LIVRE VI

I. Trouver un triangle rectangle tel, que si de l'hypothénuse on soustrait l'un ou l'autre côté de l'angle droit, le reste soit un cube.

Solution, Considérons la formule (x'—j 3 ) ' -f-( 2 ;r j-)'... ...= (.r , -|-^ a )\ Si de l'hypotbénuse x % -\-y\ on ôte le côté &*—jr\ il reste 2 j a qni doit être un cube; on satisfait à cette condition en posant/=2, maisx a +j a — 2 xj=(jc— 2)' doit aussi être un cube; x= 10 remplit cette condition, par suite le triangle rectangle a pour côtés 96, 40, 104.

IL Trouver un triangle rectangle tel , que l'hypotbénuse, augmentée d'un côté quelconque de l'angle droit , fasse en somme un cube.

Solution, Considérons la formule du triangle rectangle de la question précédente , et on verra que 2 x* devra être un cube, ce qui a lieu si jc=2, de plus (y + iy devra aussi être un cube, mais le côté x* — y* étant positif, il

faudra quejr < 2; posons j+ 2 rzr^d'où 7= !i toutes les

conditions seront remplies. Les côtés du triangle vaudront par i35 352 377

suite

III. Trouver un triangle rectangle tel, que si on ajoute un nombre donné au nombre qui représente son aire , la somme fasse un carré.

Faisons un triangle rectangle dont les côtés soient , in son

aire sera n< — 1 , le nombre donné étant représenté par a, on aura

N 4 — i-j-ûzsy. Mais si nous pouvons satisfaire à K*—

Je problème sera résolu , puisqu'on aura trouvé un triangle dont Taire

J^-pï augmentée de a sera un carré les côtés de ce nouveau

triangle vaudront ceux du premier divisés par k -{- 1.

Bachet fait remarquer que Victe croyait que la question proposée n'était soluble que dans le cas où le nombre donné était la somme de deux carrés : pour a=z5 , par exemple , la question est aisée.

obs. de fermât. L erreur de Viete provient, sans aucun douté, de ceci : cet homme illustre a supposé que la différence des deux quatrièmes puissances , n 4 — i, était égale à taire, quù augmentée du quintuple d'un carré, doit faire en somme un carré. Si 5, nombre donné, est divisé en deux carrés, on pourra trouver le quintuple d'un carré, duquel, une unité étant retranchée, il reste un carré.

Supposons donc le côté du carré à quintupler égal à (n + 1 ), ou un autre nombre quelconque -|- i, le quintuple du carré sera 5 n a -(- i o n -|- 5 > augmenté de l'aire n 4 — i, deviendra n 4 -|- 5 N * 4* ion+4» ceUe somme doit être égalée à un carré, ce qui n'est pas difficile , puisque le nombre d'unités par l'hypothèse admise est un carré. Viete n'a pas vu que la question pouvait être résolue, si au lieu Je n 4 — i, il avait pris pour aire i — h 4 , car cela conduira à cette question: faire que le nombre donné 5 ,6 ou un autre quelconque multiplié par un carré, et l'unité étant ajoutée au produit, la somme soit un carré; ce qui est généralement très-aisé, l'unité étant un carré.

Nous avons résolu cette question et deux questions analogues, par une méthode particulière, au moyen de laquelle, en même temps que nous cherchons un triangle dont f aire ajoutée avec 5, par exemple , fasse un carré , nous trouvons un triangle eoçprimé en nombres aussi petits que possible, savoir : -j-, 4^-, 4p dont ïaire io, ajoutée avec 5, donne en

somme le carré a5 ,* mais ce n'est pas ici le lieu de rien ajouter de plus sur la raison et l'usage de notre méthode, l'exiguité de la marge n'y suffisant certainement pas , car nous avons plusieurs choses qui devraient être rapportées ici.

