CHAPITRE IV

De T équilibré produit parla composition de plusieurs forces appliquées à divers points matériels liés entre

eux invariablement -

Tous les corps que la nature nous présente étant composés de parties d’une étendue sensible , nous ne pouvons pas y vérifier par une application immédiate , les lois que nous venons de découvrir pour un seul point matériel , qui serait isolé dans l’espace. Mais il était indispensable de passer par cette abstraction , avant d’arriver aux phénomènes plus composés que présentent plusieurs points liés entre eux par une dépendance mutuelle, tels que ceux qui composent réellement les corps.

Dans ce cas , les forces appliquées à chacun des points du système ne bornent pas leur action à ce point. Elles la transmettent à toute la masse , en vertu des conditions qui rendent ses parties dépendantes les unes des autres , dans les positions qu’elles peuvent prendre et les déplacemens qu’elles peuvent éprouver. Par exemple , s’agit— il d’un corps solide ? le caractère mathématique d’un pareil corps sera que toutes ses parties soient liées invariablement les unes aux autres, de manière à ne jamais se désunir’ et quoique, à la rigueur , il n’existe probablement aucun corps naturel qui jouisse de cette invariabilité dans un degré tout-à-fait invincible , on peut néanmoins les considérer comme tels, lorsque leur contexture résiste à l’action des forces auxquelles on les soumet. Or , la rigidité qui caractérise un pareil système exigera évidemment que ses parties se transmettent mutuellement l’impression des forces qui sollicitent quelques-unes d’entre elles , puisqu’une quelconque étant poussée entraîne toutes les autres dans son mouvement. S’agit-il d’un corps liquide ? alors , l’impénétrabilité des diverses parties qui se touchent, est la seule condition qui gène leurs mouvemens, et qui règle la répartition des forces appliquées à chaque point de la masse entière. En général , toutes les conditions

DES CORPS SOUDES.

SI

de liaison imaginables entre les parties d’un système materiel se réduiront toujours à ce que quelques-uns de ses points seront contraints de rester sur des surfaces ou sur des lignes données , ou dépendront les uns des autres dans leurs mouvemens y de manière qu’une des parties ne pourra changer de position suivant un sens, sans qu’une ou plusieurs autres n’éprouvent aussitôt des déplacemens qui y correspondent. Tout cela pourrait s’imiter artificiellement , sr Ton considérait le système comme composé de points materiels primitivement isolés et libres , puis secondairement liés entre eux par des cordons plus ou moins extensibles et flexibles, conformément à la nature des mouvemens qui leur sont permis. Alors , la liaison qui les rend dépendants se réduira toujours à des pressions ou des tractions exercées suivant ces cordons-là • dès-lors, le mouvement ou l’équilibre de chaque point du système se déterminera exactement comme s’il était libre, mais sollicité par l’ensemble de toutes ces forces ; et la condition générale de l’équilibre ou du mouvement du système entier consistera en ce que toutes ces conditions in^ dividuelles puissent être remplies simultanément sans contradiction.

Appliquons ceci , par exemple , à l’équilibre d’un système rigoureusement solide , c’est-à-dire dent toutes les parties seraient liées invariablement • et pour noua borner à un cas simple , considérons celui ou un pareil système se trouverait sollicité seulement par deux forces , situées dans un meme plan et appliquées à deux de ses points; désignons ceux-ci par m , m' , jig. 6 , et représentons par m F , m) F* , les directions et les grandeurs des deux forces proposées. 11 est clair que la question serait résolue , si nous pouvions les ramener k avoir un même point d’application , car alors , leur composition s’effectuerait par notre règle générale du parallélogramme des forces. Or , nous arriverons là en considérant que le point d’application d’une force peut se transporter arbitrairement en un point quelconque de sa direction , pourvu qu’on suppose ce nouveau point lié au premier par un# verge rigide et inflexible qui transmette l’impression de la

de l’équilibre

force de Pun à l’autre , en vertu de l’impénétrabilité de ses particules. Selon ce principe, prolongeons les directions de» deux forces , m F, m' Ff , jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en un même point M , ce qui arrivera toujours , puisque nous les avons supposées comprises dans un même plan * puis supposant le point M lie' fixement au système , transportons-y nos deux forces M F, M Ff et achevons le parallélogramme : la diagonale M R sera la grandeur et la direction de la résultante cherchée. Prolongeons celle-ci à son tour à travers le corps solide , et celui-ci sera sollicité exactement comme si elle lui était appliquée seule, en un quelconque des points situés sur sa direction.

