CHAPITRE X

Du mouvement curviligne : forces centrales : force

centrifuge.

Lorsqu’un point matériel libre a reçu l’impulsion d’une force instantanée 3 nous avons yu qu’en vertu de son iner-

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tie , il doit se mouvoir invariablement sur la direction rectiligne où. cette force l’a lancé. Concevons maintenant qu’âpres avoir ainsi parcouru un certain espace , il vienne a éprouver une nouvelle impulsion dans une direction différente : il est évident que son mouvement changera de direction et de vitesse • mais en quoi consistera ce changement , et quel sera le nouveau mouvement qui s’établira ? Voilà la première question qu’il nous faut résoudre pour arriver aux inouvemens curvilignes.

La solution en est facile, d’après le principe que les forces sont proportionnelles aux vitesses. En effet , soit F M , fig . 45 ,

le sens de la première impulsion , Ff M celui de la seconde

qui atteint le point matériel en M : prolongez ces directions j et , sur chacune d’elles , prenez une longueur égale à l’espace que décrirait le point matériel dans l’unité de temps s’il était sollicité uniquement par chacune des deux forces ainsi dirigées : cela fait , composez ces vitesses comme vous composeriez des forces en achevant le parallélogramme MF F' R dont elles sont les côtés ; et la diagonale MR de ce parallélogramme exprimera la grandeur et la direction de la vitesse résultante ) de sorte que le point matériel décrira réellement cette diagonale et se trouvera arrivé en R à la fin de l’unité de temps.

Le résultat de cette construction est absolument le même que si le corps continuait à se mouvoir seulement avec la première force , dans un canal rectiligne MF que l’on transporterait dans l’unité de temps de MF en FfR, parallèlement à lui-même. Ainsi , dans le mouvement composé , chacun des mouvemens partiels s’exécute comme s’il était seul. Ce mode de composition est vérifié par une infinité d’expériences journalières. Placez une montre dans Un bateau abandonné au courant paisible d’une rivière , elle marchera exactement comme si elle était à terre , et les mouvemens si variés des pièces qui la composent ne seront nullement dérangés par ce mouvement commun. C’est encore pour cela que nous ne sentons point Je mouvement de 3a terre ? qui nous entraîne pourtant dans l’espace avec une

FORCES CENTRALES

grande rapidité ; et la manière égale dont il se compose avec tous ceux que nous pouvons produire , fait que nous ne l’apercevons point.

De meme que nous venons de trouver le mouvement résultant de deux impulsions successives , nous pouvons calculer celui qui résulte d’un plus grand nombre, imprimées à des époques et dans des directions quelconques. Or , à moins que ces impulsions nouvelles ne coïncident toutes en direction , le point matériel qui les éprouvera sera successivement dévié , de manière à décrire un polygone rectiligne,» Rapprochez les époques de ces impulsions successives , elles représenteront F effet continu d’une ou de plusieurs forces accélératrices > et le polygone se changera en une courbe, qui sera la trajectoire curviligne du mobile soumis à ces forces-là.

L’exemple le plus simple d’un pareil mouvement est celui d’un corps pesant , sollicité , à la fois , par la pesanteur et par une impulsion primitive oblique à la . verticale < et on en peut trouver les résultats de la même manière. Au point M ,7%-. 46 , où je suppose que ce corps se trouve au moment de son départ, menez une ligne verticale À Z , sur laquelle vous prendrez d’abord la longueur Mi, égale à celle que les corps pesans parcourent librement dans la première seconde de leur chute , lorsqu’ils partent du repos. Puis, sur la même verticale AZ, marquez de même les points 4 ? 9, 16 , n5, où le même corps arriverait à la fin de la 2e , 3e , 4e 5 5e , seconde, et ainsi de suite. Pareillement j sur la ligne MF, direction de l’impulsion primitive , prenez des distances A if , F 2r, toutes égales entre elles et à l’espace que cette impulsion , agissant seule , serait capable de faire parcourir au mobile en l’unité de temps. Les points ir, 2' , 3' , seront ceux où le mobile se trouverait réellement à la fin de chaque seconde , si cette impulsion agissait seule sur lui. Maintenant , pour avoir l’effet simultané des deux forces , achevez , pour chaque époque , le parallélogramme des vitesses et vous aurez autant de points M , M' , M", où le mobile se trouvera successivement aux instans prescrits,. La Tome I. S

