ARITHMETIQUE

Argument. — L'arithmétique est la science des nombres : son but est le calcul ; son principe, l'unité réelle ou conventionnelle ; sa base, la numération ; ses moyens ou opérations, l'addition, la soustraction, etc.

Telle est en peu de mots cette science qui atteint, mesure toutes choses, et dépasse d'un trait de plume les limites de l'immensité. Telle est la science qu'il s'agit de rendre intelligible à nos trop inintelligents élèves, non pour les initier aux abstractions des nombres, mais pour les familiariser avec les quantités appréciables par eux dans la

vie pratique. Ainsi resserrée dans le chcanip de la réalité, notre étude ne jettera pas de ces éclairs qui éblouissent sans rien féconder souvent ; mais elle pourra répandre sur de médiocres existences la clarlé bienfaisante du raisonnement applique aux choses positives.

Partant, comme toujours, de ce principe fondamental, que rien ne doit être fait pour la vanité, mais pour l'utilité, j'ai réduit l'arithmctique à la science des nombres sensibles ; je n'enseignerai pas l'abstrait à des êtres qui ont à peine la notion du concret; je leur ferai palper des chiffres comme je leur ai fait manier une pioche.

J'ai dit comment on jette habilement au milieu de la lecture les premières notions d'unité et de multiplicité. Les nombres ne peuvent avoir de valeur pour l'idiot qu'autant qu'ils sont représentés par des choses. A cet effet, les premiers objets venus sont bons; mais un compteur est préférable à tout pour la numération. Ce compteur, qui ne diffère pas beaucoup de ceux en usage pour le jeu de billard, se compose de boules numérotées jusqu'à cent, et passées dans des broches qu'on peut déplacer de manière à pouvoir en retirer les boules, et n'en laisser qu'une ou deux à volonté. Pour mes élèves, 1, 2, 3, 4, doivent être des choses avant d'être des quantités, l'idée du nombre précédant toujours celle du chiffre, comme il arrive aux enfants de connaître les mots avant de les lire. Du reste, si cette théorie du calcul est invariable, la pratique de son enseignement doit varier selon les individus auxquels elle s'adresse. Voici comment je l'ai simplifiée.

Métliode. — Deux ordres d'opérations dominent toute l'arithmétique, la numération et la composition et décomposition des nombres.

La numération, servant de base au calcul, doit nous occuper la première mais non dans l'ordre abstrait.

Je fais nombrer des quantités qui, grossies on diminuées, rendent sensible l'ordre progressif des chiffres.

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C'est ainsi que de 1 h 2, l'unitë matdriellcmcnt ajoutde à la quantité iiremière a été représentée sur des objets par son signe mathématique.

Je ne parlerai que i)Our mémoire de la difficulté que les élèves éprouvent à afïecter un nom à chaque chiffre isolé jusqu'à 9 : c'est moins une affaire de méthode que de pratique et de mémoire.

Toutefois, il importe de distinguer ces neuf chiffres en trois séries, La première va de 1 à 4, la seconde embrasse les trois chiffres 5, G, 7, qui ont un rapport de prononciation, et dont les difïérences de figure sont par conséquent plus difTicilcs à saisir (ce sont les derniers appris), la troisième comprend 8 et 9.

Numération.

Arrivé là, l'appellation successive des chiffres, ou numération, n'offre plus que trois anomalies. La première, qui consiste à nommer d'un seul nom des nombres de deux chiffres, comme 13. La seconde est d'attacher aux chiffres une valeur de position décuple de leur valeur absolue; la troisième de reporter, dans certains cas, au premier chiffre une partie de la valeur du second, comme dans 72, 93, etc. J'ai rendu la première anomalie moins sensible, en faisant dire .