Un cas semble échapper à notre solution; c’est celui oh les directions des deux forces m F , rri F' seraient exactement parallèles , fi g 7, Mais comme la règle qui nous a servi est encore légitimement applicable à tous les degrés de petitesse de l’angle des deux forces , pourvu qu’on ne le suppose pas absolument nul , il s’ensuit , d’après la loi ordinaire de continuité des déterminations mathématiques , qu’elle subsiste encore à cette limite , et qu’il faut seulement , parmi ses rérésultats , choisir ceux qui , dans ce cas même , ne s’évanouissent point. Or, en reprenant les forces qui concourent , nous avons dit plus haut que si, d’un point quelconque C, fig. 8 , pris sur la direction de la résultante CR , on mène des perpendiculaires C P , C P; sur les directions des deux composantes , les longueurs de ces perpendiculaires sont inverses de celles de la force vers laquelle elles se dirigent; de sorte que si la force MF' par exemple, est représentée par 9 , tandis que M F' sera représentée par 5, C P sera à CPf comme 5 est à 9. Maintenant, ce résultat estindépendant de Fangle plus ou moins aigu que forment les directions des deux forces. Ainsi , on peut l’appliquer au cas même oh elles seraient parallèles. Il détermine la position d’un point quelconque C ifig- 7 , de leur résultante , puisque les distances CP, CP? de cette ligne aux deux forces, doivent être réciproques à leurs intensités. En outre , la grandeur ou l’intensité de la résultante est égale à la somme des deux forces

DES CORPS SOLIDES

composantes MF, MF' , comme on pouvait le prévoir par la construction dont nous avons fait usage dans la fig 4, puisqu’ici les composantes M/' , M <p perpendiculaires à la direction de la résultante sont ici nulles absolument.

Connaissant ainsi , fig. 7 , le point d’application C de la résultante , sa direction parallèle aux forces composantes , et sa grandeur égale à leur somme, il n’y a qu’à placer au même point C, une force CR' égale et dirigée en sens contraire ; cette force anéantira l’effort de la résultante CR j par conséquent, elle détruira celui des deux composantes dont elle dérive, et elle maintiendra le solide en équilibre contre leur effort combiné.

Nous avons supposé dans la figure 7 , que les deux forces MF, MF;, agissaient dans le même sens. Mais il se pourrait qu’elles fussent dirigées dans des sens contraires , comme le représente la figure 9. Alors la résultante C R devient égale à la différence des deux forces proposées , elle agit dans le sens de la plus énergique, et elle a son point d’application C du côté de cette force , hors de l’espace que les deux composantes comprennent , de manière que la loi générale des perpendiculaires CP, C P' , soit toujours observée. Ce résultat était facile à prévoir. En effet , ayant mené arbitrairement une droite PP' , perpendiculaire aux directions des deux forces , considérons-les comme appliquées aux points P, P', oii cette droite les rencontre , ce qui ne change rien à leur effet , puis désignons pour abréger leurs intensités m F, m) F', par les lettres F Ff. Cela posé , si la première F, par exemple , est la plus énergique , décomposons-là en deux autres agissant dans le même sens , dont l’ime appliquée au point P ' soit égale à F ' même , et dont l’autre égaie à la différence F — «F f sera nécessairement placée quelque part de l’autre côté du point P. La première de ces composantes détruira coinplette— ment l’effet de F' et il ne restera en définitif que Faction de la seconde F — 'Fr, qui sera par conséquent la résultante cherchée. En l’opposant en sens contraire aux deux forces proposées F, F', elle détruira leur effet , et déterminera ainsi, l’équilibre du système.

