DES CONTACTS SPHÉRIQUES

Fermai se propose ce problème : « trouver une sphère » tangenle a quatre sphères données ; » il parvient à sa solution, en résolvant une suite de questions qui sont des cas particuliers du problème général, par une méthode analogue à celle dont Viete avait déjà fait usage pour les contacts des cercles. On a reproché à Fermai de n'avoir pas traité directement le problème qui fait le fond de son travail ; mais il faut remarquer qu'en décomposant la question , elle devient d'une extrême simplicité, et elle n'exige que le secours de la géométrie la plus élémentaire.

1° Déterminer une sphère qui passe par quatre points donnés, A, B, C, D.

( Fig. 17.) Trois poinls A, B, C, déterminent un petit cercle de la sphère et la perpendiculaire oni élevée au centre o du petit cercle sur son plan, passe par le centre de la sphère ; mais si du quatrième point D on mène Dm perpendiculaire à /«o, el ioh parallèle à Dm, il est clair que le plan passant par les droites i/i, D m sera un plan de grand cercle , et que par suite le centre s, d'une circonférence passant par les points D, i, h, sera le centre de la sphère.

2° Déterminer une sphère , passant par trois points A,B,C, et tangente a. un plan donné.

i8.) On connaît, comme dans le cas précédent, le petit cercle ABC et la perpendiculaire om qui contient le centre de la sphère; cette ligne coupe le plan donné en m, et si on abaisse ok perpendiculaire a ce plan, la droite km sera tangente au grand cercle de la sphère , dont le plan passe par om , ko. Supposons que ef soit l'intersection de ce plan avec le petit cercle , le grand cercle tangent a km passera par les points e et f. Pour trouver le point de contact, c'est-à-dire un quatrième point de la sphère, il suffira de mener par les deux points e, / une circonférence tangente à la droite k m , problème très-simple.

(Fig. 19.) 3° Déterminer une sphère passant par trois points A , B, C, et tangente k la sphère du rayon ig. Faisant les constructions précédentes , il est clair que le contact des deux sphères aura lieu sur la ligne si qui joint le centre cherché s avec / ; mais e f étant parallèle à im , le plan imo du grand cercle coupera les deux sphères suivant deux cercles tangents. Par suite , pour trouver le centre s, il faudra , par les points e, /i mener une circonférence tangente k la circonférence /g, problème connu.

4° Trouver une sphère tangente k quatre plans donnés.

5° Déterminer une sphère qui touche trois plans P, P ', P" et qui passe par un point donné A , on mènera deux plans qui divisent les dièdres PP', PP" en deux parties égales, et on trouvera une droite m passant par le centre de la sphère cherchée ; si du point A on abaisse , Ao perpendiculaire k cette droite , la circonférence de rayon A o sera sur la sphère , qui sera déterminée par le 2°, puisque cette sphère passera par trois points quelconques de la circonférence , et qu'elle sera tangente k un des plans P, P' , P".

6° On veut déterminer une sphère tangente k trois plans et k une sphère donnée.

(Fig. 20.) La sphère a pour centre i et pour rayon ic.

Nous mènerons trois plans A, A', A" parallèles aux plans donnés, et qui en soient distants du rayon ic\ cela fait, nous construirons une sphère tangente aux trois plans A , A' , A" et passant par le point /. Le centre o de cette sphère sera aussi le centre de la sphère cherchée.

7° On donne deux plans P, P' et deux points A , B ; on veut trouver une sphère tangente aux deux plans et passant par les deux points : le centre de la sphère cherchée sera sur le plan bissecteur du dièdre PP' , et sur le plan perpendiculaire au milieu de la corde qui joint les points A , B. Ces deux plans se couperont suivant une droite m; par conséquent, si on mène des points A, B des perpendiculaires sur la droite m , on aura les rayons de deux petits cercles de la sphère ; quatre points pris sur ces cercles ramèneront la question actuelle au premier problème.

(Fig. 21.) 8° Quelques lemmes très-simples, qui s'appliquent également a la circonférence et à la sphère , sont nécessaires pour la solution des cas suivants : soient deux circonférences dont les centres sont o, o' , dans un même plan ; et un point p tel que les distances />o, po' , soient comme des rayons ao , a! o' ; de la proportion po : po' : : ao : a' o' on déduit po-\-ao : po' o' : : po — ao : p o' — a' o' , ou pb : pb* :: pa : pa' ; il serait facile de voir qu'on aurait pd : pet : : pc : pd pour une sécante quelconque pede' d cette propriété a aussi lieu pour deux sphères. Ma\$pc.pd=zpa.pb,pc , .pd'=pa'.pb f ; multipliant ces égalités membre à membre et tenant compte des proportions établies, on verra que pepet —pa.pb' et p d.p d z=pb.p a! .

