VIII. Trouver trois triangles rectangles de même aire

Solution. Considérons l'expression (a:*— y *) a +(2 xjr)* ..

...= (,z a +/ , )\ Diophante cherche deux nombres dont le

produit , plus la somme des carrés , fasse un carré. La ques-

tion précédente donne pour ces nombres 1 , -y , ou 5, 3.

On trouve en effet 5 * -f 3 * + 5 . 3 = 7'. Cela posé , on remplace dans la formule x et y par 3 , 7, par 5 , 7, par 7 , 3 -|- 5 8 , et on forme les trois triangles rectangles : 40 , 42, 58; 20, 70, 74; i5, 112. 11 3, dont l'aire est

ons. de fermât. Mais peut-on trouver 4 , ou plusieurs triangles rectangles en nombre infini , de même aire. Rien ne paraît s'opposer à ce que la question soit possible , cela sera recherché ultérieurement; nous avons de plus construit ce problème : Etant donnée taire d'un triangle , trouver une infinité de triangles rectangles de même aire. Etant donnée taire , 6 qui appartient au triangle dont les côtés sont 3 ,

4 , 5 , en voici un autre de même aire : -2- , -1^2 , ^* 7 io ' 7

1201 , ou si on veut le même dénominateur : -^2- , ïa °° 70 70 70

Notre méthode constante et perpétuelle est ceUe-ci : Qu'on prenne un triangle quelconque dont t hypothénuse soit z, la base h, la hauteur d, de celui-ci on déduit un autre triangle dissemblable de même aire; il est formé de z 3 et de zbd , en appliquant aux côtés les termes zzb* — zzd*. ( La formule générale du triangle rectangle est : (x* — /)' + (2 xy ) a = ( x* 4-j * ) * , si on fait dans cette formule x=zz* = b*+d* ,y=:*bd, on trouve aisément, en divisant par 2z(b* — d*) que les côtés du triangle

rectangk sont : , ^ b ^y * l' hypothénuse

Ce nouveau triangle aura une aire égale à faire du précédent; de ce second triangle , par la même méthode un troisième sera formé , du troisième un quatrième, du quatrième un cinquième , et il sera fait à l'infini des triangles dissemblables de même aire; et qu'on ne doute pas qu'on en puisse avoir Vautres que les trois donnés par Diophante, savoir: i° 4°> 4 2 > 58; 2<* 24, 70, 74; ^ 3° i5 , 1 1 2 , 1 1 3. Ajoutons-en un quatrième dissemblable et cependant de même aire :

Il89 hypothénuse, * base, -^L- hauteur.

Ces triangles , par la réduction au même dénominateur , donneront, en nombres entiers, les suivants de même aire : Premier ^500 . . . 499^8 . . . 68962.

Second 28536 . . . 8323o . . . 87986.

Troisième 17835 ... 1 33 168 ... 134357.

Quatrième 1681 .. 141 2880 .. 1412881.

De la même manière on trouvera à l'infini des triangles de même aire ; et la question suivante sera un pas au delà des limites posées par Diophante :

Voici , par une autre méthode , un triangle dont l'aire est égale à six fois un carré , comme pour le triangle 3,4,5; savoir: 2896804 , 7216803 , 7776485.

IX. Trouver trois nombres tels , qu'en augmentant ou en diminuant chacun d'eux de la somme de trois , les résultats soient toujours des carrés.

Solution. On considère les trois triangles de même aire de la question VÏII , et on prend les trois nombres 58 N , 74 n, ii3n, supposant leur somme 245 n égale a 4 fois

Taire 84on% on trouve N = -^-. Le premier nombre est donc : ^~ , le second , le troisième .

obs. de fermât. Par ce qui a été dit ci-dessus, nous pouvons résoudre généralement ce problème : Trouver autant de nombres que t on voudra tels , que le carré de chacun, augmenté ou diminué de leur somme , fasse un carré. Peut-être Bachet a-t-il ignoré cette question, car il aurait étendu les règles de Diophante f comme il fa fait à la 3 1* question du livre 4 e et en a" auttos endroits , s'il en avait découvert la solution. (~La 3i c question de Diophante est la suivante: Trouver quatre carrés dont la somme, augmentée de la somme des racines , fasse un nombre donné.

X. Etant donnés trois carrés , on peut trouver trois nombres qui , multipliés deux à deux , fassent trois produits égaux à ces carrés.

