NOTIONS PRELIMINAIRES : VOCABULAIRE, DEFINITIONS, NOTATIONS

Représentation des quantités imaginaires. — H est commode, pour se représenter une quantité imaginaire

z = x-^y /— I =z x-^yi,

de tracer deux axes de coordonnées rectangulaires Ox^ Oy et de considérer x Ql y comme les deux coordonnées d'un point M, qu'on nomme Vafjixe de l'imaginaire; OM = \Jx^-\-y'^ est le modale de l'imaginaire, x et j^ peuvent prendre des valeurs arbitraires et indépendantes; dans certains cas, on a besoin de considérer X ^\y comme fonctions d'un même paramètre t\ le point M décrit alors une courbe C; il nous arrivera de dire que le point Z, ou même la variable ;;, décrit la courbe G.

Chaque variable imaginaire pourra ainsi être considérée comme rapportée à deux axes de coordonnées qui varieront d'une variable à l'autre. Soit Z=/(5) une fonction de z\ lorsque z décrira dans son plan une courbe, Z décrira dans son plan une autre courbe.

Points ordinaires; points critiques. — Si, quel que soit le chemin parcouru par z pour arriver au point Sq^ Z prend au point Zq une valeur unique et finie, le point Zo sera un point ordinaire de la fonction /(z). Dans le cas contraire, ce sera un point critique; Zo sera un pôle de /(z) si /(zq) est infinie et si l'inverse de/(z) reste finie et bien déterminée dans le voisinage de Zo\ les points critiques qui ne sont pas des pôles s'appellent des points singuliers essentiels (nous n'aurons pas à en considérer). Si /(^o) est nulle, Zq est un zéro de f(z)^ simple, double, triple, etc., suivant que, dans la suite /(zo ), /' (^o)^/" {^o}^ • • ■» une, deux, trois, . . . fonctions sont nulles.

Diverses espèces de fonctions. — Si z^ est un point ordinaire d'une fonction, la fonction est à\ie régulière au point z^ et l'on peut développer la fonction suivant la formule de Taylor

Une fonction régulière en tous les points z d'une portion de plan est dite holomorphe dans cette portion de plan. Une fonction qui n'a pas d'autres points critiques que des pôles dans une portion de plan est dite méromorphe dans cette portion de plan. Par exemple, les fonctions sin 5, cos 5, e^ sont holomorphes dans tout le plan, tang^ est méromorphe.

On dit qu'une fonction est uniforme (ou monodrome) dans une portion de plan lorsqu'elle n'a qu'une valeur pour toutes les valeurs de z situées dans cette portion de plan. Les fonctions précédentes sont uniformes dans tout le plan; \/z -a^ log(^ — «) ne le sont pas. Par exemple y/5^ prend, en chaque point du plan, deux valeurs égales et de signes contraires, zb 2. Mais si l'on sait d'avance que s^'z'^ doit être positif en même temps que z^ \/z^ n'aura plus qu'une seule valeur -\- z bien déterminée pour toutes les valeurs positives de z. Il est donc possible, en ajoutant certaines conditions complémentaires, de traiter les fonctions mal déterminées ou multiformes comme des fonctions uniformes.

Définitions de fonctions par des séries. — Un des moyens les plus puissants de définir les fonctions d'une variable z consiste