(Fig. 22.) Soient deux sphères de centre y\ x et vmxym' , la ligne qui joint leurs centres ; supposons que le point v est tel que v x : vy : : xin y m' ; tirons une droite quelconque vts , telle que vtri .vm — vs .vt. Cela posé, faisons passer par les deux points t , s une sphère quelconque qui

touche la sphère de centre au point k J ; on pourra conclure qu'elle touchera aussi la sphère de centre x au point h r; car il est évident que vk' . v k = v in! . v m = v s . v t. Si la sphère ne passait pas au point k, mais par exemple au point z, on aurait alors vk! . v z= v s .vt , qui serait en contradiction avec l'égalité précédente. Or, puisque le contact a lieu en autant de points qu'on voudra infiniment voisins de k! , la sphère passera en une infinité de points contigus au point k ; elle sera donc tangente a la sphère de centre x.

(Fig. 23.) 9° On a une sphère et un plan; si du centre o on mène ob perpendiculaire à ce plan, et une sécante quelconque fga terminée au plan , et qu'on joigne ab, gd, puisque les angles b, g du quadrilatère abdg sont droits, on aura, Jb./d-=zfa.fg; de cette simple observation on peut déduire le théorème suivant; si par le point/, on tire une sécante fhi, de telle sorte que fh.fi—fb.fd, et si par les points h , / on mène une sphère qui touche le plan donné en k! , elle touchera la sphère de centre o en k\ car si elle passait en z , comme un cercle de cette sphère pourrait être mené par les quatre points //, /, z y k' , il en résulterait que fk 1 ,fzz=.fk! .Jk=:fb.fd , ce qui est absurde ; donc, etc., elc

(Fig. 24.) 10° Déterminer une sphère qui touche le plan ab , la sphère od, et qui passe par deux points m, h. Abaissons sur le plan la perpendiculaire eodb, et après avoir joint he, cherchons un point g tel que eb.ed=e fi.eg. Cela posé, si nous faisons passer par les trois points g, h, m une sphère tangente au plan ab\ en vertu du lemme du 9°, la sphère qui touchera le plan en un point k' touchera aussi la sphère od en un point k.

( Fig. 25.) 11° Soient deux sphères de centre o, cl et de rayon ob , o' b' , et deux points m,h\ on veut trouver une sphère qui , passant par les points m , h , louche les

sphères données. Sur ph on cherche un point g, tel que pk.pg—pb'.pa, par les trois points /», A, g, on fait passer une sphère tangente à la sphère o' ( problème 3°), si le point de contact est par exemple K , la sphère de rayon ob sera touchée au point A. En effet, d'après le lemme 8°, ph ,pa—pk! . pk=zph . pg (le point p est détermine par la proportion po : po' : : oa :</«') le cercle de la sphère déterminé par les deux droites ph, pli* passera donc en A, et comme on pourrait faire le même raisonnement pour tous les points contigus h k J , on conclut que A- sera un point de contact.

(Fig. 26.) 12° On donne un point h, une sphère of, et deux plans ca, ab\ on veut déterminer une sphère qui passe par le point h et qui soit tangente aux deux plans et a la sphère donnée. Je prends sur hf\ un point g tel que fb.fe=fh.f g. Je fais ensuite passer par les deux points h, g une sphère tangente aux deux plans ca , ab , il est clair que d'après le 9° elle louchera la sphère donnée en k , si elle touche le plan a b en k J . Si on veut déterminer une sphère tangente h trois sphères données et passant par le point // , joignant les centres o' o de deux des sphères données (fig. 25), déterminant le point p comme dans le cas de cette figure et joignant le point p avec h , on déterminera g par la condition ph .pg-zzpb' . pa\ si par les points g, h on mène une sphère tangente a la sphère de centre o' , et à la troisième sphère donnée ? elle sera aussi tangente à la sphère de centre o.

i3° Trouver une sphère tangente à deux plans P, P' et h deux sphères de rayons R , r; on mène deux plans A, A' distants de P, P de la quantité r, on diminue le rayon R de r, et on réduit la sphère de rayon r à son centre. Si on trouve une sphère tangente aux deux plans A , A' , à la sphère de rayon R — r et passant par le centre de la sphère

de rayon r, on aura par cette fausse position le centre de la sphère cherchée.

i4° Déterminer une sphère tangente a trois sphères de rayons R,r, r' et au plan P. R>r>r', on réduira la sphère de rayon r' a son centre , on mènera un plan À parallèle à P et distant de r 1 ; enfin on cherchera une sphère tangente au plan À aux sphères de rayons R— r', r— r' et passant par le centre de la troisième sphère ; par cette fausse position le centre de la sphère cherchée sera trouvé.

15° On donne quatre sphères dont les rayons sont R, r, r' , V, et on veut déterminer une cinquième sphère qui leur soit tangente. Supposons R>r >r' >r", réduisons la quatrième sphère donnée a son centre , et considérons trois sphères concentriques aux premières, et dont les rayons soient R — r", r — r", r' — r". On déterminera une sphère tangente à ces trois dernières et passant par le centre de la sphère de rayon r", son centre sera le centre de la sphère cherchée.