DIOPIIANTE. — DES NOMBRES POLYGONAUX

La formule des nombres polygonaux est jr-f" ^^^(p— 2)

p désignant le nombre des angles du polygone. Le livre de Diopliante, dont il ne reste que quelques fragments, contient quelques propositions sur les progressions arithmétiques et les nombres polygonaux.

I. Si trois nombres a,a-\-k, a-\-2k sont en progression arithmétique, 8 fois le produit du plus grand par le moyen plus le carré du plus petit est un carré dont le côté est la somme du plus grand et du double du moyen. Algébriquement 8 [a+2k) (a+k)+a*=(3a + 4k)\

II. Si cinq nombres a, a + /:... a-L.4 A:, sont en progression arithmétique , l'excès du plus grand sur le plus petit, ou 4 A: , est un multiple de k exprimé par le nombre de termes moins 1.

III. Dans une progression arithmétique commençant par i et d'un nombre de termes quelconques , la somme de tous les termes par 8 fois la raison , plus le carré de la raison diminuée de a est un carré.

Soit i,Àr... i)A-, la somme 8 era (a " K,t ~ 0 * ) "