IV. Trouver un triangle rectangle dont Faire, diminuée d'un nombre donné , fasse un carré.

Solution. Nombre donné 6, aire cherchée a, on devra avoir a— 6=^ ou 6(a — «')=3G. Diophante , pour résoudre la question , cherche d'abord un triangle dont Taire

a' diminuée d'un carré, soit le -L- d'un carré quelconque; il

satisfait ainsi a une équation de la forme 6 (a' z*)=u*;

pour cet effet, il pose dans la formule du triangle rectangle ,t=k,^ = JL e t il forme un triangle dont l'aire est

N * — = A ' n P ren d ensuite z =(w — ; l'équation précédente devient 36 - — = u 1 ou 36 n • - 6o = n ' . u » faisant w w a = (6N-a) 9 l'avant-dernière égalité donne N =*X; de plus, z et u sont déterminés. Or, on peut mettre l'égalité 6 ( a' — z 9 ) = «» sous la forme 6 ^"■p — ) = o 4 ; pour que cette relation soit identique a celle que donne l'énoncé de la question , on posera A — ~ m^~' a = ~ïT~- et nouveau triangle rectangle sera déterminé en posant dans la formule générale

4"' ^"=7ïtî' les côtés du triangle seront donc : 4»77 ioi5 16 . 4oi5

"ISp -ET' T et SOn a,re ITT*

V. Trouver un triangle reclangle tel , qu'en retranchant son aire d'un nombre donné, on trouve pour reste un carré.

Solution. Nombre donné io, a l'aire; on doit avoir IO — A=a a ,ou a*+A=:io,ou io(a'+A)= ioo. On résout d'abord i o ( a' + z * ) = u a ; pour cet effet, on forme un

triangle en posant dans la formule générale j?=±n, 7*=— ï-, Taire a'=n*— • on pose z =-^- + 5 n et on trouve :

i6on*+ ioo = w*=(io-f-i6N)* d'où n=8o, etc., comme à la proposition précédente.

VI. Trouver un triangle tel , que le nombre qui exprime son aire , augmenté d'un côté de l'angle droit, fasse un nombre donné.

obs. de fermât. Cette proposition et les suivantes peuvent être traitées autrement. Supposons pour cette question un triangle formé d'un nombre quelconque et de X unité, et divisons chaque côté par le nombre augmenté de ï unité; il en résultera le triangle cherché. ( Côtés du triangle

■ — - — -, - — ; — r, atre -7 — ; — r-f , cette aire ajoutée a- — ; — .

donne n . ).

VII. Trouver un triangle rectangle tel , que le nombre qui représente son aire , diminué d'un côté de l'angle droit , fasse un nombre donné.

obs. de fermât. Imaginons un triangle formé du nombre donné et de X unité , et divisons chacun de ses côtés par la différence du nombre donné et de l'unité; cette question reçoit un nombre illimité de solutions par le procédé au moyen duquel nous avons résolu les doubles égalités a" une infinité de manières ; mais nous avons touché et expliqué la méthode dont nous nous sommes servis plus loin à la 2 4 e question, de plus , ces solutions en nombre infini s'appliquent aux quatre questions qui suivent (dans le texte de Diophante ) ce que ni Diophante ni Bachet n'ont pas aperçu. Pourquoi Diophante ou Bachet n'ontr-ils pas ajouté cette autre question : trouver un triangle rectangle tel, qu'un de ses côtés, diminué de l'aire, fasse un nombre donné; ils paraissent certainement ï avoir

ignorée, parce quelle ne se présente pas de suite clans la résolution de la double égalité; mais elle peut être aisément trouvée par notre méthode, et pareillement dans les questions suivantes ce troisième cas peut être traité, ( Les* deux questions 6 et*] forment les deux premiers cas, )

VIII. Trouver un triangle rectangle dont l'aire ajoutée a la somme des côtés fasse un nombre donné.

Solution. 6 nombre donné, N , a n, côtés du triangle cherché. D'après l'énoncé — N , + ( a "l , " I ) s = 6, d'où

w — ' ^ ^ ^("H" 1 )*+ 13 a » P our q ue N S01t rationnel, il faut que 12 a-|- ( a+ 1 )"z=a , -(- i4 a 4" 1 soit un carré, ou que a'-|- 1 4 a + 1 = ma 's n et a s étant les côtés d'un triangle rectangle a ' -f* 1 esl auss * un car ™ ï*% on a donc une double égalité dont les premiers membres dif-

fèrent de 7 . 2 a, par suite 7' = —-)- a et a=-~ , n= -g-. Les côtés du triangle seront -~,

IX. Trouver un triangle tel , que l'aire diminuée de la somme des côtés de l'ange droit fasse un nombre donué. ( Même solution.)

obs. de fermât. En faisant usage de notre méthode , on peut ajouter la question suivante : Trouver un triangle rectangle tel , que la somme des côtés de l'angle droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre donné.

