CHAP. IK. — TRANSFOUMATIONS HOMOGRAPH[QUES ET CORRÉLATIVES

ol. D'après le llicorème fondamental du n° 48, lorsque deux figures homographiques sonl dans un môme plan, il ne peut exister quatre points non en ligne droite coïncidant avec leurs homologues, à moins que les deux figures ne coïncident. Dans le cas parUculier où trois [)oinls en ligne droite coïncident avec leurs homologues, il en est de même de tous les points de la droite f|ui passe par ces points : cela résulte immédiatement de ce que deux divisions homographiques dont trois points coïncident avec leurs homologues sont confondues; on se trouve alors dans le cas des figures homologiques, et, en dehors de l'axe d'homologie, le centre d'homologie jouit aussi de la propriété de coïncider avec son homologue.

Dans le cas général de deux figures homographiques situées dans un même plan, il existe seulement trois points qui coïncident avec leurs homologues. Soient, en effet, a et a' , b et b' deux couples de points homologues. Les droites homologues issues de a et a' se coupent (n" il) sur une certaine conique A, qui passe par le point de rencontre w des droites homologues ab et a'b' ; de même les droites homologues issues de b el b' se coupent sur une autre conique B, qui passe aussi par le point o). Ces coniques A et B se coupant en trois points, outre le point o, il est bien évident que ces poinis coïncident avec leurs homologues. On les appelle les trois points doubles des figures homographiques considérées; les droites (pii les joignent deux à deuîc forment de même trois droites doubles.

L'homographie se trouvera déterminée par la donnée des trois points doubles a, (3, y et d'un couple de poinis homologues m et m' . Étant donné un point n, on déterminera son homologue n' en remarquant que le rapport anhatnionique a{^y/i/i') est égal au rapport a{^ynini'), par exemple.

Si les points ^ el y sont les points cycliques, on voit (n"3i) que les angles mxn' et my.m' sont égaux. Ainsi toute droite passant par y. a pour homologue une autre droite issue de a et faisant avec elle un angle fixe. Par une rotation d'un certain angle autour de a, on peut donc faire coïncider les droites homologues issues de ce point; les deux figures sont alors amenées à être homologiques, ot l'axe d'homologie est, comme on le voit aisément, la droite de l'infini, de sorte que

TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES. 87

les figures sont devenues liomoihéliques; a\l^s\, si les points cycliques sont deux des points doubles d'une homographie, celle-ci est une similitude. Le troisième point double est le centre de similitude.

52. Passons mainlenani à l'élude des figures homographiques dans Tespace. Étant données deux de ces figures, soient a, b, c, d, e cinq points de la première, tels que quatre d'entre eux ne soient pas dans un même plan; il en sera de •môme de leurs homologues a', b\ c', d', e' dans la seconde figure. Aux dix plans déterminés par les cinq j)remiers points pris trois à trois, correspondent les plans déterminés par les points homologues. A tout plan abm, mené par ab, correspond le plan a'b'm', mené par a'^'> et tel ([ue les rapports anharmoniques ab{cdem) et a'b'{c'd'e'm') soient égaux. On détermine de même les plans b'c'm' et c'a'm'; homologues de plans quelconques bcm et cam, menés par les droites bc et ca. On peut donc, finalement obtenir l'homologue m' de tout point m de la première figure. On voit, par suite, que la donnée des cinq points a,b,Cyd,e et de leurs liomologues suffit à déterminer la correspondance homographique des deux figures considérées.

Nous allons montrer maintenant que ces cinq couples de points homologues peuvent être choisi? arbitrairement. En les prenant arbitraires, nous pouvons déjà, au moyen de la construction précédente, faire correspondre à tout point m de l'une des figures un point /n' de l'autre; nous allons voir que, si le point m décrit une droite, il en est de môme du point /n'; il en résultera évidemment qu'à des droites concourantes correspondront des droites concourantes, et que, par suite, à un plan correspondra un pian.

Or, si le point m décrit une droite, les plans abm., bcm et cam décrivent trois faisceaux homographiques, dont trois plans homologues coïncident; il en est, par suite, de même des plans a'b'm', b'c'm' et c'a'm', et il en résulte (n° 31) que le point m' décrit aussi une droite. Nous voyons donc que si le point m' décrit un plan (qui peut être le pian de Pinfini), il en est de même du point m' : la correspondance {m, m') est donc bien homographique ; on en conclut que :

38 CHAP. III. TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES ET CORRËLATIVBS.

On peut transformer homographiquement une figure quelconque de L'espace, de sorte que cinq points quelconques, réels ou imaginaires, dont quatre ne sont pas dans an même plan, aient pour homologues cinq points arbitraires, assujettis à ta même condition, et cela d* une seule manière.