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suite de ces points forme une ligne courbe , qui, dans le langage des géomètres , s’appelle une parabole. On a un exemple de ce mouvement dans les bombes et les autres projectiles lancés par la force explosive de la poudre. Cette force est alors l’impulsion primitive. Le point le plus élevé S , de la parabole, f g. 47 , s’appelle la hauteur du jet , et la distance MN , à laquelle le projectile revient au niveau de son point de départ, s’appelle l’amplitude du jet. C’est, toutefois, seulementpar une approximation très-imparfaite que le mouvement réel des projectiles peut être considéré comme parabolique; car la résistance de l’air, dont nous n’avons pas tenu compte , le change considérablement.

L’exemple que nous venons de rapporter, suffit pour faire comprendre que tout mouvement curviligne exige , au moins, la combinaison de deux forces, agissant simultanément suivant des directions diverses; et qu’en variant, d’une manière convenable, la direction et le mode d’action de ces forces, on 'peut faire décrire à un point matériel toutes sortes de courbes quelconques , avec telle espèce de vitesse que l’on voudra. Parmi cette diversité infinie de mouvemens , il en est un qui mérite une considération particulière. C’est celui dans lequel une des deux forces est constamment dirigée vers un centre fixe , l’autre étant une simple impulsion instantanée. Ce cas est celui des corps célestes , et il offre en outre des résultats applicables dans une infinité d’expériences.

Supposons d’abord le corps en M ^fig. 48, au moment de son départ. Soit O , le centre fixe vers lequel il est attiré. Dans les mouvemens célestes , celte attraction est réciproque au carré de la distance , c’est-à-dire qu’en représentant son énergie par 1 , à la distance 1 , elle n’est plus que à la distance 2 , j à la distance 3 , jj à la distance 4? et ainsi du reste. Mais ici , 011 nous voulons considérer la chose en général , nous ne fixerons aucune loi en particulier , et nous supposerons seulement qu’il existe une force centrale quelconque, dont le mode d’action devra être censé connu. Cela posé, si le mobile M , que je supposerai ici être un simple point matériel , était uniquement sollicité par l’action de cette force , il est

FORCES CENTRALES

clair qn’il.se mettrait directement en mouvement vers le centre O , suivant la droite MO , et qu’il y parviendrait avec une certaine accélération, dépendante de l’intensité delà force, à diverses distances de ce centre. Mais au lieu de cela, concevez qu’à l’instant de son départil ait reçu une impulsion instantanée, dirigée dans un sens différent de MO , par exemple, suivant MF * il est clair qu’il prendra un mouvement intermédiaire entre les directions des deux forces qui le sollicitent , et nous pourrons déterminer sa route par le principe de la composition des vitesses. Mais comme la force centrale , par sa nature , varie sans cesse de direction à mesure que le mobile tourne autour du centre , et change d’intensité à mesure qu’il s’en rapproche ou s’en éloigne , on voit qu’il faudra répéter la composition des vitesses à des intervalles de temps extrêmement rapprochés , que nous nommerons ins tans , et qui soient assez courts , pour que, pendant chacun d’eux, la force centrale puisse être considérée sensiblement comme constante. Concevons donc que , pendant le premier de ces instans , elle put par son action propre amener le mobile de M en C , si elle agissait seule sur lui durant ce temps-là ) et soit MF l’espace rectiligne que l’impulsion latérale lui ferait pareillement décrire dans le même instant , si elle était aussi seule à le solliciter. La vraie roule décrite par le mobile s’obtiendra en construisant le parallélogramme MCFMf sur ces deux vitesses 3 et , à la fin de l’instant supposé , il se trouvera en Mb Alors , si la force centrale cessait tout-à-coup de le solliciter, il continuerait: à se mouvoir seulement en vertu de la vitesse composée qu’il aurait acquise , et la direction de ce mouvement serait le prolongement du petit arc MM' , qui , à cause de sa petitesse , peut être considéré comme sensiblement rectiligne et comme une portion de la tangente menée enMMr, à la trajectoire curviligne rigoureuse. Conséquemment , rien 11e nous empêche de recommencer en M' la composition des nouvelles vitesses • car d’abord il n’y a qu’à prendre sur le prolongement de MMf,une longueur M'F', égale à celle que la vitesse acquise, à la fin de MM', feroit décrire seule au mobile dans le second instant 5 et prendre sur M/O la Ion-