X. Trouver un triangle rectangle tel , que son aire augmentée de l'hypothénuse et d'un côté de l'angle droit , fasse un nombre donné.

Solution. 4 nombre donné; les trois côtés du triangle seronla N,pN,y n; on devra avoir : N a +(ï + P) ^=4*

d'où n= - l iî â) * yJJ£±^±»Zi , pour qucNsoit

rationnel , il faut que ^ + a p soit un carre. Posons

dans la formule générale du triangle rectangle, jc=n'h- i, yzzn' , nous prendrons a=x a — y 2 =2 N'-f- i, $=zzxy... ... = aH'*-f a n', y = x^ -f = 2 n" -f- 2 n' -f i , avec ces hypothèses , la condition pour que n soit rationnelle, exige que n' 4 -f- 1 a n' 18 n"4-8 n' -f * soit un

carré , on l'égalera a ( n'* + 6 n' — 1 )*, d'où n' = -7- et

par suite is = , tout sera connu.

XI. Trouver un triangle rectangle tel , que le nombre qui exprime son aire , diminué de la somme de l'hypothénuse et d'un côté de l'angle droit, fasse un nombre donné.

obs. de fermât. On peut résoudre d'après notre méthode la question suivante : Trouver un triangle rectangle tel, que la somme de Vhypothénuse et tfun côté de ï angle droit diminuée de l'aire, fasse un nombre donné : de plus, le problème suivant peut être ajouté aux commentaires de Bachet : trouver un triangle tel, que ïhypothénuse diminuée de Xaire , fasse un nombre donné.

XII. Trouver un triangle rectangle tel , que la différence des côtés de l'angle droit soit un carré, ainsi que le plus grand des deux côtés , et que l'aire ajoutée avec le plus petit côté , fasse un carré.

Solution. Dansla formule (x* —/*)*+ (a x /)*= (x*+y)\ si on pose x= a/, le grand côté sera 4 y\ la différence des côtés jr 9 et deux conditions seront remplies; il faudra de plus que l'aire 6 j 4 , plus le petit côté 3 j', ou que 6 / 4 -i-3j' soit un carré, et que par suite 6 y* + 3 soit un carré. On aura une première solution en posant j= 1 ; on

fera ensuite = i +z, et on trouvera 9 -f- 13. 2 + 6z 3 qui pourra être égalé d'une infinité de manières à (3 -(-a z)\

XIII. Trouver un triangle rectangle tel, que le nombre qui représente Taire , augmenté de l'un ou l'autre côté de l'angle droit , fasse un carré.

obs. de fermât. Diophante donne des triangles d'une seule espèce f semblables entre euxj remplissant le but proposé ; mais de notre méthode on déduit une infinité de triangles de diverses espèces, qui dérivent successivement de ceux de Diophante.

Soit, en effet, le triangle trouvé, 3, 4, 5 dont la propriété est que le produit des côtés de l'angle droit , a ugmenté du produit du plus grand côté de l'angle droit, par la différence des deux côtés de cet angle et par l'aire, fasse un carré (3.4 + 4- 1 • 6 = 36.) De celui-ci, il faut en déduire un autre de même propriété , soit^ le plus grand côté de t angle droit du triangle cherché, 3+n le plus petit côté. Le produit des deux côtés de l'angle droit augmenté du produit du plus grand côté, de la différence îles deux côtés et de l'aire , donne : 36 — 1 3 n — 8 n*, qui doit égalé à un carré. Comme les côtés 4 et 3 -f- n sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, leurs carrés ajoutés doivent faire en somme un carré. Ces carrés ajoutés, donnent: 35-f6 N4-N% qu'on doit égaler à un carré; il en résulte une double égalité , car 36 — 1 3 n — 8 n* et aussi a5 -f-6 n -f- doivent être égaux à des carrés. La double solution de cette double égalité peut être trouvée très-brièvemmt.