Au plan de l'infini d'une des figures correspond, en général, un plan à dislance finie dans l'autre. # -

53. Si deux figures homographiques sont telles que tous les points d'un certain plan P coïncident avec leurs homologues, on dit que ces figures sanî homologiques. Soient a ei b deux points de la première figu' ?, a' et b' leurs homologues, et soit A l'intersection du plan P avec le plan aba'. La droite A coïncidant, par hypothèse, avec son homologue, l'homologue du plan aA est le plan a'A, c!est-à-dire le plan lui-même : ce dernier passe donc par l'homologue b' du point b. On voit donc que les quatre points a, a', b et b' sont dans un même plan. Soit o,^ le point commun aux droites aa' et bb' : on verra, comme au n° 50, que ce point se confond avec son homo- , logue, et que,1oute droite, qui joint deux points homologues, passe par ce point, qui est appelé centré d'homologie.

Réciproquement, si les droites qui joignent deux points homologues de deux figures homographiques passent par un point fixe, ces figures sont homologiques ; on le démontrerait d'une manière analogue.

Le centre d'homologie peut, dans certains cas, se trouver dans le plan d'homologie.

Les figures homothétiques sont des figures homologiques admettant pour plan d'iiomoiogie le plan de l'infini.

54. Considérons maintenant deux figures homographiques telles que trois points d'une certaine droite A coïncident avec leurs homologues : il en est alors évidemment de même de tous les points de cette droite. A tout plan P passant par A, correspond un plan P' issu également de cette droite. Les plans P et P' se correspondent dans un faisceau homographique qui n'admet généralement que deux plans douhles, TT, et ITj. Les points homologues situés dans chacun de ces plans forment, d'après ce qui précède (n°50), des ligures

TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES. Sg

homologiaueSj-donl les cerilres d'homologie wi et wj sont deux points qui se correspondenl à eux-mêmes dans la transformation homographique considérée. La droite Wio^ se correspond évidemment à elle-même, ainsi que tous les plans qui passent par cette droite; il en est de même des plans Hi etn, (').

55. 11 peut encore arriver que tous lés plans P, issus de A, coïncident avec leurs homologues P'; dans ce cas, il existe un centre d'homologie w dans chacun de ces plans; tous ces centres sont en ligne droite, car la droite 6)1(02 qui joint deux d'entre eux se correspondant à elle-même, ainsi que tout plan issu de A, le point où &>-i'iJï coupe un tel plan coïncide avec son homologue, et est donc le centre d'homologie situé dans ce pian. Dans ce cas, il existe donc deux droites A et A, dont tous les points coïncident avec leurs homologues; il en est de même de tous les plans qui passent pur ces droites. Deux figures symétriques par rapport à une droite offrent un exemple de ce cas particulier d'homographie : ces droites A et Al sont alors l'axe de symétrie et la droite à l'infini des plans normaux à cet axe.

56. D'après le théorème fondamental du ri" 5'2, deux figures hombgraphiques dont cinq points coïncident avec: leurs homologues Sont en général confondues; il y a ejtceplion si quatre de ces points sont dans un même plan : tous les points de ce plan coïncident alors (n<* kS) avec leurs homologues, et les deux figures sont homologiques, à moins que trois des points considérés ne soient en ligne droite.

Dans le cas général, deux figures homographiques admettent quatre points doubles. Soient, en effet, A, H et ("> Irois droites situées dans un même plan P de la première figure; A', B' et C leurs homologues dans la seconde. L'intersection des plans homologues issus de A et A'décrit (n^/i-S) une surface du second degré piassant par l'intersection A des plans

(') Deux figures égales qu'on peut amener en coïncidence par une rotalion autour d'un axe donnent un exemple de ce cas : la droite A est l'axe do rotation, et les points o), et o)j sont les points cycliques des plans normaux à cet axe.

l\0 CHAP. Ml. — TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES ET CORBÉLATIVKS.

homologues P cl P'; il en est do même des surfaces du second degré qui correspondent aux faisceaux lî el B' el aux faisceaux (1 el (]. Tout point commun à ces trois surfaces, el n'appartenant pas à la droile A, coïncide évidemment avec son homologue; or, il existe quatre de ces points, car (n° kh) trois qiii'.driques qui ont une génératrice commune ont en général en commun quatre points en dehors de cette droite.

