CALCUL DE L'AIRE DES COURBES PLANES
«05. — On a vu au n" 162 que l'aire comprise entre une courbe donnée dont l'équation en coordonnées rectangulaires est y^f[x), l'axe des x et les ordonnées qui correspondent à deux abscisses a et 6 est donnée par la formule
U = r f{x} dx.
APPLICATWNS DU CALCUL DES LMÉGUALES DÉFÎMES. 253
Nous prendrons pour premier exemple le ccicle, parce qu il est intéressant de retrouver par celte voie les résultats obtenus par des voies toutes différcn- tI tes. Proposons-nous d'évaluer l'aire comprise enire un arc de cercle BM, l'axe des x passant par le centre, et les deux ordonnées répondant à ic = 0 qui est l'abscisse ducentre, et ic = OP qui est une abscisse quelconijue.
Fig. 59.
On a dans ce cas î/ =r y/lr — x- , et par consé]uent U =
Si l'on pose
on obtient
x = r\.u, d'où dx = l\du,
U = n^ 1 (lu \/l — u- = Pi- ^ (arc sin u + w y/l — u') , sans constante, puisque l'aire doit s'annuler pour h = 0. En
remettant pour ii sa valeur ç , on peut écrire
U= ^ R2 arc sin r> -l- ^^ ^ v^B' — x-.
Ce résultat est conforme à la Géométrie; car si l'on tire le rayon OM, on a
surf. BOPM=:sc t. BOM -t- tri. OMP
= ^ Pl^ angle BOM -h ,^ OP . i\lP ,
expression qui coïncide avec la précédente.
Soi l'HEMlERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Pour x^R, on aurait le quart du quadrant; dans ce cas,
arc
sin f; = 7^, par conséquent U= -> ::Rn 2 4
attendu que le second lerme disparaît. L aire du cercle entier est bien ainsi représentée par zTl^
206. — Aire de rellipse. On pourrait opérer comme cidessus; mais le calcul se simidifie. Ou a, en effet, pour l'aire du quadrant d'ellipse
U = I - \ "' — J^^ ■ dx = - I dx Ja^ — X-.
Or, l'intégrale qui figure dans le second membre exprime l'aire d'un quadrant de cercle ayant pour rayon a; elle é.jui-
vaut donc à -, T.a~. On a donc
(J = - . 7 -(1-= 7 T.ab.
L'aire de l'ellipse entière est représentée ainsi par rMb.
On peut leniarqucr que si l'on compare des aires limitées aux mêmes ordonnées dans l'ellipse et dans le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre, les expressions de ces aires r.e diffèrent que parce que celle de l'ellipse est multipliée
par -. Laire prise sui- l'ellipse est donc à celle qui lui cora
rcspond sur le cercle dans le rapport de b à a.
aoî. — Aire de la para')ole. Calculons l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et une ordonnée quelconque. Nous aurons
APPLICATIONS DU CALCUL DES liNTÉoltALES DÉFÎMES. '2ô5 par siiilc
U= 1 \'2j) .x'dx = ^\'2i) .x^ ,
sans con>taiite, puisque l'aire doils'animlLT pourj;=0. Celle cxpicssion peut b'écrire
U = ^ \ '^l^.X .Xr=^ yx.
L'aire co!i>i;lcréo est donc les = du rcctande construit sur les
coordonnées X et y du point auquel correspond l'ordonnée
prise pour limite.
On peut remarquer que si, au lieu de la parabole du se-
cond degré y = \ 'ip.x', on considère une parabole de degré
quelconque y^rax"*, m étant un exposant positif quelconque,
l'aiic limitée par l'ordonnée correspondante à une abscisse x
est toujours une fraction ralionnelle du rectangle construit
sur les coordonnées x et y, car on a
\]= ax'''dx= - -,
mH-1 sans conslantc, ou bien
ax"" . X" yx
Dans la parabole y = (sx- pa cxeiiqde, on a
l'REMlERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INTEGRAL
208. — Aire de Ihijperbole rapportée à ses asymptotes. On se propose d'obleiiir l'aire comprise entre la courbe, l'axe des a; et deux ordonnées répondant aux abscisses a et x. En appelant ô l'angle des asymptotes, et prenant xy = m'^ pour l'équation de la courbe, on a
/dx X
m- . — = m* sin ô . lo"' . - .
Si l'on suppose m :^1 , a=\ et 6 = 90% il vient
U = log' . X,
c'est-à-dire que, dans ce cas, l'aire considérée est exprimée par le même nombre que le logarithme népérien de V abscisse qui répond à la limite supérieure; c'est pour cette raison que les log.H'itbmes népériens portent aussi le nom àe logarithmes hyperboliques.
