CHAPITRE III

TRANSFOilMATTONS HOMOGRAPHIQUES ET CORRÉLATIVES.

Transformations homographiqucs : 45-48. Définition et propriétés générales. — 48. Iloningrapliie plane. — 49. Figures en perspective. — 50. Figures homologiques planes. — 51. Points doubles. — 5"2. Homographie dans l'espace. — 53. Honiolofçié. — 54-55. Cas particuliers de l'homographie. — 56. Points doubles. — 57. Coniques homographiques. — 58. Expression analytique.

Transformations corrélaiii'es : 59. Définition et propriétés générales. — 60. Détermination d'une corrélation. — 61. Groupe homographique et corrélatif. — 62. Points doubles Hc deux corrélations. — 63. Expression analytique. — 64. Classe des surfaces du second degré. — 65. Applications.

Transformations homographiques.

•Vo. Dans le Chapitre précédent, nous avons considéré des figures formées de points en ligne droite, ou de plans menés par une même droite, et se correspondant point par point, ou plan par plan. Nous allons étudier niaintenani une correspondance ponctuelle de deux, figures quelconques de l'espace, lelle^ue ces figures se correspondent k la fois point par point et plan par plan, de telle sorte qu'à tout point ou à tout plan de l'une ne corresponde qu'un point ou qu'un plan de l'autre ; on dit alors que ces figures correspondent homographiquement : c'est, par- exemple, le cas de deux figures semblables. •

D'après cette définition, à la droite commune à deux plans de l'une des figures correspond la droite commune aux deux [)lans homologues de l'autre; ainsi, à une droite correspond une droite.

A tout point m d'une droite D de la première figure, correspond un point m' de i^droite homologue D' de la seconde

Sa CIIAP. III. TRANSFOMIATIOKS HOMOGRAIMIIQUKS ET COURKLATIVES.

figure, et réciproquement : les points m et m' forment donc sur D et D' deux divisions homographiques. On en déduit immédiatement (n° 25) que :

Etant données deux figures homographiques. le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite de V une des figures est égal à celui des quatre points homologues de l'autre.

Pour une raison analogue, une transformation homographique n'altère pas le rapport anharmonique de quatre plans d'un faisceau.

4.6. Soit S une surface de degré m, dans la première figure : une droite D la coupe (n°8) en m points; ceux-ci ont pour homologues m points de la droite D', qui sont les points communs à cette droite et à la surface S' : cette dernière est

donc, comme S, de degré m. Par suite :

Une transformation homographique n^altère pas le degré d'une surface.

On verrait, de même, qu'elle n'en altère pas la classe, c'està-dire le nombre des plans tangents qu'on peut lui mener par une droite arbitraire.

kl. De la définition même de la transformation homographique résulte évidemment que deux transformées homographiqujes d'une même figure se coriespondent homographiquement; autrement dit, deuic transformations homographiques successives reviennent à une seule.

Quand un ensemble de transformations est tel que deux transformations quelconques de cet ensemble, appliquées successivement, peuvent être remplacées par une seule transformation appartenant à cet ensemble, on dit que ces transforniations forment un groupe. On voit donc que :

Les transformations homograijhiques forment un groupe.

kH. Ces propriétés fondanienlales élMblies, nous commencerons par étudier la correspondance liomograpiiique de deux

TKANSFORUATIONS HOUOGRAPUIQL'ES. 33

figures planes : elles se correspondront point par point et droite par droite.

Dans le plan P de la première figure, soient a, b, c, et d quatre points quelconques, réels ou imaginaires, tels que trois d'entre eux ne soient pas en ligne droite : il en sera de même de leurs homologues a', b' , c', d' dans le plan de la seconde figure. Aux si\ droites qui joignent deux à deux les quatre points a, b, c, d correspondent les droites qui joignent les poinls homologues. A toute droite ani, menée par a, correspond la droite a'm', telle (n° 45) que les rapports anharmoniques a{bcdm) et a'(b'c'd'm') soient égaux; on détermine de même !a droite b'm' homoTogue d'une droite quelconque bm, piassanl par b. On peut donc obtenir ainsi l'hojnologne m' de tout point m de la première figure; par suite, la donnée des quatre points a, b, c, d et de leurs homologues suffit pour déterminer- la correspondance homographique des deux figures planes considérées.

