NOTIONS PRELIMINAIRES

«. — Le calcul différentiel est la pat tie des mathématiques qui traite des variations infiniment pctiies des fonctions.

'i. — On sait qu'une variable y est dite fonction d'une autre \3riable x, si y varie avec x, et si y prend une ou plusieurs valeurs déterminées quand on atlribue une valeur déterminée à X. Ainsi, en coordonnées rectiligncs , 1 ordonnée d'une courbe est une fonction de l'abscisse

Si la relation ([ui lie a; et y est exprimée par une équation résolue par rapport à y, comme y = f{x), on dit que y est une fonction explicite do x. Si celte lelation est exprimée par une é(|uatinn non résolue, comme f{x,y)=^0, on dit que ;/ est une fonction implicite de x. Dans l'un et l'autre cas, x prend le nom de variable indépendante ; c'est celle à laquelle on

attribue des valeurs particulières pour en dédinrc le? valeurs eorrespondautes delà fonction ij.

3. — De" même, une varinble z est dite lo!!c!;on de deux autres variables^ et y, si elle varie en même lernps(|uex' cl y, et si elle prend une ou |)lusieurs valeurs délerminées (juand on attribue des valeurs déterminées à x et î/. Ainsi, en coor données icetili^iMCS, l'ordonnée z d'une surface coiniic est une fonclion des deux autres coordonnées a; et y.

C'est une ionition explicite si la relation qui lie les trois variables c-t exprimée par une équation rc-ohie i)ar rapport à ::■ comme ::;=/"(a^, y); c'est une fonction inipliciti' siceticrela-" lion est expiimce par une équation non résolue, comme f{x,ij,z)=0. Dans l'unet l'autre cas, x ci à y sont les variabk\s indépencUuites ; ce sont celles aux(juelles on attribue des couples de voleurs particuiieres, pour en déduire les valeurs correspondantes de la fonction z.

4. — Un pourrait avoir à considérer des fonctions de plus de deux vaiinbies indépendantes, commue 2- = /'(x, y, /), ou f{x,ij,z,t) = i).

5. — On appelle infiniment petit une quantité (|ui tend vers zéro, et que l'on considère dans un état très-voisin de sa limite.

Il résullc de celte déri;:i:ion que si un inOniment jiclita c^t ajouté à uwc (juanlilé linic et déterminée «, on peut toujours négliger a devant a, puisque, à la limite, « + ase réduit à a. 11 en serait de même si a tendait lui-même vers une limile finie a^ ; cai', à la limite, a -h y. se réduirait à a^.

6. — Dans une question où l'on a divers inliniuient petits à considérer, il v en a tonjouis u;i au(piel on r.ippoi le tous 1rs autres, et que, pour cette raison, on appelle injijiinient petit principal.

Soit a l'infiniment petit principal ; et soit ,i un autre iniini-

ment petit (lu'on lui compare. Si le rapport - tend vers une

NOUONS l'RÉLIMlNAlRES. 5

limite finie fc, différente de zéro, on dit que p est un iiifunment pcl'il da piemier ordre ; et l'on jtcut le représenter

rj

|iar ky.. Si le nipport '- tend vers un inlininicnt petit du premier urdic kx, on dit que 3 est un infiniment jietil du second

ordre ; et l'on peut le représenter par ky}. Si le rap[)oit-

tend vers un inliniment pelit de second ordre /.a-, on dit (jue ^ est un infiniment petit du troisième ordre ; et Ton peut le représenter par ka.^. En général, si un inliniment pelit peut è're représenté par kx", on dit que c'est un infiniment petit de Tordre n.

î. — La somme de plusieurs infiniment petits du même ordre, en nombie déterminé, est encore un infiniment petit du mémo ordre. Car si A;a", AV, k"a!\ ..., représentent les inliniment petits considérés, leur somme sera

Or les termes étant en nombre déterminé, la quantité entre parenthèses est une f|uanlilé liuie K ; la somme cliercliéc est d)iic \\yl\ c'est-à-dire un inliniment petit de Tordre n.

8. — La différence de deux infiniment petits du même ordre A;?." et /c'a" est un infiniment petit du même ordre [k — k')x\

». — Le produit d'un infiniment pelit Aa" par un fadeur liui A est encore un infiniment pelit du même ordre. Car Xkx" on Ak . a" est encore le produit de a" |)ar un facteur fini A/r.