Solution. Carrés donnés 4,9, 16; nombres cherchés N ' "4"' "n"' ^ eux cou d' l > ons seront remplies; il faudra de

plus que -^7-= 16 , d'où n=— . Nombres cherchés: 3 8 ~

XI. Trouver trois nombres tels , que le produit de deux quelconques , diminué de leur somme , fasse un carré.

Solution. Nous avons trouvé trois carrés , IX , savoir : 58'= 3364, 74^ = 5476, 1 £ 3*= 12769 qui diminués de 336o (4 fois l'aire) laissent pour restes des carrés ; nous avons aussi trouvé des nombres qui , multipliés deux à deux , font des carrés , X ; si les carrés sont 58* »\ 74 1 n% 1 1 3* n% les

nombres seront n , N 1 3 3^ w. Egalons leur

"Si ^43

somme à 336ois a , d'où n = Z; ; les trois nombres du problème seront . , ^ rj6So , 358897040

XII. Diviser l'unité en deux parties telles , que la somme de chaque partie et d'un nombre donné soit un carré.

Solution. Soit le nombre donné 6, chaque partie de l'unité plus 6 doit être un carré ; la sommé des deux carrés égale donc i3. Je désignerai par 2+ 1 1 n le côté du premier carré, et par 3— 9N le côté du second; la somme des

carrés vaut i3 ou 202 N a — 10 n+i3=i3 ; d'où n =

les côtés des carrés seront -Î^Ë. s j d e ces carrés

nous ôtons 6, il restera pour les segments de l'unité

5358 # 4843 et

Il est clair que la possibilité de la solution tient à ce que 3 4 4" 3 a== 1 3 , et que 9, 1 1 coefficients de n sont tels que le carré (3—9 n)' tombe entre 6 et 7; en mettant au lieu de 9 et 1 1 , a, p, on aurait facilement trouvé les limites des nombres qui doivent être coefficients de n. En

effet un des carrés vaudra évidemment 6-4--^ — h m i l'autre 6-| — *- — m ; il est facile de déterminer m , de telle sorte que 6 -\ — ^ — \-m soit un carré, je trouve m = ^; pour arriver à ce résultat je n'ai qu'à faire m = ^ ^ a et poser

6 +-î"+4^ = -T' d ' oil '+26n-=n4=(, + 5n)',

«. 1 1 tv < a I » I » 5 1 * y

N = — , par suite /w=t — . D ou oh \- 7 — = — . Je

pose actuellement 2 -|- a n == — , d'où a n = . Je puis

faire a= 1 1 , et alors n est une fraction positive.

obs. de fermât. Le nombre 2 1 ne peut pas être divisé en fractions en deux carrés , nous pouvons facilement démontrer cela, et plus généralement, que tout nombre dont le tiers nest pas lui-même divisible par trois , ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

Diophante pose une restriction au nombre donné dans la 1 2 e question, que Bachet ne parait pas saisir : Fermât en confirme l'utilité dans l'observation suivante.

obs. de fermât. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté iïune unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 dimi?iué de 1.

Ceci paraît mériter quelques éclaircissements : reprenons le problème de Diophante , et appelons a le nombre entier dont il faut augmenter chaque segment de l'unité , le premier segment étant

""4-*» le second sera ~ — ou, et d'après l'énoncé, on posera :

a -h «^4-*=^, a + xz=:z\ d'où 20+ 1 = y *+ x \ Or, si a était impair et par suite de la forme a/i-f* 1 , le premier membre

serait de la forme 4 « + 3 ou 4"' — i > et d'après Fermât tou! nombre de cette forme ne saurait être la somme de deux carrés, a étant supposé pair , la dernière égalité est de la forme 4 «+ 1 22 -f- y* ; or si x, y ne sont pas premiers entre eux et qu'ils aient un facteur commun

A, on aura : 4 W 4- 1 =2^' i P ar suite ^"j"' = x'»-{-/ a »

or le quotient du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4» — i, ce qui est encore un théorème de Fermât.

XIII. Diviser l'unité en deux parties telles , que chacune, plus un nombre donné (différent pour chaque partie ), fasse en somme un carré.

Solution. Nombres donnés a, 6; la somme des carrés vaudra 9, le premier de ces carrés sera entre i et 3 ; or, entre a et 3 on peut trouver i carrés par le procédé du problème

précédent, savoir : (^)=^f , (-£)=-^r ; il suffit

donc de trouver deux carrés dont la somme soit 9 , et pour

le côté du premier un nombre entre ^ et Supposons

que les carrés cherchés soient 9— is'et n% je pose 9— n' =

( 3 — a n ) a , d'où n z=j-ç^ ; or, a =3 + -i-, fait que le côté

du carré 3 — a n est entre les limites voulues ; on a par suite n = H ; les segments de l'unité seront et

XIV. Diviser l'unité en trois parties telles , qu'en ajoutant a chacune le même nombre, la somme soit toujours un carré.

Solution. Soit 3 le nombre donné. La somme des trois carrés vaudra 10 ; or, le tiers de ce nombre est 3-f--4~;

je puis trouver une fraction qui , ajoutée à 3 -f- ~- fasse une

somme carrée, cette fraction sera car, 3-f - y-f~^r-=

Je cherche trois carrés dont la somme soit 10 , et dont les côtés approchent de ; or, 10 se décompose en trois carrés , 9 , , Pour remplacer ces carrés par trois au-

ires qui remplissent les conditions voulues, faisons les côtés

des carrés cherchés égaux a 3— 35 n, -^--H 3i h, -g— H 3^ n.