Voyons maintenant si ces quatre couples peuvent être choisis arbitrairement; en les prenant ainsi, nous pouvons déjà faire correspondre à tout point m de l'une des figures un seul point de l'autre, au moyen de la construction précédente : nous allons voir que si le point m décrit une droite, il en est alors de même du point m'; il en résultera que la correspondance ponctuelle {m, m') est bien homographique.

En effet, si le point rh décrit une droite, les rayons am et bm décrivent deux faisceaux homographiques, dont deux rayons homologues coïncident;, il en est, par suite, de même des rayons a'm' et b'm' : il en résulte (n° 31) que le point m' décrit aussi une droite. On en conclut que :

On peut transformer homographique ment une figure plane^ de sorte que quatre poinls quelconques, dont trois ne sont pas en ligne droite, aient pour homologues quatre poinls quelconques, assujettis à la même condition, et cela d'une seule manière.

A deux droites parallèles, menées par a et b, correspondent en général deux droites concourantes issues de a et b' : leur point commun est l'homologue du point à l'infini dans la direction de ces parallèles. Les points à l'infini d'ui. plan étant, D. . 3

34 CHAP. m. — TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES ET CORRÉLATIVES.

d'après leur définilion même (n°. 13), sur une même droite, on voit que :

Les homologues de tous les points à V infini sont en ligne droite.

49. Deux figures en perspective offrent un exemple très simple de correspondance homographique. A tout point m d'un plan P on fait correspondre le point m' d'un plan P', tel que la droite mm' passe par un point fixe w de l'espace. La droite à l'infini du plan P a évidemment pour homologue l'intersection du plan P' avec le plan mené par oi parallèlement au plan P.

Dans une telle transformation, tout point commun aux plans P et P' coïncide évidemment avec son homologue. Réciproquement, deux figures qui se correspondent homographiquement dans deux plans P et P', de sorte que tout point de l'intersection D de ces plans coïncide avec son homologue, sont perspectives l'une de l'autre.

Soient, en effet, a et b deux points du plan P, a' et b' leurs homologues : ces droites ab et a'b' étant homologues, doivent couper D au même point; par suite, les droites aa' et bb' sont dans un même plan et se coupent en un point o). Soient a et [3 deux points quelconques de la droite D : d'après le n° 4-8, toute transformation homographique telle que les points a, (3, cr et 6 du plan P aient pour homologues les points a, ;3, a' et b' du plan P', coïncide avec la transformation considérée : or. il en est ainsi de la transformation homographique {m, m') telle que la droite m/n' passe par w. Les deux figures considérées sont donc en perspective du point de vue w.

50. En rahattant le plan P' sur le plan P autour de l'intersection D, on obtient dans le même plan P deu\ figures homographiques telles que tous les points d'une certaine droite D coïntident avec leurs homologues. Ce cas particulier de l'homographie s'appelle l'homologie {^); la droite D est

(') Cette dënoinination est due à Poncelet {Traité des projiriétés projecdve.^), qui a donné le premier la théorie des figures homologiques. Celles-ci avaient pourtant été employées déjà par La Hire iPlaniconiques , 1673) et par Le Poivre (de Mons) (1704)-

TKANSFORMATIONS HOMOGHAI-HIQUES.

appelée Vajce cChomolngie : on voit que deux dmiics homologues se coupent sur l'axe d' homologie.

Soient a et a' deux points homologues de deux figures homologiques, et a le |)oirit où aa' coupe l'axe d'homologie D.

L'homologue de la droite acx. est la droite a' a (puisque a coïncide avec son homologue), c'est-à-dire la menu* droite. Ainsi, la droite qui joint deux points homolognes coïncide avec son homologue. 11 en résulte que le point ',), commun fi deux de ces droites, aa' et bb' , coïncide également avec son homologue. Soit maintenant m un point quelconque de la première figure et [x le point où w/» coupe J) : la droite o)/«fi, dont deux points, w et /jl, coïncident avec leurs homelogues, se confond aussi avec son homologue, et contient donc le point m'. Ainsi les dmiics c/ui joignent deux points homologues passent par U point (ti', co |)oinl est appelé le centre d' homologie.

On démontrerait d'une manière ahsolument analogue que deux figures homographiques d'un même plan, telles que les droites joignant deux points homologues passent par un point fixe, jouissent aussi de celte propriété que les droites, homologues se coupent sur une droite fixe.

Dans certains cas, le centre d'homologic peut se trouver sur l'axe (Fhomologie.

Quand l'axe d'homologie est la droite de l'infini, toutes les droites homologues sont parallèles : ce cas particulier de l'homologie est Vhomothclie.