DES PROCEDES QUI SERVENT

Mais il existe un procédé ingénieux dû à un géomelr# français nommé Vernier, au moyen duquel une échelle de parties égales peut, sans aucun tracé nouveau, être facilement subdivisée en parties plus petites et même d’une petitesse indéfinie. Ce procédé consiste à appliquer contre la division proposée, une autre division dont les parties ont avec les siennes un rapport connu 5 et le défaut de coïncidence des traits qui limitent les divisions correspondantes indique la fraction dont elles se dépassent mutuellement. Un exemple rendra ceci sensible. Soit L L , fig. 2 , une règle divisée en parties égales, oi , 12, 28. Si Ton veut se servir de cette règle pour mesurer une longueur donnée plus petite qu’elle, îa ligne AB , par exemple , on verra bien , par la simple superposition , que cette ligne contient neuf divisions entières de îa règle , plus une petite fraction représentée par l’intervalle ZjB , dont le point B' excède la 9e division de la règle j mais la grandeur absolue de cette fraction et son rapport à une division entière , resteront inconnus. Pour le déterminer, construisez uneautre règle W fig. 3, divisée aussi en parties égales , niais en parties plus petites que les premières , dans une proportion connue , tellement , par exemple , que 9 divisions de îa grande règle en valent 10 de la petite règle ou du vernier . Si vous posez le vernier le long de la règle , comme le représente la figure , la première de ses divisions, qui est marquée o , Coïncidera avec la première de la règle , qui est aussi marquée o ; et la division 10 du vernier coïncidera aussi avec la division 9 de la règle j mais les divisions intermédiaires ne coïncideront pas. La seconde division du vernier sera en arrière de la seconde de la règle d’une quantité égale à la différence des deux divisions , c'est-à-dire , de ■— D , en représentant par la lettre D , l’étendue quelconque d’une division de la grande règle. De même la troisième division du vernier sera de D en arrière de sa correspondante • et ainsi successivement , l’écart des suivantes sera exprimée par D, “ D, -- D , D, — D, D, —'D , enfin 7^ D , ou D. Cette dernière différence doit en effet être égale à une division entière D , puisque , par construction ,

A MESURER l’ÉTENDÜE. ïoS

le n*. trait du vernier coïncide avec le ïo* de îa règle.

Concevons maintenant que l’on pousse doucement le Vernier le long de la règle ,fig. 4, de manière que la coïncidence se fasse sur le second trait , marqué par le chiffre i : il est visible que , dans ce mouvement , le second trait du vernier s’est avancé d’une quantité égale à D , puisque c’était là l’expression de sa distance à la première division , dans la position précédente. Chacune des autres divisions du vernier s’est donc avancée aussi d’une égale quantité , puisqu’elles se tiennent toutes à des distances invariables; ainsi leurs écarts sont désormais exprimés par * — D , o , -P D *>

£D,^D,£D,XD, faD,ÀD,iD, et enfin d’où l’on voit que la division i est maintenant la seule qui Coïncide avec les divisions de la règle.

Si , dans cette position , le point B tombait précisément à l’extrémité de la 10e division du vernier , ou sur le onzième trait , on conclurait avec certitude que la petite fraction bB> est égale à D, de sorte que la longueur totale de la ligne AB serait 9 divisions de la grande règle, et

Maïs, si cette coïncidence n’a pas lieu , il n’y a qu’à pousser le vernier d’une division déplus, c’est-à-dire, de manière que sa seconde division coïncide avec celle de la règle fig. 5. Par ce mouvement , chaque trait aura encore marché d’une nouvelle quantité égale à D , de sorte que leurs écarts autour des divisions correspondantes de la règle seront — ■— D,

~h D,o, + aD, £D,£D, iD.iD,

et enfin D pour le onzième. Si donc, dans cette nouvelle position, le point extrême B répond exactement à la fin de la ïo® division du vernier, ou au onzième trait, on en conclura qu’il dépasse la 9e division de la règle, d’une quantité égale à ~ D, c’est-à-dire , aux deux dixièmes d’une division ; ainsi la longueur de la ligne bB contiendra 9 divisions de la règle et

Si, dans cette seconde position , la 10e division du vernier n’avait pas atteint le point extrême B, on pousserait le vernier d’une division déplus. Si , cette troisième fois, le trait atteignait le point B, la longueur bB serait 9 div. -f- , et

ainsi de suite. Par conséquent, si l’excès du point sur îa 9e di-

Iû6 ©E'S PROCEDES QUI SERVENT

vision de la règle est une des fractions ~ D, ~ D, ~ D r

tô D , ys D , tz D , yô D yï D , on l’évaluera exactement par cette méthode.