L'observation de Fermât renferme l'énoncé d'un problème auquel conduit la question de Diopbante dont nous allons indiquer la solution. a et h sont les côtes de l'angle droit d'un triangle rectangle , un triangle semblable aura pour côtés « n , L n ; d'après l'énoncé de la question xiii, on devra avoir ~a 7 -+-n n = > % — N'-f-'' * = z *> divisant

ces égalités par m' désignant les seconds membres par y' 1 , z' a , on

trouvera aisément ~(" — ?,) = a z'* — ff/> , ou en multipliant par a t ~-a.(a — h)zzza* z' n — al/y' 2 si nous faisons y'zz. 1 ; on voit d'après cette dernière quea^ + — a [a — h) devra être un carré; les

côtés de l'angle droit du triangle qui satisfait à la question de Diophatile, sont assujettis à cette condition , que leur produit, plus Taire du triangle multiplié par le plus grand côté, et par leurs différences , doit faire en somme un carré.

XIV. Trouver un triangle rectangle tel , que le nombre qui représente Taire diminué de l'un ou l'autre côté de l'angle droit , fasse un carré.

obs. de fermât. Par notre méthoite, on résoudra la question suivante autrement difficile : trouver un triangle rectangle tel, que un quelconque des côtés de l'angle droit diminué de l'aire, donne pour reste un carré.

XV. Trouver un triangle rectangle tel, que l'aire étaut diminuée d'un côté de l'angle droit ou de l'hypothénuse, le reste soit un carré.

Solution. Les côtés du triangle sont , par exemple : a s, p N,p;a, p, y étant des grandeurs qui conviennent aussi aux côtés d'un triangle rectangle. Les deux conditions

du problème peuvent s'écrire ainsi : — — n a — a k = x f ,

— ■ n * — y n = y * divisant les deux membres par N a et représentant les seconds membres par x'*y% nous aurons, en éliminant is% et en désignant -— ^- par a: a 1 y *=ay#'\..

... — et a ( y — a). 11 faut donc trouver des côtés a, p ; y d'un triangle rectangle tels, que a p od * — aA(y — a) soit un carré ; Diophante donne sans démonstration pour le triangle qui satisfait a = 8, p= i5, y = 17, et en effet, 8 . 1 7 . 36' — 8 . 60 . 9 = Ici on suppose x J ' = 36% par

suite N = -j- et le triangle cherché [est formé des cô- , 8 i5 i

les „ , -5-,

XVI. On donne deux nombres, si on trouve un carré tel , que son produit par le premier nombre , diminué du second , soit un carré ; on pourra trouver un second carré plus grand que le premier, qui , multiplié par le premier nombre et diminué du second , donne encore pour reste un carré.

Solution. Nombres donnés 3, n ,on a 3 . 5 ■ — 1 1 = 8 \ Si on remplace le côté du carré 5 par 5 4" n, nous pourrons poser 3. (5 + n) 1 — i i = (8 + ocn) 4 , faisant «=— 2, n vaudra 62 ; tout sera connu.

XVII. Trouver un triangle rectangle tel, que si on augmente son aire, soit de l'hypothénuse, soit d'un côté de l'angle droit , la somme soit un carré. Le triangle a la forme

obs. de fermât. On peut essayer parle secours de notre méthode la question suivante , autrement difficile : trouver un triangle rectangle tel , que l'hypothénuse ou un des côtés de £ angle droit étant diminués de ïaire , le reste soit un carré.

XVIII. Trouver un triangle rectangle tel , que la bissectrice d'un des angles aigus soit rationnelle.

Solution. Appelions cette bissectrice 5n, les segments de la base correspondants a l'hypothénuse ou a la hauteur seront désignés par 3 — 3n et 3n, par suite la hauteur sera 4n, et on calculera l'hypothénuse x, par la proportion 3n : 3— 3 n : : 4n :x, d'oùx=4 — 4 N - Mais puisque le

triangle est rectangle g-\- i6n*=(4— 4 N )% d'oùnss-^-. Par suite tout sera connu.