La somme des carrés étant égale à io , on aura n = **^ < ;

4 3 ii

c'est en égalant 3 — a n, 4— h P N,y -f Y N ^ ~Ç ( I ,l 0n détermine les limites de a, p, y.

Diophante pose uue limitation pour le nombre donné : 11 faut, dit -il) qu'il oc soit pas pair, ni tel que augmenté de a, il devienne multiple de 8. Bachet , de son côté , étudie la question , et il donne la limitation suivante. On doit exclure tous les nombres dont le triple augmenté de î n'est pas un carré , ni composé de deux ou de trois carrés. Fermât rectifie ces deux limitations de la manière suivante :

obs. de fermât. La limitation de Bachet est elle-même insuffisante , de plus ses essais (^jusqu'au nombre 3a5 J ri ont pas été faits avec assez de soin, car 37 tombe dans la limitation et non dans la règle.

La vraie limitation est ainsi conçue :

Qu'on prenne deux progressions dont la raison soit 4 , ï une commençant par 1 , l'autre par 8 : écrivons4es, l'une audessous de t autre , ainsi qu'il suit :

1 . 4 • 16 . 64 . 256 . Î024 . 4°9^j e fc« 8 . 3a . 128 . 5ia . 2048 . 8192 . 32768, etc.

Considérant d'abord le premier terme S de la seconde , il faut que le nombre donné ne soit pas double de l'unité qui lui est superposée; il ne doit pas surpasser de deux unités un multiple de 8.

Ensuite, en considérant le deuxième terme 32 de la seconde progression , qu'on prenne le double du nombre 4 qui

lui est superposé, on trouve §;sion ajoute à ce nombre. Ion termes de la progression supérieure qui précèdent 4 , on trouve g ; prenant donc les deux nombres 32 et g, il faut que le nombre donné ne soit nigni un multiple de 3 a plus g, Considérons le troisième tei'me 1 28 de la seconde progression; prenons le double de 16 qui lui est superposé, on trouve 3a qui, augmenté des nombres précédents 4 et 1 de la première progression, donne 37. Considérant donc les nombres 128 et 37 , il faut que le nombre donné ne soit ni 37 ni un multiple de 1 28 augmenté de 37.

Considérant ensuite le quatrième terme de la seconde progression , on trouvera par la méthode précédente 5izet 1 4q ; c'est pourquoi il faudra que le nombre donné ne soit ni 1 49 ni 1 4g augmenté tfun multiple de 5 12, et ce procédé constant et uniforme s'applique indéfiniment. Diophante ne l'a pas généralement indiqué, Bachet ne l'a pas découvert, et de plus, il s'est trompé dans ses essais, comme nous l'avons remarqué, non-seulement pour le nombre 37 qui est dans les limites des épreuves qu'il croit exactes , mais même pour le nombre 149 et pour d? autres nombres.

XV. Diviser l'unité en trois parties qui , augmentées chacune d'un nombre différent, donnent en somme des carrés.

Solution. Les trois nombres seront 2, 3, 4, la somme des carrés sera donc égale à 1 o, le premier sera > 2 < 2 -f— i ,

le second > 3 <3-j--^ , le troisième > 4<4^- ^ ous diviserons d'abord 1 o en deux carrés, dont l'un soit compris entre 2 et 2 -f- —, et le carré suivant en deux , dont un sera

compris entre 3 et 3-f--^-; si des carrés ainsi trouvés, je retranche 2,3,4, j'aurai les trois parties de l'unité.

XVk Diviser un nombre donné en trois parties qui, ajoutées deux a deux, fassent en somme des carrés.

Solution. Le nombre donné est 10, les sommes des parlies deux à deux , réunies ensemble , feront le double de i o ou 20, 20 sera donc la somme de trois carrés chacun moindre que 10. Mais 20 = 16+4 > H ^ aut donc décomposer 16 en deux carrés, et le problème sera résolu.

XYH. Diviser un nombre donné en quatre parties qui , ajoutées trois a trois, fassent quatre sommes qui soient des carrés.

Solution. Nombre donné 10, les parties étant trouvées et ajoutées trois à trois , on obtiendra quatre carrés dont la somme égalera So. Or, il est aisé de décomposer ce nombre en quatre carrés moindres que 10. Prenons d'abord 4 et 9, il reste à décomposer 17 en deux carrés moindres que 10, j'en

chercherai d'abord un entre et 1 o ( cela est facile en

posant il+j-;=zj n d'où 34 s» -f- 1 = k*=(i +a n)') , ce carré servira de limite.

