Livre second d'Apollonius

i° Sur une ligne droite on prend trois points a, b, c, et en dehors de cette droite un point i , tel que ai % -\-bi > — ci*=.k* ; k* étant une aire donnée, le lieu du point i sera une circonférence.

2° Si on prend deux points a et b sur une droite et un

point i en dehors, tel que le rapport^, soit constant , le

lieu du point / sera une circonférence.

3° Si on a autant de points qu'on voudra a , h , c , d, sur une ligne droite , et si on détermine un point i par la

condition que a i*-±-ib'-\-ic* -{-... =A: a , le lieu du point/ sera une circonférence.

4° On donne deux points a et b sur une droite ab\ on veut déterminer un point i , tel qu'en abaissant de ce point une perpendiculaire */> sur a^, on ait la relation constante

ai* -\-bi*z=aj>.ab , trouver géométriquement le lieu du point /.

5° a, b, sont deux points pris sur une droite ; on décrit du point o, milieu de a 6, une circonférence qui ait pour diamètre ab. Ce diamètre est prolongé de b vers a , jusqu'en un point c, tel que a c x ab=zoc\ Si du point c on élève une perpendiculaire indéfinie sur le diamètre ainsi prolongé , et si on prend sur celte perpendiculaire un point quelconque m , la sécante au cercle menée par le point /w, et passant par le centre , sera telle que le produit de sa longueur totale par le diamètre vaudra om\

DOCTRINE DES PORISMES D'EUCLIDE , RENOUVELÉE ET PRÉSENTÉE PAR LES NOUVEAUX GÉOMÈTRES SOUS FORME D'INTRODUCTION.

Pappus a énuméré , au commencement de son septième livre, les ouvrages des géomètres qui se rapportent ad toxov ecvaAu^evov , et qui ont tous péri par l'injure du temps , à l'exception du livre unique des Données d'Euclide, et des quatre premiers livres des Coniques d'Apollonius. Les géomètres modernes se sont appliqués a rétablir, le mieux possible, ces ouvrages que le temps destructeur n'a pu entièrement supprimer , et en premier lieu le géomètre très-subtil François Viete, qu'on ne peut assez louer, nous a rendu , dans un seul petit livre qu'il a donné sous le titre $ Apollonius

Gallus, les livres d'Apollonius, irepl éira^ûv. Excités par cet exemple, Marius Ghetaldus et TVillebrovdiis Snellitis, se sont appliqués à de semblables recherches , et cela avec succès , car, grâce à leurs travaux , a peine avons-nous quelque chose a désirer relativement aux livres d'Apollonius, Xoyou àiroTO|j(.7iç , x^P^u â7roTO(XY5;, &topta|xiv7); tojjwjç et veuff£wv. D'autres, géomètres , dont le nom n'est pas inconnu , se sont aussi attachés a ce sujet , et leurs travaux , quoique manuscrits et encore inédits , n'ont pu être entièrement ignorés ; mais il restait encore la doctrine des Porismes d'Euclide, dont l'explication n'avait pas été tentée , et qui était comme désespérée. Et quoique Pappus affirme que c'est un ouvrage très-ingénieux et très-utile pour la résolution des problèmes les plus obscurs , les géomètres qui nous ont précédés et ceux de notre époque , n'ont compris ni les énoncés ni l'objet de ces porismes; mais comme nous marchions en aveugles dans ces ténèbres, cherchant par quelle voie nous pourrions être aidés dans ces questions géométriques, elle s'est montrée à nous avec évidence , et son obscurité a été éclairée d'une vive lumière , et nous n'avons pas dû laisser inconnu à nos successeurs un spécimen de ces nouveautés et de ces inventions ; à une époque où l'astre suédois éclaire toutes les doctrines , ce serait en vain que nous cacherions quelques mystères scientifiques , car rien n'est impénétrable au génie plein de sagacité de cette incomparable reine , et il ne nous est pas permis de celer une doctrine dont elle aurait pu (nous n'en doutons pas) ordonner ou inspirer la découverte par un seul signe de sa volonté ; mais pour que tout ce qui concerne les porismes soit établi avec clarté, nous avons choisi quelques propositions porismaliques, et nous les livrons avec confiance à l'examen des géomètres, pour qu'enfin on connaisse ce que c'est qu'un porisme et a <jucl usage il peut servir.

(Fig. 27.) 1° Deux droites on, de, se coupent en o; on donne deux points a , b , et par ces points on mène deux parallèles be, afk la droite de , qui coupent la droite on aux points e et j\ Cela posé, joignons la droite ae que nous prolongerons jusqu'en d, et la droite fb que nous prolongerons jusqu'en e. Si de plus on prend un point v quelconque sur la droite on et qu'on mène les droites av , 6t> , qui coupent </c en ^ et r, le rectangle formé par les deux longueurs cr, d s, vaudra toujours le rectangle formé par les deux longueurs co et od, et par suite le rectangle cr* ris sera toujours égal à une aire donnée (quel que soit le point v ).

(Fig. 28.) 2° Considérons une parabole dont beo est un diamètre quelconque ; prenons deux points a et n fixes sur celte courbe que nous joindrons à un point d mobile sur cette même courbe par les droites ad, dn; quelle que soit la position des droites ad, nd, les deux segments ob , be qu'elles forment sur un même diamètre auront toujours le même rapport.

( Fig. 29.) 5° On donne un cercle et son diamètre a d ; on mène une parallèle mn à ce diamètre, et des points fixes n et m de la circonférence , des cordes nb, bm qui se croisent en b ; ces cordes couperont le diamètre aux points o, v , tels que le rectangle aoy.dv aura un rapport constant avec le rectangle avxdo, quelle que soit la position du point b.