Mais, si elle tombe entre deux quelconques de ces valeurs , on ne l’aura pas tout-à-fait exactement. Par exemple , si l’excès b B est plus grand que ~ D, et moindre que D, on trouvera que le point B n’est pas encore atteint en faisant coïncider la 6e. division du vernier , et qu’il est dépassé en faisant coïncider la 7e. ; on évaluera donc la différence par estime , en voyant si la coïncidence est plus approchée pour l’une que pour l’autre ; et l’on ajoutera la différence présumée à ~ D , ou on la retranchera de D. Alors , à parler a la rigueur , la mesure ainsi obtenue pour Z>B ne sera pas absolument exacte , mais l’erreur sera certainement moindre que — D , puisque la valeur exacte est comprise entre deux expressions qui ne diffèrent que de cette quantité. Il est évident que l’on pousserait plus loin l’exactitude , si le vernier embrassait un plus grand nombre de divisions de la règle , puisqu’alors les différences de ses divisions à celles de la règle deviendraient moindres; et , par conséquent , sa marche d’une coïncidence à une autre serait plus petite ; mais il y a une limite à cette précision dans la difficulté d’observer exactement sur quelles divisions se fait la coïncidence , difficulté qui augmente à mesure que les différences des parties du vernier et de la règle sont plus petites.

Nous venons de considérer le vernier appliqué à une division rectiligne. On l’applique également aux divisions circulaires , comme sont celles des limbes des cercles métalliques qui servent à observer les angles. Alors on fait les verniers circulaires aussi , et concentriques à la division de l’instrument. Y oyez, fig. 6. Il est évident que leur propriété n’est point changée par cette modification ; aussi on s’en sert de la même manière , et on évalue leurs indications comme pour les divisions rectilignes.

Dans tous les cas , pour que ces indications soient exactes , il est indispensablement nécessaire que le bord rectiligne ou circulaire du vernier s’applique exactement sur la division

A MESURER i/ÉTENDUE. ÏOJ

donf iî doit fractionner les parties j c’est pourquoi on Faire le sur des pièces qui règlent sa marche conformément à cette condition. Il faut, de plus, que son mouvement soit lent et gradué avec assez de délicatesse , pour que l’on puisse Famener exactement à ses diverses coïncidences • en conséquence on le fait mouvoir par le moyen d’une vis disposée comme le représente la fig. 7. La tige de cette vis n’est taraudée que sur une certaine longueur : dans un des points de sa partie unie , elle porte un petit renflement R par lequel on la retient dans un collet CC, fixé aux parties immobiles de l’appareil , de sorte qu’elle ne peut plus que tourner sur son axe sans aller en avant ni en arrière. Son autre extrémité , qui est taraudée, s’engage dans un écrou attaché à la pièce Y Y sur laquelle le vernier est tracé 5 et cette pièce elle-même peut avancer et reculer , dans une Coulisse parallèle à l’axe de la vis. Alors, en prenant la vis par sa tête TT , et la faisant tourner sur son axe , on conçoit qu’elle s’enfonce dans son écrou , on qu’elle s’en dégage , qu’ainsi elle l’attire ou le repousse, et qu’elle fait , par conséquent, avancer ou reculer le vernier auquel il est attaché» Ici, la vis n’est employée que comme produisant un mouvement lent et gradué à volonté. Mais , en supposant ses filets espacés avec une régularité parfaite , ce que Fart permet d’atteindre , son mouvement révoîutif peut lui-même servir de moyen de subdivision. Car, en conservant la même disposition que tout-à-l’heure , si le collet qui retient la tige l’enveloppe avec exactitude, et si l’écrou attaché à la pièce Y Y , qu’il faut mouvoir , est travaillé avec justesse , il est clair que, pour chaque tour entier de la vis, cette pièce avancera ou reculera de l’intervalle juste que les filets de la vis comprennent entre eux et , pour chaque moitié ou chaque quart de tour , elle marchera de la moitié ou du quart de cet intervalle. On pourra donc déterminer à volonté ces fractions , en traçant sur la tête de la vis une division circulaire de parties égales , et rapportant sa marche à un index fixe FF, lié aux parties immobiles de l’appareil, /Sg*. 8. Car, si ladivision est , par exemple , de 1000 parties , en tournant la vis d’une