XVIII. Trouver trois nombres tels que le cube de leur somme ajouté à chacun d'eux fasse un cube.

Solution. J'appelle les nombres a n 3 , p n 3 , y n 3 , et leur somme n , puis (a-|- p -j- y ) îs 3 doit égaler n ,

a + p 4- y ou un carr( H de plus, le cube de la somme

étant is 3 , il faudra que (a+ 1 ) n 3 , (P-f-1) N 3 ,(y-h 1 ) n 3 soient des cubes ; le problème est ramené a trouver trois nombres a, p, y qui, augmentés de 1 fassent des cubes, et dont la somme soit un carré. Je prends , a=(is' -|- 1 ) 3 — 1, p = (2-is' ) 3 -.|,y = 2 3 —i,a+p + y=9N J — 9^ + 14, j'égale cette dernière expression a ( 3 n' 3 , — 4) et je trouve . 1 i538 18077

= 7S' P ar SUltG : « =33^5 P=^3# ' T = 7* mais

-7=:«-f p+y, n ~ — y et tout est connu.

— loi —

XIX. Trouver trois nombres tels, que le cube île leur somme diminué de chacun d'eux fasse un cube.

Solution. Diopbante pose la somme de trois égale à y, le premier a -2- s 3 , le second ~-n s , le troisième ^p* 3 - ^ texte est altéré; voir la solution de Fermai.

Pour saisir le sens de l'observation de Fermât , il faut avoir une idée de la méthode de Diophaute. Appelons les trois nombres (i — x y j </ 3 , (i — /3 3 )a 3 , (i — y z ) m 3 , et posons la somme o 3 (3 — « 3 — /3 3 — y 3 ) = «. H est clair que si a, /3, y sont déterminés par cette égalité, le cube /. 3 de la somme diminué de chaque parlic donnera pour reste les cubes

« 3 « 3 , £ 3 ^ 3 , y 3 <i 3 ; or l'égalité se met sons la forme 3 — * 3 — fi — y s zn-~ ,

pour que tout soit positif, il suffit de trouver trois cubes plus petits que l'unité, dont nous pouvons aussi sans inconvénient supposer la somme plus petite que l'unité, et tels que cette somme retranchée de

3 donne pour reste un carré ~.

obs. de fermât. Diophaute n'expose pas sa méthode pour la solution f ou bien le texte grec a été corrompu, Bachet croit que Diopliante s'est appuyé seulement sur un cas particulier, ce que nous n'admettons pas, parce que nous ne pensons pas que la méthode de Diophante soit difficile à trouver. Il faut

trouver un carré plus grand que 2 est par suite de ce

qui précède plus grand que 2 ) et plus petit que 3, dont la différence avec 3 soit un reste qu'on divisera en trois cubes.

(3 — =ot? -f-fi 3 f y 3 ). Supposons que le côté du carré

soitx — 1 , ce carré étant soustrait de 3 , on aura pour reste 1 — rs'-j- 3 n, il faut trouver trois cubes qui, en somme égalent cette quantité, et il faut les imaginer de telle sorte que l'égalité ne contienne que des termes différents pour leur degré d'une unité, ce qui peut se faire d'une infinité de ma-

mères, soit 1 — rrle côté d'un des cubes \ -j-n le côté de ïau-

Ire f de sorte que dans la somme de ces cubes se trouve le terme 2Nj; il faut enfin composer le troisième en nombres, de telle sorte que sa valeur ne fasse pas évanouir les termes qu'on cherche. Ce troisième cube sera pris avec le signe — (— e») et Un est pas difficile de trouver un facteur à n dont la valeur réduise V égalité aux conditions posées (T avance; cela fait, il est évident que le premier cube est moindre que l'unité, le second plus grand, et le troisième négatif. Or il est clair qu'on peut égaler la différence du second et du troisième à la somme de deux cubes; ainsi donc nous sommes amenés, comme Diophante, à ce second problème.

Mais, dit (Diophante), nous avons établi dans les porismcs que la différence de deux cubes peut valoir la somme de deux cubes.

Bachct s'arrête de nouveau, et privé des porismes de Diophante, il affirme que cette seconde question manque de solution, car il n'enseigne à diviser la différence de deux cubes en deux autres cubes, qu'avec celte condition que le plus grand des deux c%ibes excède le double du plus petit ; mais il avoue qu'il ignore comment la différence de deux cubes peut être divisée en deux autres cubes. Nous avons trouvé ci-dessus, à la seconde question du 4 e Livre, une méthode générale facile pour résoudre cette question et celles de même nature.

D'après la question , le carré représenté par (n — i V doit être

compris entre 2 et 3, par suite n doit être compris entre î-f-Vâ et

i-j- ; or, après nous être donné , les côtés 1 i-J-n des deux

premiers cubes, nous prendrons pour côté du troisième — in et dans

l'égalité 2-f-2N — N a = (i — -|-n) 3 — * 3 * 3 qui devient du

premier degré , nous disposerons de < pour que n reste compris entre les limites ci -dessus; mais comme le problème de Diophante exige qu'où connaisse trois cubes positifs plus petits que 1 , il fau ira encore résoudre le second problème que Fermât indique.

