DIVISIONS KT FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES

b el b' , c et c'. a coincidanl avec son homologue : ce sont donc les deux divisions considérées.

On on déduit que :

Lorsque deu.r points homologues de deux divisions homographiques coïncident, la droite qui joint deux points homologues quelconques passe par un point fixe.

De cette propriété résulte immédiatement que :

Étant données trois divisions homographiques portées par des bases concourant en un même point, avec lequel coïncident trois points homologues^ le plan déterminé par trois points homologues quelconques passe par une droite fixe.

30. Au lieu de faire se correspondre liomo^raphiquement les points de deux droites, on peut considérer aussi des correspondances homographiques entre les plans menés pa deux droites. A tout plan mené par une droite A, correspondra un seul plan mené, par une droite A' cl réciproquement: on ohtieniiia alors ce qu'on appelle deux faisceaux homographiques de plans.

L'étude des faisceaux homographiques se ramène à celle des divisions homographiques : considérons, en eiïet, deux '.droites quelconques D el D' ; soient m un point de D, et m' le point où D' coupe le plan homologue du plan Am, mené par A'; ces points m et m' se correspondent homographiquemenl sur D et D'.

Les faisceaux homographiques présentent donc des propriétés analogues à celles des divisions homographiques. On voit, par exemple, que : ^

Le rapport anharnionique de quatre plans d' un faisceau est égal à celui des quatre plans homologues dans un faisceau homo graphique.

3L Les traces sur deux plans, distincts ou confondus, de deux faisceaux homographiques de plans, délerminenl deux faisceaux homographiciues de droites.

Soient, dans un plan, A une droite, et a et a' deux points quelconques ; m désignant un point quelconque de A, les

20 CIIAP. H. DIVISIONS ET F.AISCFAUX HOMOGHAPIIIQUES.

droites am et a'm engendrent deux faisceaux homographiques ; car, à toute droite menée par l'un des points a ou a n'en correspond qu'une menée par l'auire. D'ailleurs, la droite aa' se correspond évidemment à elle-même.

Uéciproquement, si, dans deux faisceaux homographiques de droites, situées dans un même plan, deux rayons homologues coïncident, les points d'intersections des autres rayons homologues sont en ligne droite.

On démontrera ce théorème d'une manière analogue à celui du n" 29; ce sera, pour nos lecteurs novices, un exercice utile et d'ailleurs facile.

J)e ce théorème, on déduit immédiatement que :

Lorque deux plans homologues de deux faisceaux homographiques coïncident, la droite commune à deux plans homologues quelconques décrit un plan , qui passe par le point commun aux deux arêtes.

Par suite :

Étant donnés trois faisceaux homographiques de plans, dont les arêtes sont dans un même plan, avec lequel coïncident trois plans homologues, le point d'intersection de trois plans homologues quelconques décrit une droite.

32. Deux divisions homographiques peuvent avoir la même base ; soient, dans ce cas, m et m' deux points homologues, et p et p' les paramètres qui définissent leur position sur la droite : pet p' sont liés par une rolaiion homographique; si l'on y fait p' = p, on obtient une équation du second degré d*it chaque racine fournil un point m coïncidant avec son homologue. Ainsi :

Dans deux divisions homographiques de même hase, il existe deux points qui coïncident avec leurs homologues.

On les nomme points doubles de l'homographie considérée.

Saienl donc a ei b les points doubles d'une homographie,

c el c', m et m' deux couples de points homologues : on a

(abcm) = {abc'm'),

DIVISIONS KT FAISCEAUX HOMOfiR AI'HIQUES. 2 1

d'oH l'on clôduil

{ah/nm') = {rthcc').

Ainsi, A' rapport anharmoni'jiie {nhnini') cal conslanl.

33. Kianl (ioimées deux surfaces du second deiçré (j et O', admeliaiil une j^cnéralrice commune A, loul plan mené par cette droite louche respectivement Q cl Q)' en deux points m et m' , lels que l'un d'eux étant donne, l'autre se trouve déterminé : ces points forment donc sur A deux divisions homograpliiques. Leurs points doubles correspondront h deux plans qui loucheront chj. m Q et Q' au même point. Ainsi :

Lorsque deux surfaces du second degré ont une <>énératrice commune^ elles se touchent en deux points de cette droite.

34. Aux propriétés des divisions homographiques de même base en correspondent d'analogues des faisceaux homographiques de môme arête et on les démontre de môme.

Ainsi, deux faisceaux homographiques de droites, qui ont le même sommet et sont dans un même plan, possèdent deux rayons doubles, réels ou imaginaires.

Considérons, par axemple, un angle réel de grandeur donnée, qui tourne dans son plan autour de son sommet : ses deux côtés sont homologues dans deux faisceaux homographiques de même sommet, car, l'un étant donné, l'autre s'en déduit. Ces faisceaux ont deux rayons doubles, qui sont donc tels, d'après leur définition même, que chacun d'eux fasse avec lui-même un angle égal à l'angle donné. Or, soient m et ni' les coefficients angulaires de deux rayons homologues, par rapport à deux axes rectangulaires menés par le sommet des faisceaux : ils sont liés par la relation

rn — /n'= (i -f- mm')k,

k' désignant la tangente trigonométrique de l'angle donné. Des coefficients angulaires des rayons doubles sont donc les racines de l'équation

Ces rayons sont donc indépendants de la grandeur de l'angle