1 et 0 s'appellent dix

10 et 1 — onze

10 et 2 — douze

10 et 3 — treize

10 et 4 — quatorze

10 et 5 — quinze

10 et 6 — seize

10 et 7 — dix-sept

10 et 8 — dix-huit

10 et 9 — dix-neuf Pour la seconde :

1 et 0 s'appellent dix

2 et 0 s'appellent vingt

3 et 0 — trente

4 et 0 — quarante

5 et 0 — cinquante

6 et 0 — soixante

7 et 0 — soixante-dix

8 et 0 — quatre-vingts

9 et 0 — quatre-vingt-dix

Mais cette nouvelle nomenclature, qui présentait des quantités inapprécial^les au simple regard, s'entremêle à la première, et on est obligé de la simplifier. Divisant mes dizaines en trois catégories, les noms de dix et vingt sont confiés à la mémoire seule qui les retient. Ceux de 30, 40, 50, se sont appuyés sur leur racine, 3, 4, 5, qui commencent les noms de 30, 40, 50. De mémoire, j'enseigne 60 et 80, au-dessous desquels écrivant 70 et 90, la routine a bientôt fait dire soixante-dix et quatre-vingt-dix.

^lais suffît-il de faire nommer chaque chiffre ? non ; il faut de plus le rattacher, le souder en quelque sorte, par la mémoire, afin de former la chaîne continue et progressive de la numération. Pour atteindre ce but, j'ai écrit en regard les deux colonnes suivantes, que j'ai fait imperturbablement répéter en suivant du doigt :

Dizaines Unités

Quand je commence à m'apercevoir que l'ordre de la numération a laissé trace dans la mémoire, j'écris entre

les deux colonnes 45, et l'élève dit quarante-cinq ; 78, et si l'élève hésite à dire soixante-dix-huit, je le reporte à la colonne de progression des dizaines.

On remarquera que j'ai évité 72 et 95, etc., troisième difficulté que j'aborde à part quand la numération est apprise.

Des trois difficultés que représente la numération, reste la dernière, celle qui consiste à nommer un nombre de deux chiffres dont le premier emprunte une partie de sa valeur à l'autre, comme 76, 96, etc. Cette dernière difficulté offre, comme on le voit, la réunion des deux autres, qui consiste, l'une à donner une valeur décuple, centuple, etc., aux chiffres en raison de leur position, et l'autre, à réunir deux chiffres sous une appellation commune.

Je les ai placées, ces deux difficultés, déjà vaincues isolément, à droite et à gauche sur deux colonnes progressives auxquelles je renvoie successivement les élèves lorsqu'ils ne peuvent nommer le nombre que j'écris au centre du tableau. De cette manièie, ce n'est pas moi qui leur dis que 7 et 3 réunis font 73 ; 9 et 4, 94, c'est bien eux seuls qui le trouvent, partie à droite, partie à gauche, sur nos colonnes de progression, et qui en font la somme dans leur tête. Toutefois, ce travail est plus mécanique qu'on ne pense, et ce n'est pas moi qui le présenterait comme une opération intellectuelle.

§ II. — Calcul.

J'en dirai presque autant du calcul, qui ne doit point être pour les idiots un tour de force, s'ils le comprennent, et parviennent à pouvoir l'appliquer dans les limites des choses de leur vie pratique.

Comme j'ai pris l'unité pour base de la numération, j'ai pris la dualité dans ce qu'elle a de sensible pour les élèves comme base du calcul ; mais pourquoi deux et non pas trois, ou cinq, ou dix?

1° Parce que trois est un groupe plus distant de l'unité ;

2° Parce que 5 el 10, générateurs du syslènie décimal, ne sont point des diviseurs perceptibles pour les sens ;

3° Parce que deux est la formule sous laquelle se rangent plus volontiers les choses et que cette formule a un nom, une réalité propre qu'on appelle une paire ;

4" Parce qu'une paire d'une infinité de choses appréciables pour les enfants, a une existence aussi nécessaire que l'unité. Ainsi, que faire d'un sabot? Pour marcher, il en faut deux, une paire. La paire a donc pour eux une valeur personnelle, propre, indivisible.

Partant de là, je mets les chiffres sur deux colonnes : Impaires Paires

puis, leur faisant lire les mots en tète des colonnes et leur en expliquant les rapports avec tous les chiffres, ils disent : un impair, deux paires, trois impairs, quatre paires, etc ; puis un impair, trois impairs, cinq impairs, etc., et deux paires, quatre paires, etc. Cela énoncé, en indiquant du doigt chaque chiffre, je leur fais ôter leurs sabots, par exemple, et leur adresse ces questions : D. Combien as-tu de sabots ? R. Deux.

D. Combien cela fait-il de paires? R. Une, etc. Les combinaisons par trois, quatre et cinq dérivent comme on sait, de la précédente, et s'apprennent ensuite.