XX. T rouver trois nombres tels que lecube de leur somme étant soustrait de chacun d'eux, les restes soient des cubes.

Solution. J'appelle la somme des nombres- n, le premier (a 3 4-i)N 3 , le second (p 3 -j-i )n 3 , le troisième (y 3-f-i)N 3 .

Le problème sera résolu si a 3 p 3 + y 3 -|-3= — — est un

carré, je pose a= n' , p= 3 — n' , y= i ; il faudra alors que 9 n'' — 27 n' +3i soit un carré. Par exemple ( 3n' — 7)»,

d'où n' = -£-, par suite a = p— -y, y = 1 , eufin l'é-

1 5 galité a 3 -fP 3 +y 3 -|~ 3 = — donne 3 = — , tout est

connu.

XXI. Trouver trois nombres dont la somme soit un carré et tels qu'en ajoutant au cube de cette somme chacun des nombres, les résultats soient toujours des carrés.

Solution. La somme sera N%le premier nombre aN 6 , le second pN 6 , le troisième yN 6 ; le cube de la somme étant n 6 , il faut que i-h«, i-f-P, i-f-y soient des carrés, et que

a+ p +y= -^-soil une quatrième puissance. Je pose a=

(n"— 1, p=(N'-f-i)*— 1, y = (N'--i)*— 1. La somme étant n 4 , toutes les conditions sont remplies, quelles que soient les valeurs de n' et de n.

XXII. Trouver trois nombres égaux en somme a un nombre donné, et tels que le cube de leur somme diminué de chacun d'eux, laisse pour reste un carré. Le texte de Diophante est entièrement corrompu.

XXIII. Diviser une fraction en trois parties telles, que si de chacune je soustrais le cube de la somme, les restes soient des carrés.

Solution. Fraction donnée — y son cube -77 • Or, -7-—

je divise trois carrés, a 1 -f 4" y* = -g^- ; à chacun j'ajoute -g^- et les parties cherchées seront a*

XXIV. Trouver trois carrés tels, que le produit qu'ils forment, augmenté d'un quelconque d'entre eux, fasse un carré.

L'observation de Fermât doit être précédée d'un sommaire de la méthode incomplètement indiquée par Diopbante. Désignons les trois carrés cherchés par * a N a , 0 a N a , y a M a ; posous « a £ a y a î. 6 = N a ou

« a F y 1 r= ~ . 1) faudra , d'après la condition du problème , que

x a -f-* a N a , *i a -f-/3 a N a , N a -|-y a ^ soient des carrés, par suite que i-|-* a , i-f-y8 a , i -{-y* soient des carrés, ou que *, /8, y soient côtés d'un triangle rectaugle dout la base serait toujours égale à i , et dont

les aires seraient *L , ~ , 2L . D'après I égalité qu'on a d'abord posée,

*, fi.yzn prenons « = -|"> ( l "*"* 3== "^")" fermât forme un

triangle avec i r-f- s et r — s (c'est-à-dire que ces deux quantités sont les valeurs de x, y qui satisfont à l'égalité (v* — y* xyf=(x*-\-y*)*,) ses côtés de l'angle droit seront 3 r ( r-\-ïs ) ou ( x* — y*) et (^r-j-s) (r — s) ou îcj, et il forme un autre triangle avec et r — ^ dont les côtés de l'angle droit seront 3s (2r-f-s) et

rr-4-a.v) (r— s), il prend fi = ; —h — — et . , ' r,

alors «./â.yzzrr — — - ; mais /• et s sont arbitraires, on peut faire 4(r— f) a 1

/ = 3s, alors *.fl.y= ? '* , et le problème est résolu. Nous avons

supposé que les trois triangles rectangles avaient un côté de l'angle droit égal à l'unité , et nous avons exprimé que le produit *$y des trois aires doublées était un carré, Diophante et Fermât ne supposent pas que un côté des triangles qu'ils choisissent soit égal à 1, ils expriment uéaumoius que le produit de leurs trois doubles aires est un carré. Au reste, des triangles dont les côtés sont des nombres quelconques on peut passer par la division à d'autres triangles semblables dont un côté égale l'unité ; cela ne change eu rien la méthode que nous avons indiquée.

obs. de fermât. Je rétablis et j'explique la méthode de Diophante que Bachet ri a pas conçue. Puisque le premier triangle ( que choisit Diophante ) est 3, 4> 5, le rectangle de ses côtés ( de ï angle droit J est 12 ; de là il suit, dit Diophante , qu'on doit trouver deux triangles tels, que le produit des côtés de l'angle droit du premier , multiplié par le produit des mêmes côtés du second, soit 12, et la raison est qu'alors le produit des côtés de l'un, par le produit des côtés de Vautre sera un nombre égal à m; et de leur multiplication ( par la double aire du triangle 3, !\, 5 ) résultera un carré, ce que veut la proposition. Ainsi, continue Diophante , le produit de ï aire par Faire sera 1 2 , ce qui est évident de soi-même. Eîisuile ( si on prend 12 et$J, puisqu'on divisant 1 2 par le nombre 4 qui est un carré on a 3 , et de la multiplication il résulte toujours un carré, car un carré divisé par un carré , donne un carré.