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g ueur M'C' , égalé à celle que la force centrale seule feroll décrire , laquelle pourra et devra en général être différente de MG , à moins que les distances MO , M'O , ne soient égales. En composant ces nouvelles vitesses par le moyen du parallélogramme M'C'F'M" , on aura la direction MfM” du mobile pendant le second instant , et sa position M" à la fin de cet instant-là. En répétant la même construction pour tous les autres instans suivans , on déterminera de même tous les points successifs où le mobile arrivera. La suite de ces points formera un polygone, qui approchera d’autant plus de se confondre avec la route curviligne véritable , que la composition des vitesses aura été faite à des instans plus rapprochés les uns des autres ; et la différence disparaîtra tout-à-fait si Ton opère cette composition, non plus par une construction graphique toujours sensible et grossière , mais par le calcul qui pénètre jusqu’aux limites des infinimens petits.

On conçoit par ce qui précède , comment la trajectoire, ainsi décrite , peut varier selon l’action de la force centrale , et suivant son rapport avec la direction et l’intensité de F impulsion primitive. Dans le mouvement des corps célestes , la force centrale est une attraction réciproque qui sollicite ces corps les uns vers les autres , avec une intensité proportionnelle à leur masse et réciproque au carré de leur distance mutuelle. En introduisant cette loi dans le calcul , et considérant seulement le mouvement de deux corps qui s’attirent ainsi , on trouve que ce mouvement ne peut être qu’une des courbes que les géomètres ont appelées sections coniques , parce qu’on les obtient toutes en coupant dans différens sens un cône à base circulaire. Ces courbes se divisent en cinq espèces , qui sont l’ellipse , le cercle , la parabole , l’hyperbole et la ligne droite. L’ellipse est la courbe que décrivent les planètes. Le cercle, qui n’en est qu’une modification légère, paraît être décrit par quelques satellites autour de la planète à laquelle ils appartiennent, et qui devient alors le centre de leurs mouvemens. La parabole est l’orbite que parcourent la trèsgrande partie des comètes jusqu’à présent observées. Dans tous les cas j le corps qui sert de centre ? est placé au point

FORCES CENTRALES

que l’on nomme le foyer cle la section conique. L’hyperbole et la ligue droite , ne paraissent pas jusqu’ici s’être présentes dans les observations ; mais ces deux genres de mouvement , ayant la propriété d’éloigner sans retour les corps qui les éprouvent, s’il existe dans le système solaire des corps de ce genre , il est possible qu’ils aient passé à leur périhélie ou ils nous sont visibles , avant les époques très-récentes où l’on a commencé à observer sur la terre ; et alors on ne devrait pas s’étonner de n’en plus voir aujourd’hui.

