X- -h if =^C^ et 2 = Cj

Par conséquent, l'équation chercliée est

z=zo{x^-h y-) ,

œ désignant une fonction arbitraire. C'est l'équation générale des surfaces de révolution qui ont pour axe l'axe des z.

2G3. — Pour terminer ces applications géométriques, nous traiterons encore le problème connu sous le nom de Problèine des trajectoires. Voici en quoi il consiste : étant donnée une famille de courbes dont l'équation est

trouver un courbe qui rencontre celles-ci sous un même angle donné V. (Cette courbe prend le nom de trajectoire ; si l'angle V est droit, c'est une trajectoire orthogonale.)

Le coefficient de la tangente à l'une des courbes données, au point dont les cordonnées sont a; et y, a pour expression

Le coefficient angulaire de la tangente à la trajectoire qui passe

nu même point x^ y est d'oilleurs —. On doit donc avoir ,

ilJb

d'après la condition du problème, tans V = —

ou, en mettant pour y' sa valeur ci-dessus, et multipliant les

. 1 r • (If

deux termes ue la Iraction par -/-,

' dx

,-, . ,, dx ' dy dx

dy dx ' dx

Si l'on élimine le paramètre a entre cette dernière relation et l'équation (1), on obtient une relation en a; et y, (jiii fst Icquation différentielle de la trajectoire. Cette équation différentielle est toujours du premier ordre; en l'intégranl, on obtient l'équation générale des trajectoires cherchées, puisque l'intégration introduit une constante arbitraire.

Lors<|u'il s'agit des trajectoires orthogonales, on a

lang V = 3o , et la relation (2) est remplacée par

^ ' dx dx dx

26-1. — I. Proposons-nous, comme premier exemple, de chercher les trijecloires orthogonales des paraboles qui ont même axe et même sommet. Ces paraboles ont pour équation

(4) y-=i'2px, ou if—2ix = 0.

DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES ET DE LEUR INTÉGRATION 5ôi On en tire

dx~ ^' dij ^' et. en snbstiluant dans la relation (5), on obtient

Celle relation donne

et, en substituant pourp cette valeur dans l'équation (i), on trouve

Cette équation différentielle est satisfaite par y = 0; et, en effet, l'axe commun des paraboles les rencontre toutes h angle droit. Si Ion supprime cette solution, il reste

ou

ydy -^ '2xdx=^0.

En intégrant on obtient

tf-\- 2j;- = const.

C'est l'équation générale d'une famille d'e)lipses semblables et semblablement placées, ayant pour centre le sommet commun des paraboles.

II. — Nous chercberons, comme second exemple, les trajectoires orthogonales des cercles de rayon R, qui ont leurs centres en ligne droite.

En prenant la droite des ccnircs pour axe des x, l'cqiialion générale des cercles considérés sera

On en tire

^"=2 (a; -a), et ^=2y.

(Ix ' ' dij "^

Substituant dans la condition (5), on obtient

y — î/'l-K — ^)=0, d'où x—'j. = ''l

et, en remplaçant x — a par celte valeur dans l'équation (5), il vient

Î/--+- ^, =:!!% d'oïl \I{V\^ — if) .ihj=i])dx. On sépare immédiatement les variables, et l'on a

dx=^- ^f?y,

et, en intégrant,

X =: log' . ^ + ^ -^ const.

(Pour faire l'intégration, il est commode de poser y=:R sin cj,

w étant une nouvelle variable.)

III. — EnHn nous nous proposerons, commedernierexeniple, de trouver les courbes qui coupent sous un angle donné, dont la tangente est k, toutes les paraboles qui ont même axe et même paramètre.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEUR INTÉGRATION 559 L'équation générale de ces paraboles est

(fil îf = 2}){x — a).

Un en tire

En substituant dans la condition (2), on obtient iiu' — p

équation qu'il convient d'écrire, en divisant par /.:, sous la forme

Celte équation ne contenant pas a, il n'y a pas d'élimination à faire, et l'on a ainsi immédiatement l'équation générale des trajectoires.

En séparant les variables, on la met sous la forme

dx-h ~ — ^0

Pour l'intégrer, on posera y H- t^u, il où (hj-=du, et, on

substituant.

ou

, , , \\ du du ,,

Eli iritégiant on obtient.

et, en remettant pour u sa valeur, et tirant celle de .r,

c'csl l équation générale des trajectoires demandées.

Si l'angle donné est droit, on a A; = x) , et l'équation des trajectoires orthogonales est

a; = C — ]}log'.y,

équation que l'on peut mettre sous la forme

c'est une lo^aritlimique ordinaire.

UN

APPEiNDlCE

DLMONSTnATION DE QUl-XQUES PIiINCIPES D'ALGÈBRE