Le reste de ce que dit Diophante ne convient pas au but * proposé , mais nous le rétablissons ainsi :

Soit fait un triangle avec 7 , 2 f nombres qui satisfont à fx 9 — y* J 2 -\~T 2 X T T—C x% H~/W l'autre avec 5 et 2, le premier triangle [ses côtés seront 45, 28) sera triple du second f côtés 21, 20 J , et les deux satisferont au but proposé C car la première aire double est 12, les deux autres doublées sont 45 . 23 = 3 . 2 1 . 20, et 2 1 . 20 leur produit sera un carré J. Or, la règle générale pour trouver deux triangles rectangles dans un rapport donné est celle-ci: soit le rapport donné r: s,r> s le plus grand triangle sera formé de 2 r-\-s et r — s, le plus petit de r-f 2 s et r — s. Autrement, que le premier triangle soit fait avec 2 r — s et r+s, le second avec 2 s — r et r-|- s. Autrement, que le premier triangle soit formé de 6 r et de 2 r — s, le second de 4 r -\- s et de 4 t — s. Autrement, que le premier soit formé de r-f-4 s et de 2 r — 4 s > I e second de 6 s et de r — 2 s. De ce qui a été dit , on peut déduire une méthode pour trouver trois

triangles rectangles , en proportion de trois nombres donnés , avec cette condition que deux nombres donnés vaillent quatre fois celui qui reste : par exemple, soient r,s,tles trois nombres, et supposons que r et t soient en somme le, quadruple de s y les trois triangles seront ainsi formés: le premier der-\-/\setdeir — $ s, I e second de 6 s et de r — a s , le troisième Je 4 s -f- 1 et de 4 s — a t, nous avons supposé r > t.

De là se déduira une méthode, de trouver en nombres trois triangles rectangles , dont les aires constituent un triangle rectangle, ainsi que la question suivante : trouver un triangle rectangle dont la base et ïhypothénuse réunies soient le quadruple de la hauteur; cela est facile, et le triangle sera semblable à celui-ci, 17, i5, 8. Les trois triangles rectangles C ci-dessus J seront formés, le premier de 49 et 1 , le second de 47^2, le troisième de 48 et 1 .

De là aussi se déduira une méthode pour trouver trois triangles dont les aires soient dans la raison de trois carrés donnés, tels que la somme de deux soit quadruple du restant, et par suite on pourra par la même voie trouver trois triangles de même aire.

Enfin, et a" une infinité de manières , nous pourrons construire deux triangles rectangles dans un rapport donné, en ramenant fun ou les deux termes du rapport à des carrés donnés.

XXV. Trouver trois carrés tels , que leur produit diminué d'un quelconque des trois, donne pour reste un carré.

Nommant les trois carrés /S'n 1 , y* n 1 , et supposant «, fi, y

déterminés de telle sorte que le produit des trois carrés soit n% il faudra , par la condition du problème , que n* — «* n* soit carré , ou que 1 — «" soit carré ; or « peut être considéré comme le rapport d'un côté de l'angle droit à l'hypothcnuse d'un triangle rectangle; car de la re-

lation b*-\-c*^zu* on déduit 1 r=~r > * etant donné il faudra

déterminer fi et y de telle sorte que *fiy soit un carré.

obs. de fermât. Pour l' élucidation et t 'explication de la 25 e question, relative à la méthode de Diophante que Bachet a pareillement omise, il faut chercher deux triangles, tels que le produit de F hypothénuse et de la hauteur de fun soit au produit de l' hypothénuse par la hauteur de F autre, dans un rapport donné.

Cette question qui m'a assurément longtemps fatigué ( diù nos torsit ) sera éprouvée difficile par ceux qui la tenteront ; enfin, nous avons découvert la méthode générale pour sa solution.

On veut trouver deux triangles tels, que le rectangle fait avec ï hypothénuse et la hauteur de /'un, soit double du rectangle compris sous t hypothénuse et la hauteur de l'autre. Formons un des triangles avec a, b, Vautre avec a,df quantités qui satisfont à ( x 1 — 3 x y ) 1 =(x , +/*) a ), le rectangle compris sous ï hypothénuse et la hauteur du premier, sera : 2 b a 3 + 2 b 3 a, le rectangle compris sous F hypothénuse et la hauteur du second, sera : 2 d a 3 -|- 2 d* a, donc puisque 2 b a 3 -|- 3 6 3 a sera double de 2 d a* -\- 2d l a, on aura b a 3 -f- 6 3 a = 3 d a 3 -}- 3 a; divisant tout par a, il résulte: 6 a* +6 3 = 3 d a*-\-2 d* et par suite

2(i 3 — 6 3 =6 a» — 2 da* > donc étant égalé à un

carré, la question sera résolue.