XIX. Trouver un triangle rectangle tel, que son aire, ajoutée à l'hypothénuse , fasse un carré, et que son périmètre soit un cube.

Solution, n sera Taire, les côtés de l'angle droit 2,1s , l'hypothénuse a* — n, le périmètre a* -H 2 qui devra être un cube; on satisfait en posant a— 5 , il reste la condition pour

que le triangle soit rectangle, qui donne n=-^-.

obs. de fermât. Peut-on trouver en nombres entiers un carré autre que 25, qui, augmenté de 2, fasse un cube? A la première vue cela parait d'une recherche difficile; en fractions une infinité de nombres se déduisent de la méthode de Bachet ; mais la doctrine des nombres entiers , qui est assurément très-belle et très-subtile , na été cultivée ni par Bachet, ni par aucun autre dont les écrits soient venus jusqu'à moi.

XX. Trouver un triangle rectangle tel , que l'aire, ajoutée à l'hypothénuse , fasse un cube , et que le périmètre soit un carré.

Solution, n sera l'aire, l'hypothénuse sera x 3 --n, les côtés 2 , n, le périmètre 2-f-x 3 devra être un carré. Pour trouvera, on posea = z— 1. Par suite, 2-f-a 3 =i...

...-f-3js— 32 9 +z 3 , qu'on peut égaler à (~ z -h) » d'où

z =: 4r- ; le côté du cube sera .

XXI. Trouver un triangle rectangle tel, que l'aire , ajoutée a un des côtés de l'angle droit , fasse un carré , et que le périmètre soit un cube.

Solution. Formons un triangle rectangle en posant dans la formule générale du triangle rectangle jc=n + i,/=n ; sa hauteur sera an+i., sa base 3N 5 + 2n, l'hypothénuse

2JNH-2N4- 1, lepérimètre4NH-6iN + 2 = (4 N + 3 )( N + 1 )- Si on suppose tous les côtés du triangle divisés par n+i, son périmètre sera N-f- i fois plus petit et égal à 4n4- 2 qu'on devra égaler a un cube ; mais Taire du nouveau triangle

ou JlI^ilîL augmentée de 2N +' devra faire un carré;

or la somme est 2 N-f- 1 , moitié de 4 N + 2, il faudra donc trouver un carré moitié d'un cube. 4 * 8 , satisfont a la ques-

tlOn, S12N-fl={, N=— .

XXII. Trouver un triangle rectangle tel, que Taire augmentée d'un des côtés de l'angle droit soit un cube , et que le périmètre soit un carré.

Solution. Si on répète les raisonnements de la question précédente, il faudra que 4 N 4- 2 S0li ua carré, et 2 n-|- 1 un cube. On devra donc trouver un carré double d'un cube ;

16 et 8 satisfont , et N= 7 .

XXIIL Trouver un triangle rectangle dont le périmètre soit un carré , et Taire , augmentée du périmètre , un cube.

Solution. Côtés du triangle 2 n, pT— 1 , w a +i , le périmètre 2 n' 2 n = x % Taire , plus le périmètre , n 3 + 2 h • -h n =y\

On satisfait a la première question en prenant n= ^ a a ,

il faut trouver a , de telle sorte que la seconde condition soit

remplie. Après le calcul fait, la seconde devient ^ a ^* 3 =zj 3

pourvu que 2 a soit un cube , on satisfera au problème , mais on doit avoir, pour que n etN a — i soient positifs;

a* > 2 < 4 , si on fait # = -^-, 2tf=-^ se ra un cube, et les

conditions seront satisfaites. De plus n= .

XXIY. Trouver un triangle rectangle dont le périmèlre

soit un cube , et dont le périmètie augmenté de Taire soit un carré.