D’après la manière dont se composent les vitesses qui produisent le mouvement curviligne , -nous avons reconnu que le mobile , à chaque point de sa course , tend à s’échapper suivant la droite qui touche en ce point la courbe qu’il décrit ; et en effet, il continuerait à suivre cette tangente si Faction de la force centrale ne le ramenait vers le centre autour duquel il se meut. Ainsi , tandis que le mobile serait arrivé deM en F , fig. 48, en vertu de sa vitesse acquise ,

la force centrale le rappelle de F en M' avec une accélération qui , à cause de la petitesse de F M', peut être censée constante; de sorte que la tendance du mobile à s’éloigner du centre du mouvement, peut être exprimée et mesurée, paria longueur de FM', pour des instans égaux. Cette tendance s’appelle la force centrifuge. On voit que, dans le mouvement curviligne libre, produit par une force centrale , elle esta chaque instant égale à Faction de cette force et lui est directement opposée.

Lorsque la trajectoire ainsi décrite est un cercle fig. 49, et que le mouvement de circulation est uniforme , la ligne FM7, qui mesure la force centrifuge à chaque instant infiniment petit , est proportionnelle au carré de Farc MM', divisé par le double du rayon OMr du cercle. Ainsi, en comparant sa longueur à celle qu’une autre force accélératrice constante , la pesanteur , par exemple , ferait décrire au mobile dans le même temps, le rapport de ces deux longueurs exprimera le rapport des deux forces.

Ce résultat ne s’applique pas seulement aux mouvemens circulaires libres , il a lieu aussi dans le cas oh la forme circulaire résulterait d’une condition forcée , telle que l’existence

MOUVEMENT CURVILIGNE r

d’un canal solide dans lequel le mobile serait contraint de s£ mouvoir , ou la traction d’un fil inextensible qui le retien-* drait à une distance fixe du centre de son mouvement. Alors la force centrifuge se produirait encore à chaque point du cercle décrit j et , en supposant le mouvement de circulation uniforme, elle aurait encore la même mesure que nous lui avons assignée ; mais elle serait détruite par la résistance des parois solides du canal , ou par celle que le fil opposerait â son extension. Ces résistances tiendraient alors lieu de force centrale. C’est ainsi que les cordes d’une fronde se tendent lorsqu’on la fait tourner $ et l’on sent en effet qu’elles se tendent d’autant plus fortement , que l’on rend la circulation plus rapide 5 si on abandonne une d’entre elles , ce qui rend le mobile libre , il s’échappe par la tangente et va décrire une parabole en vertu de la combinaison de cette impulsion avec la pesanteur * mais si on retient les cordes de la fronde en accélérant toujours le mouvement, la force centrifuge peut devenir assez énergique pour les rompre par sa tension * et alors le mobile s’échappe de même, par la tangente au point de son orbite où il se trouve à l’instant où la rupture a lieu.

Une force pareille se produit également à la surface et dans chaque point de l’intérieur d’un corps solide , que l’on force de tourner autour d’un axe. Les molécules matérielles qui composent ce corps , sont alors comme autant de mobiles qui ont leur force centrifuge particulière, dépendante de la grandeur du cercle qu’elles décrivent et de la vitesse de leur circulation. Or, en vertu de la solidité qui les unit , elles sont obligées de circuler toutes en temps égal , de sorte que leurs vitesses sont comme leur distance à l’axe de rotation , ou comme les rayons, des cercles décrits. Donc , si le mouvement de circulation est uniforme , leurs forces centrifuges seront proportionnelles à ces rayons mêmes. Ainsi les molécules feront plus d’effort pour s’éloigner de l’axe à mesure que, par leur position dans le corps, elles s’en trouveront plus distantes. Tous ces efforts doivent être soutenus et contrebalancés par la cohésion des particules pour que le corps ne se divise point • mais si le mouvement de rotation

FORCES CENTRALES

devient assez rapide pour qu’il la surmonte , les particules qui composent ce corps s’en sépareront , s’échapperont par la tangente et se’dissémineront dans l’espace.