Il faut donc chercher deux nombres b et d, par cette condition que le double du cube de l'un moins le cube de F autre , divisé ou multiplié par le dernier moins le double du premier fasse un carré. Supposons le premier nombre n-\-\ et le second 1. Le double du cube du premier, moins le cube du second fait : a n 3 -[-6n*+6 n+ 1. Le second, moins le double du premier , donne — 1 — 3 n , il faudra donc que le produit de 2 n 3 -|- 6 n • + 6 n -f- 1 par 2 n + i soit un carré , ce quil est facile de trouver en égalant ce produit 4 n<+ 14 n 3 +i8 n'+8n+ 1 à (3 jf-f 4 n + i)\ fLe

calcul de Fermât parait inexact; dans la traduction on ta rectifié); mais la proposition sera étendue à tous les rapports, si on représente un des nombres cherchés par a , plus l'excès du terme du plus grand rapport sur le moindre , et l'autre plus l'excès lui-même, comme nous l'avons fait pour la raison du double.

Dans ce cas général, si le rapport est p : i , il faudra que (pd l — b 1 ) ( b — p d ) soit carré, on posera d=za -\-p — i , b = p — i ). Car par ce moyen , le nombre des unités sera toujours an carré et l'équation sera convenable. Cela exécuté, on trouvera deux nombres qui représenteront b et d, et on reviendra à la première question. Rétractant tout ce que nous avions écrit sur la vingt-cinquième question, il nous avait d'abord paru convenable de tout effacer, parce que notre problème ne convient pas à la question f de DiophanteJ. Cependant, comme nous avons exactement construit une question autre que celle à laquelle nous avions mal à propos appliqué le présent problème , nous n'avons pas perdu, mais mal placé notre travail; aussi laissons-nous intacte récriture marginale.

Soumettant la question de Diophanle à un nou vel examen, et employant avec soin noire méthode , nous l'avons résolue généralement; nous citerons seulement un exemple, assurés que les nombres par eux-mêmes indiqueront que notre solution n'est pas due au hasard , mais à l'art. Dans la proposition de Diophante, il faut chercher deux triangles rectangles par celte condition , que le produit formé par l'hypothénuse et la hauteur de l'un, soit au produit de l'hypothénuse par la hauteur de l'autre dans le rapport de 5 : i. Voici deux triangles: le premier dont l'hypothénuse sera 48543669109 la base 36083779^09, la hauteur 3-2^2^5580; le second, dont l'hypothénuse est 4^636752938, la base 41990695^80, la hauteur 7394200038.

XXVI. Trouver trois carrés tels, que leur produit retranché de chacun d'eux fasse un carré. Question pareille à la précédente.

XXVII. Trouver trois carrés tels, que le produit de la multiplication de deux quelconques, augmenté de l'unité, fasse un carré.

Soient x\ y\ z 1 les twis carrés; si x*y*-\-i =s% on aura aussi x*y* z*-{-z*z=(k 9 2*), et le problème reviendra à trouver trois carrés tels que leur produit, plus chacun d'eux, fasse un carré, ce qui a été résolu.

XXVIII. Trouver trois carrés tels , que le produit de la multiplication de deux quelconques, diminué de 1 soit un carré. (Comme la question 27, le problème se ramène au produit de trois carrés, moins un des carrés égal à un carré. )

XXIX. Trouver trois carrés tels, que le produit de deux quelconques retranché de 1 , donne pour reste un carré , ( Comme les deux précédentes. )

XXX. Trouver trois carrés tels, que la somme de deux quelconques et d'un nombre donné soit un carré.

Solution. Soit i5 le nombre donné, et 9 un des carrés, il en faudra trouver deux autres tels, que chacun ajouté à 9-f- i5 = a4 fosse un carré, et tels aussi que leur somme plus i5 soit un carré. Or, 24 = 4 • 6 = 3.8, cela

posé, nous prendrons pour les deux carrés ^ 3 is^* et

— 4 N et deux conditions seront remplies. Il faudra que la somme de ces carrés plus i5 soit un carré, ou que

aSs'l^ — 9 soit un carré. Si ce carré est a5 n% on

25 5 aura^-, — 9=0 ou N=-g-.

obs. de fermât. Par le moyen de ce problème, nous don» nerons la solution de la question suivante, qui me paraît autrement difficile. Etant donné un nombre, en trouver quatre autres tels , que la somme de deux quelconques et du nombre donné fasse un carré. Que le nombre donné soit 1 5 ; et d'abord par le problème de Diophante, soient trouvés trois carrés tels, que la somme de deux quelconques et du nombre donné fasse un carré, et soient ces trois nombres,

