On désigne sous le nom de cubique gauche (') une

{ ' ) Les ciihii|ues gauches sont étudiées par Chasles dans la Note XXXIII de V Aperçu historique, et dans les Comptes rendus en 1837.

GÉNÉHATION DTS COURBES I-T 1>ES SURFACES Dl SEfXJ.M) DKliRfi. af)

courbe algél)rirjue qui coupe en liois poinls (jm phin quelconque.

De celle définilion résulte immédiatement (juc >i deux surfaces du second degré ont.une gén«''ra(iice coiuuiunc, le resie de leur iulei'seclion est une cubique gauche, puis(|ue (n" 12) il existe dans un plan quelconque quatre points communs aux deu\ qnadriques, dont l'un appartient à la généra ni ce comnnine.

Tout plan P, passant par celle génératrice commune IJ, coupe chacune des deux quadriques suivant une autre droite; le point commun aux deux droites ainsi obtenues est le seul point du i)lau P, commun aux deux quadriques et extérieur à la droite D : celle-ci est donc nécessairement une corde de la cubique. Elle la rencontre aux deux points où les quadriques se touchent. (n° 3:î).

Soient a, b,c trois poinls fixes d'une cubique gauche, et m un point variable sur cette courbe. Les trois plans déterminés par le point m et les côtés du triangle abc engendrent trois faisceaux homographiques. car à tout plan de l'un des faisceaux n'en correspond évidemment qu'un dans chacun des deux autres. Si l'on cennaît trois positions du point m cestrois faisceaux homograpbiques se trouveront déterminés, puisque l'on aura trois plans homologues dans chacun d'eux; par suite :

Une cubique gauche est déterminée par six points.

Réciproquement :

Le point commun aux plans homologues de trois faisceaux homographiq ues de plans décrit une cubique gauche.

Soient, en effet, A, B, C les arêtes des trois faisceaux considérés; le lieu cherché appartient à la surface du secontl degré engendré (n° 43) par rintersection des plans homologues des faisceaux A et B, ainsi qu'à celle qui correspond aux faisceaux A et C. Ces deux surfaces ayant en commun l'arête A, le reste de leur intersection est une cubique gauche, ce qui démontre le théorème. Il y a exception si, les arêtes À. B et C étant dans un même plan, ce plan coïncide avec trois plans homologues : le point commun à trois plans homologues

3o CHAP. II. — DIVISIONS ET FAISCEAUX HOMOGRAPIIIQUES.

quelconques décrit alors (n°31)une droite; il peut encore décrire une conique, dans le cas particulier où, dans deux des faisceaux envisagés, deux plans homologues coïncident. On peut remarquer qu'ii existe une surface du second degré contenant une cubique gauche et deux quelconques de ses cfordes : elle se trouve engendrée par l'intersection des plans déterminés par ces cordes et par un point variable sur la cubique.

Une cubique gauche coupe généralement en six points une surface du second degré arbitraire.

Soit, en effet, A une corde quelconque d'une cubique gauche F; il existe plusieurs quadriques conlenant à la fois cette corde et la cubique : considérons-en deux. Elles admettent ( n» 12) huit points en commun avec une quadrique quelconque Q. Deux de ces points sont évidemment ceux où la droite A coupe la quadrique Q, et les six autres sont communs à cette quadrique et à F.

On en déduit que, si trois quadriques ont une génératrice commune K^ elles n'ont en général que quatre points communs en dehors de cette droite; car la cubique commune aux deux premières coupe la troisième en six points dont deux, sont sur la droite A.