La terre tournant sur elle-même dans l’intervalle d’un jour sidéral , dont la durée est de 86164 secondes moyennes , toutes ses parties doivent éprouver ainsi des forces centrifuges résultantes de ce mouvement ; et les corps une fois détachés de sa masse devraient , s’ils n’étaient sollicités par aucune autre force , s’échapper par la tangente ; mais la pesanteur par son énergie prépondérante les rappelle à la surface et les ferait tomber jusqu’au centre malgré la force centrifuge , si l’impénétrabilité du reste de la masse ne s’y opposait. A l’équateur , par exemple , le rayon delà terre est de 6876466 mètres , dontle double 1 2752932™ étantmultiplié par rapport de la circonférence au diamètre , donne un contour égal à 4006452 r : un corps placé sur ce cercle, le décrit en un jour composé de 86164 secondes, ce qui fait par seconde une vitesse de 465 mètres. Le carré de ce nombre est 21 6225; en le divisant par 12752982, nombre de mètres contenus dans le double du rayon de la terre , le quotient om,oi695 sera la valeur de la force centrifuge à la surface de l’équateur, exprimée en mètres, c’est-à-dire la longueur que cette force y fait décrire aux corps en une seconde de temps. Or , dans ce même temps , l’excès delà gravité sur la force centrifuge , y fait tomber les corps de 4m, 89; d’oii il suit qu’en vertu de la gravitéseule, ils tomberaient de 4m?89 -f-om, 01695, ou 4m, 90695. Ce nombre divise par om, 01695 , donnepour quotient 289. Donc a l’équateur îaforce centrifuge est delà gravité. Ce rapport se rapprocherait de l’unité si la rotation de la terre s’accélérait; et il croîtrait comme le carre de la vitesse. Donc , puisque 289 est le carré de 17, on voit que si la vitesse de circulation devenoit dix-sept fois plus rapide , la force centrifuge à l’équateur égalerait la gravité, et les corps placés en cette partie de la terre cesseraient de peser sur sa surface. La force centrifuge combat ainsi Ja pesanteur dans tous les autres points de la surface de la terre , mais moins pourtant qu’à l’équateur ; d’abord parce que les.

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rz

autres parallèles , étant moins éloignés de l’axe de rotation , la force centrifuge y est moindre j et, en second lieu , parce que la direction de cette force se trouve alors oblique à la verticale , suivant laquelle la pesanteur est toujours dirigée. En supposant que les corps célestes aient été primitivement fluides , comme un grand nombre de phénomènes portent à le supposer , l’attraction mutuelle de leurs parties leur aurait fait prendre une forme absolument sphérique , si aucune autre force eût agi sur eux. Mais, comme ils sont tous doués d’un mouvement de rotation autour d’un axe , la force centrifuge de ce mouvement a dû rendre les parties situées près de l’équateur moins pesantes* ce qui a dû déterminer, en cet endroit , une plus grande accumulation de matière • aussi observe-t-on que tous les corps célestes sont renflés à leur équateur , et applatis à leurs pôles de rotation. En général, dans tout mouvement curviligne , il se produit toujours une force centrifuge , puisqu’en chaque point de la trajectoire décrite , le mobile tend toujours à s’échapper par la tangente ’7 et , tant qu’il continue à suivre la courbe , cette force centrifuge est détruite par les autres forces qui y ramènent le mobile , soit que l’action de ces dernières se dirige vers un centre fixe ou non. Alors l’intensité de la force centrifuge devient , en général , variable dans les différens points de la trajectoire , mais on peut encore F évaluer par les mêmes principes , en considérant le mouvement comme se faisant , à chaque instant , sur une circonférence de cercle , qui aurait avec iatrajectoire trois élémens communs. Ce cercle que l’on appelle oscillateur , devra , généralement , être variable de rayon selon les points que l’on considère , mais on peut tom Ajouts déterminer la longueur de son rayon par le calcul. On peut évaluer de même la vitesse actuelle du mobile aux points de la trajectoire auxquels il répond • alors la force centrifuge en ces points , peut être considérée comme com- 'niune aux mouvemens qui auraient lieu en vertu de cette vitesse dans le cercle ou sur la courbe , ce qui permet de l’évaluer par la règle rapportée plus haut.