%f\ DE l/EQUILIBRE

Cette résultante, toujours égale à la différence des deux forces , s’éloigne de plus en plus de P à mesure que sa valeur devient moindre. Enfin , lorsque les deux forces sont absolument égales , elle devient nulle et s’éloigne à l’infini» Comme il serait impossible de réaliser cette condition , il en faut conclure que , dans ce cas, il n’y a pas de résultante; c’est aussi ce que la seule considération de symétrie indique ; car si les deux forces sont rigoureusement égales et opposées , comme la fig. i o le représente , il n’y a aucune raison pour que la résultante soit dirigée dans le sens de l’une plutôt que dans le sens de l’autre , et comme elle ne peut pourtant l’être dans les deux à la fois , il s’ensuit qu’elle n’existera point. Q-n ne pourra donc plus alors tenir le système en équilibre avec une seule force, et il faudra détruire séparément l’effet de chacune des composantes , par l’opposition directe d’une force égale. Une nécessité pareille aurait lieu si l’on appliquait à un corps solide deux forces dont les directions ne seraient pas comprises dans un meme plan : car alors ces directions , quelque loin qu’on les prolonge , ne pouvant jamais concourir , on ne pourrait pas réunir les deux points d’application en un seul, ni par conséquent composer les deux forces en une résultante unique; et il faudrait pour l’équilibre détruire individuellement leurs efforts.

* Sachant composer ensemble deux forces appliquées à deux points différons d’un corps solide , lorsque cette opération est praticable , nous pouvons en composer de meme une infinité; il suffit d’opérer progressivement la composition des résultantes successives avec les forces qui restent , comme nous l’avons expliqué dans le cas d’un seul point. Par exemple si toutes les forces proposées sont parallèles entre elles et dirigées dans un même sens , on parviendra ainsi à une résultante définitive, égale à la somme de ces forces, parallèle à leur direction commune , et qui traversera le corps, suivant une certaine ligne droite, que la construc- * lion déterminera. Mais si les forces, quoique parallèles, agissent les unes dans un sens, et les autres dans le sens opposé % en cherchera la résultante particulière de chaque groupe et

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son point d’application; puis , tout étant réduit à ces deux résultantes , on examinera si elles tombent dans le cas d’exception remarqué plus haut ; c’est-à-dire , si elles sont exactement égales entre elles. Alors il ne sera pas possible d’en déduire une résultante commune ; et il faudra , pour tenir le corps en équilibre , détruire séparément l’effort de chacune d’elles par l’application immédiate d’urie force égale et opposée. Mais si cette égalité parfaite n’a pas lieu, on pourra composer les deux résultantes en une seule , égale à leur différence , et dont le point d’application se calculera par la règle générale que nous avons expliquée plus haut. Alors, on pourra maintenir le système en équilibre à l’aide d’une seule force , égale , et directement contraire , à cette résultante universelle.

Bornons nous à ce cas; et la résultante étant connue, concevons que toutes les forces composantes , sans changer de grandeur, et restant toujours parallèles entre elles, viennent à prendre simultanément une autre direction, fig. 11. Elles auront encore une résultante qui conservera la même grandeur que dans la disposition, précédente ; seulement sa direction dans l’espace sera changée , puisqu’elle doit toujours être parallèle aux composantes; et ainsi elle traversera le corps , suivant une autre droite que précédemment. Or , par une propriété que le calcul démontre, toutes les droites ainsi déterminées concourent en un seul et même point M , que l’on nomme par cette raison , le centre des forces parallèles. Ce centre étant commun à toutes les résultantes , lorsque les forces composantes restent les mêmes , et appliquées aux mêmes points , on voit que si on le fixe , l’effet de ces forces sera toujours détruit par sa résistance dans quelque sens qu’on tourne le corps relativement à leur direction. Mais si l’on ne donne au corps qu’une seule position , il ne sera pas même nécessaire que le centre des forces soit fixé pour qu’il y ait équilibre , il suffira qu’il soit soutenu flans la direction actuelle de la résultante.

Ces résultats sont vrais , quelque soit le nombre des forces parallèles appliquées aux divers points d’un corps solide, ils

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subsisteraient donc dans le cas même où ce nombre serait infini. Ceci nous conduit à une application importante.

