NOTIONS PRÉLIMINAIRES

à les définir par des séries. Les fonctions holomorphes sont définies par des séries entières analogues à la série de Taylor ; ainsi l'on peut prendre comme définition de e^, smz, cosz les séries suivantes :

sin^ — ^

et ces séries, convergentes pour toutes les valeurs de z, réelles ou imaginaires, permettent d'établir les formules fondamentales suivantes, dont j'appellerai spécialement la troisième, la quatrième et la cinquième ybrme//(?5 d^Eulcr :

e^xey —

sina? co^y -+- sin

cosar,

cosa7-+- tsino:,

sina? =

eix^cix

'Il

cosx =

eix^ e-ix

cx-^iy — ex (cos^ 4- isïny),

d'où l'on déduit que le module de e^^y est e-^.

Ces formules sont bien connues : cependant, pour éviter toute difficulté au lecteur, je lui rappellerai que la convergence d'une série imaginaire se constate soit en démontrant que la série des modules de chaque terme est convergente, soit en vérifiant que la partie réelle et la partie imaginaire sont séparément des séries convergentes. Il existe des séries, qui sont convergentes sans que la série des modules soit convergente; telles sont, par exemple,

les séries alternées

Nous ne considérerons pas de telles séries, qu'on appelle séries semi-convergentes. Les séries, qui seront employées dans cet Ouvrage, seront toujours absolument convergentes, c'est-à-dire

4 CDAPITRE I.

que la série des modules des termes sera convergente. On sait que souvent une série

Ao-+- Al (5 — a) 4- Ai(5 — a)*-+- ...,

convergente pour des valeurs de z. suffisamment voisines de a, cesse de Têtre dès que la distance du point z au point a atteint une certaine valeur : cette valeur s'appelle le rayon de cornergence de la série.

Les fonctions méromorphes s'expriment, ou se définissent, par des séries de Laurent^ composées d'une série entière analogue à la précédente, précédée d'une fraction rationnelle. Telle sera, par exemple, la fonction pu^ qui jouera un rôle prépondérant dans cet Ouvrage,

pa = — j -h Ci a' -h Cj w^ -H

La forme générale est, dans le voisinage du pôle a,

Fonctions simplement et doublement périodiques. — La

Trigonométrie a pour objet l'étude des fonctions périodiques : sin5, C0S5 ont pour période 211, tang5 admet i: comme période, e^ a une période imaginaire t.tzL C'est un théorème connu, mais que nous ne démontrerons pas, que les fonctions holomorphes ne peuvent avoir plus d'une période.

Ainsi une fonction qui admet deux périodes distinctes a nécessairement des pôles : les fonctions doublement périodiques les plus simples n'ont pas d'antres points critiques que des pôles : on les appelle fondions elliptiques. On démontre, dans les cours d'Analyse, qu'une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes distinctes et que le rapport de ces périodes doit être imaginaire 5 nous admettrons ce théorème qui n'offre pas pour nous une utilité immédiate, mais qui fait comprendre pourquoi nous n'introduirons que des fonctions dont les deux périodes présentent un rapport imaginaire.

NOTIONS PRËLIMINAIRES.

D'une fonction /(5) simplement périodique, à période ait, on peut déduire une fonction à période quelconque 2co, en posant

La fonction

admet la période 2(0, puisque, si u augmente de 20), z augmente de 271 et par suite /(.s) ne change pas, ni ©(m). C'est ce qti'on

exprime ainsi :

cp(a-h 20))= cp(M)

et plus généralement, m étant un entier quelconque positif ou

négatif,

o(M-i-2/?Ja))=<p(M).

Fonctions doublement périodiques de deuxième et de troisième espèce. — On appelle fonction périodique de deuxième espèce une fonction méromorphe qui est multipliée par deux quantités constantes différentes 5,, 52, lorsque la variable s'accroît de deux quantités données 2Ci>i, 2o>2 différentes : on a donc, par définition,

On appelle fonction périodique de troisième espèce, une fonction méromorphe qui est multipliée par deux facteurs exponentiels différents, e^i^+*i» e^t^+*iî lorsque la variable s'accroît respectivement des quantités 2(0|, 2W2; on a donc par définition

( ©(^ -h 20),)= e«i=+*icp(-3), ( <p(-3 -h 20)s)= e«»--^*«ç(^).

Notations. — Nous désignerons par [a| la valeur absolue ou le module de a\f{u)^f'{u)^ . . . représenteront les dérivées première, seconde def{u) par rapport à la quantité désignée par w; ainsi si

on aura

(p'(a)=X/'(Xw).