Solution, a l'aire, p le périmètre ; on devra avoir p=x\ a+p=/\ Prenons — et 2 an pour les côtés de l'angle droit du triangle cherché; l'hypothénuse sera p 1 — 2 an ; mais la condition que le triangle soit rectangle donnera :4pa.n' — (p'+4 a ) n = — 2pEl P uis( I ue n doit être rationnel (p , +4a) , -32AP 1 doit être un carré.

Diophante suppose p=64, et la première condition du problème est remplie. Donc la relation pour que N soit rationnelle devient : A a — 6i44a+ 108576 = 2% et comme on a aussi a+ 64 = y\ il en résulte une double égalité facile à résoudre.

L'observation suivante de Fermât est placée au milieu d'un petit traite de Bachct sur les doubles égalités, et qui sert de commentaire à la proposition de Diophante.

obs. de fermât. Où ne suffisent pas les doubles égalités , il faut recourir aux triples égalités , qui sont de notre invention, et qui jettent tout d'abord de la lumière sur plusieurs beaux problèmes. Qu'on égale par exemple n + 4 > 2 N 4" 4 > 5 n + 4 à des carrés, il en résultera une triple égalité dont la solution est rapidement obtenue par le moyen d'une double égalité. Si on pose , au lieu de n , une quantité qui avec 4 fasse un carré , par exemple n * -f-4 N * e premier des nombres à égaler à un carré sera n*+4 n ~I~4> par suite {en remplaçant N par n a +4 N ) le second sera 2N'+8n+4> et le troisième 5 n 9 + 20 n + 4 . £e premier étant parla construction un carré, il résulte qu'il suffit d'égaler 2 n 1 -+- 8 n 4 et0N*-|-2ON-J-4 à des carrés On a donc une double égalité qui certainement donne une solution; mais cette solution découverte en fournit encore une nouvelle, et de celle-ci dérive une troisième , et ainsi de suite à l'infini. On procède à

ce travail de cette manière: la valeur de N étant trouvée, on remplacera n par n augmenté de la valeur trouvée. Par cette voie , des solutions en nombre infini suivent la première , et la dernière dérivera toujours de celle qui la précède dans tordre le plus rapproché. Par le bénéfice de cette invention , nous pourrons fournir des triangles de même aire en nombre infini, ce qui paraît avoir été inconnu à Diophante, ainsi que cela ressort de la 8 e question du livre 5 e , dans laquelle il trouve trois triangles seulement de même aire , pour construire avec trois nombres la question suivante qui, au moyen de ceux que nous avons découverts le premier, reçoit une extension infinie. ( Voyez les notes ci-dessus, livre 5 , question 8 et g.J

Observations de Fermât sur le traité des doubles égalités de Bachct.

obs. de fermât. A ce traité des doubles égalités nous pourrions ajouter plusieurs choses que ni les anciens , ni les modernes , n'ont découvertes. Il nous suffit maintenant , pour prouver la dignité et l'usage de notre méthode , de résoudre la question suivante, qui est certainement très-difficile. Trouver en nombres un triangle rectangle dont ïhypothénuse soit un carré , ainsi que la somme des côtés de Fangle droit. Les trois nombres suivants représentent le triangle cherché: 4687298610289, 4565486027761, io6i6522352o. // est formé des deux nombres suivants : 2i5o9o5 , 246792. Mais , par une autre méthode , nous avons découvert la solution de la question suivante : Trouver en nombres un triangle rectangle avec cette condition que le carré de la différence des côtés de l'angle droit , moins le double carré du plus petit côté fasse un carré; un des triangles qui satisfait à cette question est le suivant : 1 525 , 1 5 1 7, 1 56 ; il est formé des nombres et 2.

Nous ajoutons de plus, avec confiance, que les deux triangles que nous avons rapportés , pour la solution des deux

questions proposées , sont les plus petits en nombres entiers de ceux qui remplissent les conditions demandées.

