CHAP. II. — DIVISIONS ET FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES

donné ; on les appelle droites isotropes, et leurs points à l'infini, sont appelés les ombilics ou les points cycliques du plan; ce sont, comme on voit, deux' points imaginaires conjugués.

D'après ce qui précède (n" 32) le rapport anharmonique de deux droites isotropes et de deux droites réelles faisant un angle donné ne dépend que de la grandeur de cet angle; on le vérifie aisément, car ce rapport anharmonique a évidemment pour valeur

m -\- 1 m -\- i ou, en posant

/?i :=: tangoj, /«'=: tango)', sinw — fCOSGj sinco'+ icosoj'

sino) -4- i cosol) sino) — i cosw

en désignant par V l'angle considéré.

Celte propriété, indiquée pour la première fois par Laguerre (•), permet de définir l'angle de deux droites quelconques, dont le plan est réel ou imaginaire. En effet, puisque sur toute droite réelle du plan de l'infini se trouvent deux points cycliques, le lieu de ceux-ci est une courbe du second degré, qu'on désigne sous le nom d'ombilicale ou de cercle de l'infini. \]n plan imaginaire quelconque coupe cette courbe en deux points, qui sont les points cycliques de ce plan, et qui en définissent les droites isotropes. Enfin l'angle de deux droites d'un plan se déduit de la valeur du rapport anharmonique de ces droites et des droites isotropes de leur plan.

• Involution.

35. D'après la définition même des divisions homographiques, deux divisions homographiques à une troisième sont homographiques entre elles. Soient en particulier deux divisions homographiques (i) et (2), de même base, ayant pour points doubles a et 6. Soit m' le point homologue dans (2) d'un point quelconque m de (i), et soit m" le point qui cor-

( ') LAciUERRL:, Note sur la théorie des foyers ( Nouv. Ann. de Mallt., i853 ).

INVOLCTION. 2,3

respond dans (2) au point m' considéré comme un point de la division (i) : les points m et m" déterminent, d'après la remarque précédente, deux divisions homographiques, dont a z\h sont évidemment les points doubles. En général, le point m" ne coïncide pas avec m; priais, si m et m" se confondent pour une position de m autre que a et b, il en sera ainsi quel que soit m, car m et m" engendrent alors deux divisions homographiques ayant trois points doubles, et, par suite (n''24), confondues.

On dit, dans ce cas, que les divisions (i) et (2) forment une invoLution ('); les points m et m' sont alors réciproques.

D'après cette définition, une im'otution est déterminée par deua couples de points homologues, car une involution qui admet pour couples de points homologues m, m' et n, n' n'est autre que l'homographie telle que les points /n, m' et n aient pour homologues les points m\ m et n' ; elle eSt donc bien déterminée par ces conditions (n" 24).

Si m et m' sont deux points homologues d'une involution de points doubles a et b, on aura (n" 32)

{abmm') := {abni m) ou

[abmm') =: — i.

Donc (n°23) :

Deux points homologues dans une involution sont conjugués harmoniques par rapport aux points doubles.

On en déduit que le point à Tinlini a pour homologue le milieu 0 du segment limité par les points doubles; en désignant par 00 le point à l'infini, on a donc

(maOoc) = (m'aooO) ou

ce qu'on peut écrire

;■ ) La théorie de V involution est due à Chasles,(y^yr>erfM A<sfo/-f^«e, NoteX).

Om

Oa

Oa

Om''

■i.l\ CHAI', ir. — [Jl VISIONS F.T FUSCKAUX HOMOGRAPHIQUES.

M. Aux propriélés des divisions en involiition correspondent des propriétés des faisceaux de plans ou de droites en involution. Par exemple :

Deux rayons homologufs d' une involution de droites sont conjugués harmoniques par rapport aux rayons doubles.

Les côtés d'un angle droit qui pivule autour de son sommet engendrent deux faisceaux en involution; car ces côtés, qui se correspondent homograpbiquement ( n° 34), sont évidemment réciproques. Les rayons doubles de cette involution sont encore les droites isotropes issues du sommet de l'angle droit. Par suite :

Deux droites rectangulaires sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites isotropes de leur plan, issues de leur point commun.

Autrement dit :

Les points à l'infini de deux droites rectangulaires sont conjugués harmoniques par rapport aux points cycliques.

37. Les côtés d'un angle qui admet des bissectrices données engendrent aussi deux faisceaux en involution, dont les rayons doubles sont évidemment les deux bissectrices données. Réciproquement, lorsque les rayons doubles d'une involution sont rectangulaires, ils sont les bissectrices de l'angle formé par deux rayons homologues quelconque^. Les droites isotropes issues du sommet des faisceaux sont homologues dans cette involution, puisqu'elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux rayons doubles rectangulaires.

On voit ainsi que :

Lorsque les droites isotropes sont homologues dans une involution de droites, deux rayons homologues quelconques sont également inclinés sur deux droites rectangulaires jixes.

38. On obtient une involution de droites de la manière suivante :

Soient :

a un point d'une courbe du second degré C: w un point quelconque du plan;

INVOLUriON. 25

enfin /« et m' les points où C rencontre une sécante quelconque issue de w.

