VI. Diviser un nombre en deux parties, telles qu'une

fraction de la première , diminuée d'une fraction de la seconde , fasse une différence donnée.

VII. Trouver un nombre tel , qu'en le diminuant successivement de deux nombres donnés, les deux restes soient dans un rapport assigné.

VIII. Trouver un nombre tel, qu'en l'augmentant successivement de deux nombres donnés , les deux sommes soient dans un rapport assigné.

IX. Trouver un nombre tel, qu'étant retranché de deux nombres donnés , les deux restes soient dans un rapport assigné.

X. On donne deux nombres, on veut en trouver un troisième tel , qu'étant ajouté avec le plus petit, et soustrait du plus grand, la somme et la différence soient dans un rapport

assigné.

XI. Trouver un nombre tel , qu'étant augmenté d'un nombre, ou diminué d'un autre nombre donné, la somme et la différence soient dans un rapport donné.

XII. Un nombre est donné, il faut le diviser de deux manières en deux parties telles, qu'une partie du premier mode de division ait un rapport assigné avec une partie du second mode , et que les deux parties restantes aient aussi entre elles un rapport déterminé.

XIII. Diviser un nombre donné en deux parties de trois manières différentes telles, qu'une partie du premier mode de division soit a une partie du second mode daus un rapport donné ; que, de plus, la partie restante du second mode ait un rapport donné avec une partie du troisième , et qu'enfin la partie restante du troisième mode ait un rapport donné avec la partie restante du premier mode.

XIV. Trouver deux nombres tels, que leur produit ait un rapport donné avec leur somme.

XV. Trouver deux nombres tels, que si on augmente chacun d'eux d'un nombre donné différent , pris en moins sur l'autre , chaque somme soit à chaque reste dans un rapport donné.

XVI. Trouver trois nombres tels, qu'étant ajoutés deux a deux, les trois sommes soient égales à des nombres assignés.

XVII. Trouver quatre nombres tels , que les quatre sommes obtenues, en les ajoutant trois à trois, soient égales à des nombres donnés.

XVIII. Trouver trois nombres tels , que les sommes de deux quelconques surpassent le nombre restant de nombres donnés.

XIX. Diophante donne une seconde solution de la question XVIII.

XX . XXI. Trouver quatre nombres tels , que la somme de trois surpasse celui qui reste d'un nombre assigné.

XXII. Diviser un nombre donné en trois parties telles, que la somme des deux premières ait un rapport donné avec la troisième.

XXIII , XXIV. Trouver trois nombres tels , que le plus grand surpasse le moyen d'une fraction donnée du plus petit , que le moyen surpasse le plus petit de la même fraction du plus grand, et qu'enfin le plus petit surpasse d'un nombre donné la même fraction du moyen.

Par exemple : les nombres 45 , 3^ +~T* 1 2 -f-7- sont tels que le plus grand 4^ surpasse le moyen du tiers du plus petit, que le moyen surpasse le plus petit du tiers de 45 , et qu'enfin le plus petit surpasse de 1 o le tiers du moyen.

XXV. Trouver trois nombres tels, que, si on diminue chacun d'une certaine fraction de sa valeur et qu'on en augmente le suivant, les trois résultats obtenus soient des nombres égaux.

Par exemple : le premier nombre cédera le tiers de sa valeur au second , le second cédera le quart de sa valeur au troisième, et ce dernier le cinquième de sa valeur au premier; après cet échange, les résultats seront des nombres égaux. — Solution, 6, 4, 5.

XXVI. Trouver quatre nombres tels , que chacun cédant au suivant une fraction de sa valeur, les résultats après les échanges effectués , soient égaux.

XXVII. Trouver trois nombres tels, qu'un quelconque étant augmenté d'une fraction assignée de la somme des deux autres, les résullats soient des nombres égaux.

Exemple. Le premier sera augmenté du -y- de la somme des deux autres, le second du -J» de la somme des deux autres, le troisième du -j- de la somme des deux autres. Nombres de Diophante, i3, 17, 19.

XXVIII. La question XXVII appliquée à quatre nombres : ici chacun est augmenté d'une fraction de la somme des trois autres.

XXIX. Deux nombres étant donnés, en trouver un troisième tel, qu'étant multiplié successivement par les deux premiers, un des produits obtenus soit le carré de l'autre.

Exemple. Nombres donnés , 200, 5; nombre cherché, n. On veut que qoon soit égal au carré de 5n, ou que 300= a5N, d'où n=8.

XXX. On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres.

Solution. Soit p la somme des deux nombres , q leur produit. Diophante prend pour inconnue x , différence deux

nombres, et il remarque que le produit donné q=z<—^ — ,

d'où il déduit x. En général , Diophante ramène l'équation du second degré à la forme x*=:k; et pour cet effet, il fait constamment usage de cette relation algébrique qu'il énonce

sur des nombres particuliers : ( rt ~"j~)~(~~^~) ==<l • ^

XXXI. Trouver deux nombres tels , que leur somme et la somme de leurs carrés fassent des nombres donnés.

0 Exemple. La somme des deux nombres sera 20, la somme de leurs carrés 208. Un des nombres sera 10 + n, l'autre 10 — N , la somme de leurs carrés ; 2 n 1 -|- 2 00 = 208,

XXXII. Trouver deux nombres tels, que leur somme et la différence de leurs carrés fassent des nombres donnés.

XXXIII. On donne le produit et la différence de deux nombres , trouver ces deux nombres. ( Prendre la somme des deux nombres pour l'inconnue. )

XXXIV. Trouver deux nombres ayant entre eux un rapport donné, et tels que la somme de leurs carrés soit à la somme des nombres dans un rapport donné.

Exemple. Le second sera triple du premier n ; ce second sera 3 n ; la somme de leurs carrés ion 1 vaudra par exemple cinq fois la somme 4 N des nombres ; on aura donc

ION'= 20N, d'0Ù N = 2.

XXXV. Trouver deux nombres en rapport donné tels, que la somme de leurs carrés ait un rapport assigné avec la différence des deux nombres.