IV. Soit enfin réqualion
dH
dH
dx^ ^' dx dy dif
on y satisfait de la manière la plus générale en posant
car on en tire
d-z dx'
d^z dx dij
dH
dif X- ' X '
et, en substituant ces valeurs dans la proposée, on reconnaît qu'elle est salisfaitc.
Il sullira de ces exemples pour donner une idée du rôle que jouent les fonctions arbitraires dans l'intégration des équations aux différences partielles. Pour la théorie môme de celle intégration, quand l'équation dépasse le premier ordre, nous renverrons aux traités plus étendus.
§ 7. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE L'INTLGRATIC N CES EQUATIONS DirFERINTIELLES
239. — I. Trouver la courbe dont la sous-normale est constante. L'c.\j)rcs.'^ion de la sous-normale étant yy', réqiiation du problème est
WJ = V >
en désignant par ]j la constante. Celte équation revient à
ydij--=])dl',
cqnalion (llffércnticlle du ftrcmicr ordre et du premier degré à deux variables. Eu rintégrant, puisque les variables y sont séparées (250), on obtient
1^ = p j; + C ou f = 2px -+- 2G,
équation d'une parabole qui a jiour axe de ligure l'axe des:i'.
II. Trouver la courbe dont la sous-tangente est proportionnelle à Vabscisse. L'équation du problème est
~, = mx ,
m désignant une constante. On sépare aisément les variables et l'on obtient
dii dx m -^ =z —
V ^ et, en intégrant,
m log' y = h'^'x -h log' C r= log' Cx ,
attendu que l'on peut représenter la constante par log' C ,
528 PREMIERS ÉLÉMEiMS DU CALCUL INTÉGRAL.
Cl enfin
tf=Cx.
C'est une parabole du degré m.
Si la sous-tangente est double de l'abscisse, on a 7n = '2, et la courbe clicrcbée a pour é(iuation
y'=Cx.
C'est la parabole ordinaire.
III. Trouver la courbe dont la sous -normale est proportionneJe à l'absc.sse. L'équation du problème est
yu' = mx eu
yd>j = mxdx.
En intégrant, on obtient
équation dune byperbole ou d'une ellipse, suivant que m est positif ou négatif.
aeo. — IV. Trouver la courbe dont la normale est constanie. L'équalion du problème est
a désignant une constante. C'est une équation différentielle du premier ordre, mais du second degré. Un eu tire
k radical portant avec lui son double signe. On peut mettre
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEIR INTÉGIIATION .ri!) celle équation sous la forme
En intégrant, on obtient
— \/a- — if=x-hC ou
if-]-{x-hcY = a\
é(|ualion d'un cercle qui a pour rayon a et son centre sur l'axe (les X.
V. Trouver la courbe dont la tangente est constante. L'équation du problème est
d'oiJ
sa- — if ou, en séparant les variables,
dx=z
Pour effectuer l'intégration du second membre, il est commode de poser
î/=:asina), d'où dy = û cos to (/o),
et, par suite,
dx = a^ [ -. sin 0) 1 dui
\sin 0) /
530 PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL mTÉGRAL.
ei
a; -h C = a- log' tang ^ w -f- cos w •
Remplaçant ensuite w en fonction de î/, on trouvera, toutes réiluclions faites.
La courbe représentée par cette équation porte le nom de tr actrice.
\'I. Trouver la courbe dam laquelle la longueur de Varc est jiroporlionuelie au carré de rabscis.se.
Eu désignant par s l'arc de la courbe, on peut écrire Téqua* tion du problème sous la forme
d'où
ds = ~-j~ ou dx \ 1 + y'- = — — ,
On en tire
pu
is
('y = ~r dx\x^ — li^
et, en intégrant (177),
y + C = ^. [ — fc* log' [x -\- v/i~' — r-) + X \x'—k'\ . 2Qfl. — VII. Tiouver la courbe dont le rayon de courbure
DES ÉOLATIO.NS DlFFÉRENTIlrlLLES ET DE LELR liN'lÉGHATION 531 est constant. L'équation du problème est
(1 + iff
équation dilTérentielle du second ordre.
En multipliant par y", et remplaçant cette dérivée par
—~ , on a d abord
d'où
(hj if d])'
et, en intégrant, on trouve
On tire de cette équation
V' =z ' '— OU -- = (IX
Î/ + C ^/a'—(y-hcy-
ct, en intégrant de nouveau, on obtient
— \'(^~ (jj -^ cf = X -{- c' ou {x-'r-c'f-]-{y-\-cY- = a, équation d'un cercle de rayon a.
YIII . Trouver la courbe dont le rayon de courbure est double de la normale. L'équation du problème est
Cette équation se simplifie quand on supprime le facteur
PREMIERS ELEMENTS DU CALCUL LNT£GRAL
y 1 -h y'' ; et il reste
Multipliant par y", et remplaçant ensuite cette dérivée par
V' (^'J' -1 • t '^-~- . il vient
dij y l4-î/"*
En intégrant, on obtient
y,/l+y-=C, d'où l/ = y/!^,
= "Vc:^/
Sous cette forme, on reconnaît aisément l'équation différentielle de la cvcloïde. Si l'on pose, en effet,
x=^C(a — sinx) et y=-^C{\ — cosa),
on reconnaît que Icqualion différentielle est satisfaite.
IX. Trouver la courbe dans laquelle la longueur de Parc est proportionnelle au coefficient angulaire de la tangente. L'équation du problème est
s = aif.
U faut d'al)ord la différcnlier , afin do pouvoir remplacer l'arc, ou du moins son clément, en fonction du coefficient angulaire do la tangente. On trouve ainsi
ds = dx V 1 -hy'^=a dy\
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEUR LNTÉGRATIOiN 533 d'où
dx ihf
et, en intégrant,
^±- = log' {y' -h VI + y'') • Eli passant aux nombres, on peut écriro
On lire de celte relation
ou
1 r ˱9 [j+c)-i dy=~\ e ^ —e " \dx.
En intégrant de nouveau, il vient enfin
En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes , et mettant l'origine au point qui a pour coordonnées x = — C et y= — C, on met cette équation sous la forme plus simple
La courbe qui est représentée par cette équation porte le nom de chaînette.
«62. — X. Trouver l'équation générale des surfaces dont réquation différentielle est
dz , dz .
dx (ly
Cette équation est une équation aux différences partielles du premier ordre; on aura donc à appliquer la méthode développée au n° 256. Les équations à deux variables qu'il faut d'abord intégrer sont ici
— =^dz et ~;^ = dz.
qui donnent
% — ax = Cj et z— b\j = C^.
L'équation intégrale demandée est donc
o[z—ax,% — bij) = 0 ou z — ax = 'l[Z- — by),
les caraclcristiqucs ç et (^ représentant des fondions arbitraires. Cette équation est l'équation générale des cylindriques (153).
XI. Trouver l'équation générale des surfaces dont léquat'ion différentielle est
dz dz
dx ' dij
Les é(pialions à intégrer sont ici :
qui donnent
dx dz dji ^3
- = C, et •"- = C„.
L'équation demandée est donc
ç désignant une fonction arbitraire. Cette équation est l'équation générale des surfaces coniques dont le sommet est à l'origine.
DES EQUATIONS DIFFÉREiNTlELLES ET DE LEUR INTÉGRATION 5Ô5
XII. Trouver Véqualion générale des surfaces dont l équation différentielle est
dz dz .
'' dx dij
Les équations simultanées à intégrer sont ici dx d]} dz
elles reviennent à
X dx -{-ydij = 0 et dz = 0 €t donnent
