PAR PIERRE FERMAT

Pappus affirme qu'Apollonius avait écrit deux livres sur les lieux plans ; il en donne les énoncés au commencement de son septième livre; mais ces énoncés sont en termes obscurs, et le texte est souvent altéré. Fermât, d'après ces indications , rétahlit les deux livres d'Apollonius , et il démontre géométriquement la série de propositions que nous allons énoncer , supprimant les démonstrations qu'il n'est pas difficile de trouver.

l re proposition. On donne une courbe et un point a ; on mène une droite a m du point a a un point quelconque de la courbe, et sur a m on prend un point i tel que a m soit à ai dans un rapport constant ; trouver le lieu du point L Fermât construit le lieu lorsque la courbe donnée est un cercle.

2 e proposition. On donne un point a et une ligne courbe; on joint le point a avec un point quelconque m de la courbe par une droite a m; on prend sur a m un point i, tel que am.ai=k\ k* étant une aire donnée ; trouver le lieu du point i.

3 e proposition. On joint le point a donné avec un point quelconque m d'une courbe donnée , et on mène une ligne ai par le point a, faisant avec a m un angle constant et telle 1° que ai : am:: q : i , ou 2° que ai.am=zk 7 ; trouver le lieu du point i dans chacun des deux cas.

4 e proposition. On donne deux points a , h , et une courbe; on joint le point a à un point m de la courbe; par le point b , on mène une droite qui rencontre a m prolongé sous un angle donné v, et qui soit telle, 1° que bi : a m : : q : i ; 2° que bi . amzzzk*... trouver le lieu du point i.

5 e proposition. On donne trois lignes indéfinies ab , cd, ef\ d'un point / on mène a ces droites trois lignes a m, ap , as , qui les rencontrent sous des angles donnés a, p, y; trouver le lieu du point i, déterminé de telle sorte que am-\-ap : as : : q : i .

Nota. — Apollonius applique ces énoncés généraux aux cas particuliers où les lignes données sont des droites ou des circonférences.