Voici notre méthode. Qu'on résolve la question proposée suivant la méthode vulgaire ; si la solution , après t opération terminée, n'a pas de succès , parce que la valeur est affectée du signe moins, et par suite est censée moindre que zéro, nous prononçons cependant avec confiance quil ne faut pas se décourager (par une paresse ou négligence , qui, comme dit Viete , lui est commune avec les anciens analystes.J Mais tentons de nouveau l'opération , et pour la valeur de la racine , posons h moins le nombre qui affecté du signe du défaut a été trouvé comme racine de la première opération. Il en résultera , sans aucun doute , une équation qui représentera en véritables nombres la solution de la question , et par cette voie nous avons résolu les deux questions précédentes qui auraient été très-difficiles. Nous avons démontré et justifié par le calcul , qu'un nombre, composé de deux cubes, pourrait être divisé en deux autres , mais cela en recommençant trois fois l'opération. Très-souvent il arrive que la vérité cherchée contraint l'analyste industrieux et habile à répéter successivement ses opérations comme on le comprendra en l'expérimentant.

XXV. Trouver un triangle rectangle tel , que le carré de Thypothénuse soit la somme d'un carré et de sa racine, et que ce même carré, divisé par un côté de l'angle droit, donne pour quotient un cube plus sa racine.

Solution. Côtes du triangle n et n*, carré de Thypothénuse N 4 -hN 9 qui remplit la première condition, mais ce carré, divisé par n , donne n 3 + n qui satisfait a la seconde condition. Il ne reste plus qu'à déterminer n , de telle sorte que N 4 -f- soit un carré , ou que n' + i soit un carré , on

l'égale à (n — a)', d'oùN=-|-.

XXVI. Trouver un triangle rectangle tel , qu'un côté de l'angle droit soit un cube , que l'autre côté soit un cube diminué de sa racine, et que ï'hypothénuse soit un cube augmenté de sa racine.

Solution. Hypothénuse n 3 +n, un côté n 3 — n, l'autre côté sera 2 n 4 ; il faut donc que 2 n • soit un cube , ce qui a lieu si n = 2 ; le triangle sera formé des côtés 10, 8 , 6.

Bacbet a placé une série de problèmes à la suite de la xxvi* question qui termine le vi e livre de Diophante. Fermât ajoute une observation très-importante au 20 e problème.

obs. de fermât. Vaire d'un triangle rectangle exprimée en nombres entiers ne peut être égale à un carré. Nous placerons ici la démonstration de ce théorème , de notre invention , que nous avons découverte après une laborieuse et pénible méditation. Ce genre de démonstration produira de merveilleux progrès dans les questions arithmétiq ues. Si l'aire dïun triangle était un carré , on donnerait deux quatrièmes puissances dont la différence serait un carré. D'où il suit qu'il serait donné deux carrés dont la somme et la différence seraient des carrés. Aitisi est donné un nombre formé d'un carré et du double a" un carré qui est égal à un carré , avec cette condition que les carrés qui le composent fassent aussi en somme un carré. Mais si un nombre carré est la somme dt un carré et du double dïun autre carré, son côté est pareillement la somme d'un carré et du double tfun carré, comme nous pouvons facilement le démontrer.

D'où il serait conclu que ce côté est la somme des côtés de l'angle droit d'un triangle , et qu'un des carrés qui le composent est la base, et que le double carré est égal à la hauteur.

Ainsi ce triangle rectangle sera formé de deux carrés dont la somme et la différence seront des carrés. Mais on prouvera que ces deux carrés sont plus petits que les deux premiers

carrés supposés , (font la somme aussi bien que la différence font un carré. Donc, si on donne deux carrés, dont la somme et la différence font un carré , on pourra donner en nombres entiers la somme de deux carrés de même nature qui sera moindre que la première. Par le même raisonnement on en trouvera une moindre que celle qui a été trouvée par le procédé qui a fait trouver la première , et toujours, jusqu'à F infini , on trouvera des nombres entiers moindres ayant la même propriété, ce qui est impossible , parce qu'on ne peut pas donner un nombre infini de nombres entiers moindres qu'un nombre entier quelconque. L'exiguité de la marge nous empêche d'insérer la démonstration complète, et plus amplement expliquée.

Par ce procédé nous avons conçu et confirmé par démonstration qu'aucun nombre triangulaire , à ï exception de l'unité, ne pouvait être égalé à une quatrième puissance.