A toute droite am ne correspond évidemment qu'une droite am' (en supposant que C ne se compose p.is de deux droites), et ces droites sont réciproques; par suite, elles forment une involution. Celle-ci admet deux rayons doubles, ay. et a^, qui coupent C en a et en (3, et les droites oja et w|5 sont évidemment tangentes en ces points à C; ce sont d'ailleurs les seules tangentes à C issues de &>, car une involution n'admet que deux rayons doubles. Ainsi :

Une courbe du second degré est aussi de la seconde classe (').

30. Toute involution de droites peut être obtenue comme la précédente; aulrement dit :

La corde interceptée sur une courbe du second degré, C, par deujr rayons homologues d'une involution de droites issues d'un point a de C. passe par un point fixe.

Soit, en effet, <ù le point d'intersection de deux positions nini' cl nn' de la corde considérée; les droites qui joignent a aux points où C rencofïtre une sécante quelconque issue de w forment, d'après ce qui précède, une involution, qui coïncide avec l'involulion considérée, puisqu'elle a en commun avec elle les deux couples dé rayons homologues am. am' et an, an'. Le point GO se trouve évidemment sur le rayon homologue de la tangente en a à C.

En particulier, si l'involulion considérée est formée do droites rectangulaires, la corde interceptée passe par un point fixe de la normale en a, théorème dû à Frégier ("-).

Supposons que, dans ce dernier cas, la conique C ait ses asymptotes rectangulaires : la droite de l'iniini étant alors uno des positions de la corde interceptée par les côlés d'un angle

(') D'après une dénomination due à Geigonne, la classe d'une courbe représente le nombre des tangentes menées d'un jjoint à cette courbe. Celle dune surface est de même le nombre des plnns tangents menés à cette surface par une droite.

(^) Annales de Mathématiques, 1816.

20 CHAP. II. — DIVISIO>fS ET FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES.

droit de sommet a, le point de Frégier est le point à l'infini de la normale eii a; autrement dit, la corde interceptée reste constamment parallèle à cette normale. On en déduit que :

Les cercles, admettant pour diamètres les cordes d'une hyperbole équilatère parallèles à une même direction^ passent par les points de l'hyperbole où les normales ont cette direction ( ' ).

4.0. Du premier théorème du paragraphe précédent on déduit que deux involutions de même sommet ont en commun un couple de rayons homologues, qu'on obtient en joignant le sommet a des faisceaux aux points où la conique C considérée coupe la droite coco', co et w' désignant les deux points fixes qui correspondent aux deux involutions.

En particulier, il existe toujours dans une involution un couple de rayons homologues rectangulaires, qui sont les bissectrices de l'angle formé par les rayons doubles.

Génération des courbes et des surfaces du second degré.

41. Nous avons étudié précédemment (n°31) le lieu des points communs aux rayons homologues de deux faisceaux homographiques situés dans un même plan, et dont deux rayons homologues coïncident. Si celte dernière condition n'est plus remplie, le lieu en question devient une courbe du second degré.

Soient, en effet, /jt. et [tJ les points où deux rayons homologues des deux faisceaux coupent une droite quelconque, A, de leur plan : ils déterminent deux divisions homographiques de même base. Le point m, commun aux deux rayons homologues, ne peut donc setrouver sur A que si fx et \x' coïncident tous deux avec un des points doubles de ces deux divisions. La courbe {m) coupe donc A en deux points ; ainsi :

Le lieu des, points communs aux rayons homologues de

(') Cette remarque permettait de résoucire aisément le problème proposé en 1892 au concours d'admissiou à l'PJcole Polytechnique.

GÉNÉRATION DES COURBES ET DES SURFACES Dt' SECOND DEGRÉ. 27

deux faisceaux homo graphiques d'un même plan est une courbe du second degré ( ' ).

Celle courbe passe évidemment par les sommels a el a' de ces faisceaux, car au rayon aa' du faisceau de sommel a correspond un rayon a' t' issu de a', et ces deux rayons homologues se coupent en a'. Comme la droite a t' est d'ailleurs la position vers laquelle tend le rayon a' m, quand le rayon ani tend vers aa', celte droite est tangente en a' à la courbe {ni).

Kéciproquetnenl, a et a' étant deux points quelconques d'une courbe du second degré, el m un point variable sur cette courbe, les rayons am et a' m engendrent deux faisceaux homographiques ; en effet, l'un de ces rayons étant donné, l'autre se trouve bien déterminé. Si donc on connall, outre a et a', trois points quelconques de la courbe du second degré, celle-ci se trouvera déterminée, puisque l'on connaîtra trois couples de rayons homologues dans 'es deux faisceaux. On voit ainsi que :

Cinq points déterminent en général une courbe du second degré.

42. Ainsi m,, mj, m^ et m.^ désignant quatre points d'une courbe du second degré, et a et a' deux autres points quelconques de cette courbe, les rayons a'/n,, a'm^, a'm^ et a'm., correspondent homographiquement aux rayons am^, am-i, am^ et am^; on a donc

a' {nii m^nism:,) =r a(/>t,m2/W3 wit).

Autrement dit :

Le rapport anharnionique des quatre droites, qui Joignent à quatre points fixes d' une courbe du second degré un point variable de cette courbe, est constant.

On peut donc l'appeler le rapport anharmonique des quatre points fixes sur la courbe du second degré.

Supposons que m-^ et w^ soient les points cycliques; de

(') Ghasles, Aperçu historique, Note XV.