(Fig. 50.) 4° Soit un cercle ich, dont le diamètre est ih, le centre d , et de une perpendiculaire au diamètre; prenons sur le diamètre prolongé deux points b et a , tels que ai=bh , et sur ce diamètre deux points symétriques /, r, tels que di : ai :: dl : li , et d h : hb :: dr : rh. Cela posé , menons la perpendiculaire a f au diamètre , égale à ac; menons aussi la perpendiculaire bgzziaf-,

enfin , joignons les points f, g, avec un point quelconque e de la circonférence , les droites Je , eg couperont le diamètre aux points m et n. Je dis qu'on aura rrn*-\-ln* égal à un espace constant. La construction pourrait aussi se faire en menant deux perpendiculaires lp , rz au diamètre , égales à c l ; joignant dans ce cas les points z et p à un point quelconque v de la circonférence , les droites p v , 2 1> couperont le diamètre aux points k et / , et la somme sera égale constamment au premier es-

pace donné.

(Fig. 51.) 5° Soit un cercle rac, dont le diamètre est rdc , le centre </ et le rayon da perpendiculaire au diamètre ; soient pris sur le diamètre deux points b , z équidistants du centre, et après avoir joint az , menons les perpendiculaires z m , ho au diamètre égales a az; enfin joignons les points m , o avec le point h par deux droites m h, oh qui coupent le diamètre aux points e et n , la somme de c// a + sera à l'aire du triangle ehii dans un rapport constant , et ce rapport sera celui de az au quart de z d.

D'après les porismes que nous venons de rapporter , et dont personne ne disconviendra que les énoncés sont trèsbeaux et très-élégants , on peut rechercher la nature du porisme , qui d'ailleurs se montre d'elle-même.

Il peut , en effet , être énoncé sous forme de problème ou de théorème, et si nous les avons énoncés comme théorèmes, rien n'empêche de les transformer en problèmes ; par exemple , le cinquième porisme peut être ainsi conçu : Etant donné un cercle de diamètre rc , chercher deux points mo tels que menant de ces points deux droites mh , ho à un point quelconque de la circonférence , on ait toujours (eh*-\-hn % ) : aire (A en) dans un rapport constant, et la construction sera aisée si on fait que za soit au quart de z d dans ce rapport donné.

Ce que remarque Pappus , d'après l'opinion des géomètres les plus récents , que le porisme manque de l'hypothèse d'un théorème local (porisma , deficere hjpothesi h locali theoremate), révèle la nature spécifique du porisme ; et assurément , presque sans aucun autre secours que celui que fournissent ces paroles , nous pénétrerons les secrets de cette matière.

Lorsque nous cherchons un lieu , nous voulons trouver une ligne droite ou une ligne courbe, encore inconnue, jusqu'à ce que nous ayons fixé la position de cette ligne , objet de nos recherches; mais lorsque, d'un lieu supposé connu et donné, nous recherchons un autre lieu, ce nouveau lieu est appelé , par Euclide , porisme ; et c'est pour cette raison que Pappus a ajouté, avec vérité, que les lieux eux-mêmes avaient ce nom , et étaient une espèce de porismes. Nous établirons notre définition sur un exemple unique : dans la figure du 5 me porisme; une droite rc étant donnée, si on cherche une courbe rac dont la propriété soit que le carré de la perpendiculaire ad, abaissée d'un quelconque de ses points, soit égal au rectangle rd y. de, nous trouverons que la courbe rac est une circonférence de cercle. Mais si de ce lieu déjà donné nous en cherchons un autre, par exemple le lieu indiqué par le problème posé dans le 5 me porisme, ce nouveau lieu, et une infinité d'autres, qu'un analiste ingénieux pourra former et déduire du lieu connu, sera nommé porisme.

Puisque , d'après ce que nous avons dit , les porismes sont des lieux, nous corrigerons, d'après le texte grec, l'erreur du traducteur latin de Pappus , dans cet endroit où il dit que l'emploi du porisme est très-utile pour la résolution des problèmes les plus obscurs, et de leurs genres, qui n'embrassent pas cette multitude que fournit la nature (ac eorum generumquœ haud comprehendunt , eam quœ multitudinem prœbet naturam). Comme ces dernières paroles n'ad-

mettent pour ainsi dire aucun sens, il faut recourir à l'auteur lui-même dont les paroles dans les textes manuscrits sont les suivantes : TcopfojjiaTa e<ro iro^Xoîç aôpot<T(x.a çiXoTe^votcctov etç tyW âva^udiv tûv ep.ppi6e<JTéptov icpopXYjpLûtTwv xal tôv ycvàv âicept^7i7CTOv tyjç <pu<rewç icapexop^vTQç ttXtjÔoç. Il dit , en conséquence , que les porismes se rapportent à l'analyse des problèmes les plus obscurs et des genres , c'est-à-dire des problèmes les plus généraux; il paraît par ces mots que les propositions des porismes sont les plus générales ; ensuite il ajoute, que la nature ( de ces problèmes) fournit une multitude qui peut être a peine comprise par l'esprit, par lesquelles paroles il veut indiquer les solutions en nombre infini et merveilleusement rapprochées du même problème. Pour le porisme, qu'il soit considéré comme théorème ou comme problème , il dérive d'une méthode purement analytique, et par son secours, non-seulement nous avons trouvé et construit les cinq porismes précédents, mais nous en avons démontré plusieurs autres ; et si ce peu que nous avons publié comme introduction et prodromes d'un ouvrage plus soigné , est agréable aux savants, nous rétablirons un jour trois livres entiers de porismes; nous étendrons nos recherches plus loin qu'Euclide lui-même , et nous ferons connaître des porismes dans les sections coniques et dans les autres courbes, assurément merveilleux et encore inconnus.