Un infiniment petit d'ordre ïi, soit k'x", peut tou

jours cire négligé vis-à-vis d'un inliniment petit de l'ordre immédiatement in'.érieur fra"~^ Car la somme fcx""^ + /.'a" peut s'écrire y."-- {k-i-Jifoi.). Or Tinfiniment petit k'y. peut être négligé vis-à-vis de la quantité finie k, et il reste /ix"~^

Généralement, tout infiniment petit peut être négligé vis-àvis d'un infiniment petit d'un ordre inférieur ; comme k'a? «levant Ax, par exemple, ou A"'?.* devant ky- ; etc.

12, — Lorsque deux variables a; et y sont liées par une relation telle que

si l'on donne à x un accroissement Ax, il en résulte j)0ur y un accroissement correspondant, positif ou négatif, aî/ ; et l'on a

y + Ay=f{x-i-Ax);

d'où l'on déduit par soustraction

(2) Ay = f{x^Ax)-f{x).

Les accroissements Ax et aj/ portent le nom de différences.

La fonction /"est dite continue, si l'on peut prendre àx assez petit pour que Ay puisse être rendu moindre que toute quantité donnée. Nous ne considérerons que les fonctions continues, les seules que l'on rencontre dans les applications. Dans ce cas, si \x devient infiniment petit, il en est en général de même de Ay ; les différences prennent alors le nom de différentielles; et l'on remplace la caractéristique a par la caractéristique d. On écrit ainsi

(5) dy = fix-hdx)-f{x).

La différentielle dy de la fonction y est donc l'accroissement que f [x) a éprouvé quand on a ajouté à a; sa diflércntielle dx.

La partie de l'analyse qui a pour objet principal la recherche des différentielles est le calcul différentiel ; et chercher la

PRINCIPES DE DIFFERENT lÂTION. 5

différentielle (l'uiic fonction est ce que I on appelle cUfféreiitter cette fonction.

Nous nous occuperons d'abord des fonctions d'une seule variable, en commençant par les fonctions explicites.