Aire de la logarithmique. L'aire de la logarithmique

y = a\ogx prise à partir de x=\^ a pour expression

[=fl I log

X dx = a [x\ogx — {X — 1 ) log e] .

La même courbe aulrement disposée peut être présentée sous la forme

y = Ka~' .

L'aire de celte courbe, comptée à partir de a; = 0, a pour expression

APPLICATION DU CALCUL DES LNTtGIULES DÉFLMES. 257 Pour x = yo y on trouve

lo!ï e

"ua

Ainsi, l'aire dont il s'agit, quoique prolongée indéfinimenl dans le sens des x positifs, a néanmoins une valeur finie.

210. — Aire de la sinusoïde. L'aire de la courbe comptée à partir de ic=0, a pour expression

\}=a\ û\\mxdx=^ ~ {\ — cos

mx]

l'our x= — , elle prend la valeur — . Poura;=— , elle m ^ m m

prend la valeur zéro; ce qui lient à ce que de j;= — à

x ::=:: — la courbe présente, au-dessous de l'axe des x, une

portion égaie à celle qu'elle olfre au-dessus de zéro à — :

en sorte que la partie négative de l'aire détruit algébriquement la partie positive.

2fli. — Aire de la cydoide. On a vu que Ton a, dans ce cas,

y :^R(1 — cosa), et dx=Vi{\ — cosa)rfa.

Il en résulte que l'aire entière delà courbe, depuis x=:0 jusqu'à 01 = 2^11, est donnée par la formule

\}=n' f "''{[-cosy.fdx

= R- ( / dx — 2 1 cos a (/a H- | cos'adaj.

La promicre de ces trois intégrales a pour valeur 2z; la seconde est nulle; la troisième (187) a pour valeur r.. 11 vient donc

U = R^(2zH--), ou U=57:U^

c'est-à-dire que Va'ire de la cijcluide équivaut à trois fois l'aire du cercle générateur.

212. — Aire d'une figure irréguUère quelconque. Rapportons celte figure à deux axes rectangulaires tracés dans son plan; puis, par des parallèles à Taxe des y, supposons-la divisée en bandes très-minces, telles que MNN'M'. Si les cordes

MIN et M'N' sont suffisamment rapprochées, on peut remplacer la bande dont il s'agit par le rectangle MNIII, en négligeant les triangles curvilignes MIM' et NllN' infiniment petits par p p' Cl lapport à ce rectangle. On peut

Fig. 41. donc regarder l'aire jiroposée

comme la limite d'une somme de rectangles analogues, ayant pour hauteur la corde MN, que nous désignerons par u, et pour base la longueur Nil ou PP', qui n'est autre chose que l'accroissement AX de l'abscisse OP ou x, qui répond à cette corde. Soient OA' = Cf, et OB' = b les abscisses corrcsj)ondantes aux parallèles à l'axe des y menées tangentiellement à la figure donnée. Nous aurons

U = lim. ^?/Aa;= I n

.la

dx.

Comme la corde u ne sera pas en général donnée en fonction de a;, on emploiera la formule de Th. Simpson. On divisera l'intervalle A'B' en un nombre pair n de parties égales; par les points de division on mènera des parallèles à l'axe des y, et

APPLICATION DU CALCUI- DES INTEGRALES DEFIMES. 259

l'on mesurera les cordes telles que MN ; nous les désignerons par Uj, u^, î<3,...M„i. Les cordes extrêmes seront nulles, puis(iu'ellcs correspondent aux tangentes AA.' et BB'. En appelant donc/< la n'^""' partie de AA', on aura, avec une approximation déj)endant de la grandeur tlu nombre n,

L'approximation sera toutefois limitée attendu que les cordes m^, î/j, î/^, etc., ne sont obtenues elles-mêmes que par un procédé graphique qui ne saurait donner des mesures rigoureuses. Néanmoins, ce procédé est fréquemment employé dans les applications.

«13. — Aires des courbes en coordonnées polaires. Quoique l'on fasse rarement usage des coordonnées polaires dans les applications, il peut être utile de savoir évaluer l'aire des courbes rapportées à ce genre de coordonnées.

On se propose ordinairement dans ce cas de calculer le secteur compris entre un arc AB de la courbe et les rayons vecteurs OA et OB menés à ses extrémités. Soit d'abord M un point quelconque de cet arc, et proposons-nous d'évaluer le secteur MOA. Si p et w sont les coordonnées du point M, le secteur MOA est évidemment une fonction de œ.

Désignons par u cette fonction.

Quand w croîtra de Aco, u croîtra de Au ; et cet accroissement sera l'aire du secteur M'OM compris entre les rayons vecteurs OM = p et 0M'= f -h Ap qui répondent à co et à o) H- Aw. Or, si l'on déciit du pôle 0 comme centre les arcs MI el M'il, on reconnaît que le secteur M'OM est compris entre les secteurs circulaires MOI et .M'OII, qui ont pour angle au centre Aco. On a donc

^ p- Aw < AU < ^ (? + Ap)- AW ,

d'où

Si l'on fait tendre Aw vers zéro, — tend vers -7- ; en même

Ao) «(j)

temps le dernier membre tend vers ^ p-, puisque Ap tend vers

zéro. A la limite on doit donc avoir

d'oij

Et si l'on intècrre à partir de w = AOX = a jusqu'à a)=MOX, on trouve

expression dans laquelle il restera à mettre pour p sa valeur en fonction de w tirée de l'équation de la courbe.

Pour w=:B0X = t3, on aurait, en appelant U l'aire AOB,

'f/co.

214. — Exemples. I. Prenons d'abord la spirale d'Arcliimède, dont l'équation est p = aw, on aura, en comptant les aires à partir de a) = 0,

ro> 1 1

APPLICATION DU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFLMES. 201 ce qu'on peut écrire

c'est-à-dire que l'aire du secteur de spirale considéré est le tiers du secteur circulaire qui aurait pour rayon p et pour angle un centre (o.