On sait que tous les corps qui se trouvent sur la terre sont pesans , c’est-à-dire qu’abandonnes librement à eux-mêmes, ils tombent aussitôt vers la surface terrestre ; et même lorsqu’ils sont soutenus par quelque obstacle fixe leur tendance à tomber se fait sentir encore par la pression qu’ils exercent contre cet obstacle , et que l’on appelle leur poids. La pesanteur qui les tire ainsi vel's la terre est une force qui pénètre leur masse, et sollicite leurs moindres particules. En effet , chacune de ces particules , si petite qu’on la suppose , étant détachée , et abandonnée librement à elle-même dans le vide, tombe comme le corps entier, et l’effort qu’elle fait pour cela est exactement le même qu’elle faisait avant d’être détachée ; car des expériences journalières prouvent que le poids d’un corps ne change pas , après qu’on l’a divisé.

La direction suivant laquelle la pesanteur s’exerce est indiquée par celle de là chute libre des corps. En chaque lieu de la terre , elle est perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles • et comme cette surface suit partout la convexité du globe , il s’ensuit que la direction de la pesanteur, s’inclinant avec elle, doit être différente d’un lieu à un autre. Mais, par cela même , on conçoit que son changement ne doit devenir sensible qu’à de grandes distances , qui surpassent incomparablement les dimensions de tous les corps que nous pouvons avoir besoin de considérer • ainsi , pour chaque corps en particulier, la pesanteur qui sollicite ses diverses parties peut être censée agir suivant des directions parallèles entre elles , et verticales , c’est-à-dire normales à la surface plane des eaux dans le lieu de l’observation. D’après cela nous pouvons appliquer à ce cas tout ce que nous ayons démontré plus haut en général , relativement à l’application des forces parallèles. Les efforts partiels de la pesanteur sur divers points d’un même corps se composeront en une résultante unique, qui sera son poids , et dont la direction passera toujours par un certain même point de sa masse dans quelque sens qu’on le

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tourne relativement à la verticale. Ce point ou centre des forces prend alors le nom de centre de gravité , et on peut le déterminer par les règles de la géométrie , en partant des principes expliqués plus haut.

Supposons-le connu. Si on le fixe d’une manière invariable, on pourra tourner le corps comme on voudra autour de lui , il restera en équilibre dans toutes les positions où on le placera. Si ce n’est pas le centre de gravité qui est fixé , mais un autre point faisant partie du corps solide , alors il est nécessaire et il suffit pour l’équilibre, que la droite qui joint ce point et le centre de gravité soit verticale, ce centre pouvant d’ailleurs se trouver au-dessus du point ou au-dessous. Car le poids du corps étant une force verticale, dont la direction passe par son centre de gravité , et peut lui être censée appliquée, cette direction, dans le cas supposé, passera aussi par le point fixe, et son effort, transmis par les molécules rigides du corps jusqu’à ce point, sera détruit par sa résistance. Si le centre de gravité est plus haut que le point fixe, le corps sera supporté , s’il est plus bas il sera suspendu.

Par la mente raison, si l’on considère un corps solide pesant, M , fig. 12, suspendu par un de ses points à l’une des extrémités d’un fil CM, dont l’autre soit attachée à un point fixe C, il est évident que , dans le cas de l’équilibre, le hl sera vertical, et que son prolongement passera par le centre de gravité du corps M. Càr il n’y a que cette position unique , où la résultante', qui forme le poids du corps, puisse se transmettre à travers le fil jusqu’au point fixe , et être détruite par sa résistance. Un semblable appareil se nomme un fil à-plomb } et il sert pour reconnaître en chaque lieu la direction de la verticale , ce qui est nécessaire pour une infinité d’usages. On peut l’employer aussi pour déterminer fa position du centre de gravité d’un corps , en suspendant successivement celui-ci par deux de ses points , et traçant dans chaque cas , effectivement ou idéalement , la prolongation du fil de suspension à travers le corps, lorsque l’équilibre est parfaitement établi ) car ces deux directions se cou—