle sorte que s* — 12 et(6n — n — 12 soient des carrés. Ces carrés auront pour différence n' — (6h — n=n ^ n — (6h — j-J^' Le côté du plus petit des carrés vaudra la demi-différence des facteurs , ou 3+ ^ , par suite n = -^-. Le premier nombre sera :

42 H — 7- , le second — V» ïe troisième — 5-^-. ^ 4 io 4 10816

IL Trouver trois nombres en progression géométrique tels , que la somme qu'on obtient , en ajoutant a chacun un nombre donné , soit un carré.

Solution. Nombre donné 20. Cherchons un carré a" qui, augmenté de 20, donne pour somme un nouveau carré; et posons a a : aN : : aN : n*. Il faudra déterminer n de telle sorte que aN +20 et N a -H 20 soient des carrés ; la différence de ces carrés sera n(n — a) ; le plus petit de ces carrés aura

pour côté — , demi-différence des facteurs ; on aura donc aN-|- 20=-^-. Pour que n soit positif, il faut que-^r- > 20 ; posant a=-y- on satisfait a cette condition, et par suite

n=~^-. Le premier nombre sera 90 -~ , le second

38ûi , . 1681 e , le troisième —= — T .

III. Trouver trois nombres tels , que si a chacun d'eux , ou à chacun de leurs produits deux a deux , on ajoute un nombre donné , les sommes soient toujours des carrés.

Solution. Diophante fait usage du lemme suivant : si on a les deux quantités a* — m, (a-h/r)' — m, on pourra

tormer les trois expressions : — ^ — , ~ — ' — jr ,

2(*«-|-(*-f-M' — j/h)- k* . ■ . i.# 1 xi 1

£ , qui multipliées deux a deux, el les

produits étant augmentés de m , feront toujours des carrés. Dans l'exemple actuel, le nombre donné est 5 ; Diophante , conformément aux trois expressions précédentes , supposant À==i , /w=5, prend les trois quantités : (n -|- 3) * — 5 , (n-|- 4) a — 5 et 2(N-h3) a + 2(N + 4) a — 21 qui satisfont à toutes les conditions du problème, pourvu que la dernière expression 4 w * + 28n-|-29 , augmentée de 5

fasse un carré , par exemple (2 n +6) 1 ; d'où n = -7j- ; par

suite les trois nombres demandés seront

obs. de fermât. De cette proposition on peut facilement déduire la question suivante : Trouver quatre nombres , par cette condition que le produit de deux quelconques , augmenté d'un nombre donné , fasse un carré. Trouvons trois nombres satisfaisant à la question , de telle sorte que chacun tfeux, augmenté a" un nombre donné, fasse un carré , tfaprès la proposition précédente ; appelons le nombre qui reste à trouver n H- 1 , il en résultera une triple égalité dont la solution sera immédiate par le moyen de notre méthode

C voyez la note à la 2 4 e question du livre 6 J. Ainsi sera résolue la question que propose Bachet à la 1 2 e proposition du livre 3 de Diophante , par notre méthode , qui est de beaucoup plus générale que celle de Bachet , et qui dans notre solution présente cela de particulier que les trois premiers nombres, augmentés dïun nombre donné, font des carrés. Mais la question peut-elle être résolue par le même procédé si le quatrième nombre, augmenté du nombre donné , doit faire un carré? Jusqu'ici nous l'ignorons; cela sera recherché ultérieurement,

IV. Trouver trois nombres tels, qu'en diminuant chacun d'eux d'un nombre donné , et en diminuant aussi chacun de leurs produits deux à deux de ce nombre , les restes soient des carrés.

Solution. Nombre donné 6. On suivra la méthode de la question précédente. Les nombres du problème auront la forme :n* +6, (N+ i)*H-6, 2 s *H-2(N-t-i) a -h26 — i.

V. Trouver trois carrés tels, qu'un produit de deux quelconques, augmenté de leur somme, ou du troisième carré , donne en somme un carré.

Solution. a a ,(a-hi)\ Qa 4 + 2(a-f i)'+2 sont des quantités telles que le produit de deux de ces quantités augmenté de leur somme, ou de la quantité qui reste, donne pour résultat un carré. Diophante suppose cc = n+ i. Les trois quantités (n-+-i)% (n+2) 9 , 2 (n+ i) , + 2(N-f satisfont a l'énoncé pourvu que la dernière soit un carré , par

exemple le carré de ( 2 n — 6) ; d'où n = - j-, et les nombres cherchés sont : — , — , .

VI. Trouver trois nombres tels , qu'en ôlant 2 de chacun , les restes soient des carrés, et qu'en ajoutant au produit de

deux quelconques la somme des facteurs, les résultats soient des carrés.

Solution. Nombres N' + a^N+^-f-a, 4 N * ~r*4 , il reste a trouver n par cette condition que le dernier moins a , fasse un carré ; on égale donc : 4^ a -f4 ?i -*-4^ ( N ~ 2 )% d'où n = — . Le premier nombre est ^ , le second-^ ,

le troisième — *-=- .

VII. Trouver deux nombres tels , que si ou ajoute leur produit avec la somme des carrés des deux , le résultat soit un carré.

Solution. Premier nombre 1 , second n , il faut que n' + n + i soit un carré. On l'égale à (n — 2)*, d'où