9, -A—, ^22. Posons le premier des quatre nombres cherchés

w a — 1 5, le second 6 N+9 f parce que 9 est un des carrés et que 6 k est le double du côté du carré multiplié par N .J Posons

par la même raison le troisième nombre égal

Enfin , le quatrième à -~^--+ ^5 - ? ainsi, puisque d! après

les suppositions établies , il est satisfait aux trois nombres en question, car un quelconque des nombres ajouté avec le premier et avec 10 fait un carré, il reste à faire que le second et le troisième plus 1 5, que le troisième et- le quatrième plus 1 5 , enfin , que le second et le quatrième avec t addition du même nombre i5, fassent un carré, on en déduit une triple égalité dont on a rapidement la solution , puisque par la construction dont l'artifice est pris du problème de Diophante, on trouve dans chaque membre des égalités des nombres carrés , il faut donc recourir à ce que nous avons dit à la vingtquatrième question du sixième livre,

XXXI. Un nombre étant donné, trouver trois carrés tels, que la somme de deux quelconques, moins le nombre donné, soit un carré.

Solution. Nombre donné, i3; soit a5 un des carrés a5 — i3=i2, il faut trouver deux carrés tels, que chacun augmenté de 1 3 soit un carré, çt que leur somme moins 1 3

soit aussi un carré. Or , i a = 3 . 4 * on prendra pour carrés ^2N — ^*)' et ("7~ N — ïr)* ' eur 80mme m °î DS i3 vaut, ^7T+-^~ N *— *5 qui, égalé donne n = a.

OBS. de fermât. Nous pouvons nous servir dans cette question de l'artifice dont nous avons usé dans la question précédente , où nous avonsmlrouvé quatre nombres tels, que la somme de deux quelconques augmentée d'un nombre donné fasse un carré. Ici la somme de deux des quatre nombres diminué du nombre donné devra faire un carré ; nous devrons poser le premier nombre égal à n + le nombre donné , le second, un des carrés trouvés par le présent problème de Diophante, plus deux fois le côté du carré multiplié par n ; le reste est évident.

XXXII. Trouver trois carrés tels , que la somme de leurs carrés soit un carré.

Solution. Les carrés seront n* p% il faudra que N 4 -|-a 4 4-p 4 soit carré, je l'égale à (n* — or) 1 , par conséquent

2N* xz=zjc' — a 4 — B 4 ; d'où N 3 ~ X ' * Pour satis-

r 1 IX

faire \ cette égalité, je fais x=z n' a + 4, a a = 4, p a = n' 1 d, ° UNa = T7^jb"= 7^4, posons n ,3 +4=(n'+i)' n' = -—par suite N a =(-5-) » « a = 4 * P*=

obs. de fermât. Pourquoi ne cherche-t-il pas deux quatrièmes puissances dont la somme soit un carré. Assurément cette question est impossible, comme notre méthode de démonstration peut Rétablir sans aucun doute.

XXXIII. Une personne achète deux tonneaux de vin ; la mesure de vin du premier coûte 8 drachmes, la mesure du second coûte 5 drachmes ; pour les deux tonneaux elle paie

un nombre de drachmes qui est un carre, lequel augmenté de 60, fait en somme le carré du nombre de mesures qu'elle a achetées.

Solution. Soit x 2 le prix du vin ou le nombre de drachmes; n le nombre de mesures achetées, x*-\-6o = N a , d'où ,r a = N a — 60; mais x* étant le prix du vin, il peut se diviser en deux nombres, dont l'un est le prix des mesures qui coûtent 5 drachmes, l'autre le prix des mesures qui coûtent 8 drachmes. Le cinquième du premier prix et le huitième du second fera le nombre total des mesures , savoir n.

Il est donc clair que le -~ du prix total x a est > n et le-^-

est < n, doncN a ~6o > 5 n, N * — 60 < 8 n, ou N a — 5 n>6o et n' — 8 n < 60, d'où l'on voit aisément que n est compris entre 11 et 12. Mais k a — 60 est un carré. Je l'égale à

cl * I 60 •

( N — a)% d'oÙN= — — , mais n étant compris entre

11 et 12, a a 4-6o > 22 a < 24 a qui prouve que a est compris entre 19 et 21 , par suite je puis poser a = 20 d'où

n = 1 1 H — ; le prix x* sera 72 -~ , il reste à diviser 72 +-^-en deux parties telles que le-^- de la première plus le -g- de. la seconde fasse n=i i +~- Le — de la première partie étant/, 1 1 +— —jserale-^- de la seconde, 5 + — jr), vaut donc 72 -~, <Toù/ = 2&.

Ce sera le nombre de mesures du prix de cinq drachmes , |i sera le nombre de mesures du prix de huit drachmes.