Les faces du tétraèdre des points doubles sont quatre plans doubles: ses arèles sont aix droites doubles. D'après la manière même dont sont déterminés ces points doubles, deux d'entre eux peuvent être infiniment voisins : cela a lieu lorsque la cubiqiu' commune à deux des qnadriques considérées est langente à la troisième; la droile qui joint les deux points inllnimenl voisins est alors tangente à la cubique.

Les droites A, B el (- n'étant pas supposées concourantes, les seuls points du' plan P communs aux trois qnadriques considérées sont ceux de la droite A. Si donc ces trois quadriques onl en commun une infinité de points, en outre dé ceux de A, le lieu de ces points ne devra couper le plan P qu'en des points de A. Les trois quadriques peuvent ainsi admettre une génératrice commune, de système différent de A; la conique commune alors à deux d'entre elles coupe la troisième en deux points qui sont les points doubles wi et Oj du cas du n° 54. Les trois qnadriques peuvent encore admettre en commun deux génératrices coupant A : c'est le cas du n" 55. Kniin, les trois qtiadriques peuvent se décomposer chacune en deux plans tels que l'un de ces plans appartienne à la fois à ces trois surfaces : c'est le cas des figures homologiques; le centre d'homologie est fourni par l'intersection des trois autres plans obtenus dans la décomposition précédente.

57. De ce qu'une transformation homographique n'altère pas le rapport anharmoniqne (n" 45) de quatre droites concourantes situées dans un même plan, il résulte immédiatemenl qu'elle n'altère pas non plus le rapport anharmonique de quatre points situés sur ime conique (n" 42); car une conique passant par quatre points a, b, c, d peut être définie comme le lieu des points m du plan abcd tels que le rap|)ort anharmonique ni{abcd) ait une valeur donnée; sa trans-

TKANSFORMATIONS CORKÉLATIVES. 4'

formée sei'a le lien des i)oinls m' du plan a h'c'd' tels que le rapport ;mharmoni(|ue m' {a' h' c' d ) ait la mèuïe valeur.

On en conclut que si quatre points d'une conique C ont pour homologues dans une iransforniation honiograplii(jue quatre points d'une conique C, tels que les rapports anliarinoniquesde ces deux groupes de quatre points soient égaux sur les lieux coniques, C est l'homologtie de C. Ou peut donc toujours faire se correspondre homographiqtiemenl deux coniques arbitraires, et transformer, par exemple, une coui(|ue quelconque en l'ombilicale (ij" 3i), ou en un cercle quelconque.

58. Soient A, lî, C, D quatre fonctions linéaires et homogènes de quatre paramètres a, (3, y et ô. Si à tout point de coordonnées barycentriques (a, p, y, è) par rapport à un certain tétraèdre de référence, on fait correspondre le point dont les coordonnées barycentriques sont A, B, C et 13, on aura bien défini une transformation homographique ; car si le Jioint (a, |3, y, 6) décrit un plan, il en est évidemment de même du point (A, B, C, D). On peut d'ailleurs obtenir ainsi la transformation homographique la plus générale, car on peut, à un facteur constant près, déterminer les seize coefficients qui figurent dans les fonctions A, B, CetD par la condition que cinq points donnés aient pour homologues cinq autres points donnés, ce qui fournil quinze équations.

On aurait obtenu des résultats analogues dans le cas de figures planes.

Transformations corrélatives.

59. Nous avons déjà fait remarquer (n°31) l'étroite analogie qui existe entre les propriétés des divisions et des faisceaux homographiques : elles peuvent, en effet, se ramener les unes aux autres, au moyen d'une transformation des plus importantes, la transformation dualistique ou corrélative.

A tout point de l'une des figures, elle fait correspondre un plan de l'autre, et réciproquement. Ainsi, à des points m situés dans un même plan P coi*respondronl des plans P' passant par un même point m', qui correspondra lui-même ainsi au plan P.

42 CHAP. III. — THAiNSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES ET CORRÉLATIVES.

A des points en ligne droite, c'est-à-dire communs à deux plans, correspondront des plans passant par deux points, et, par suite, par une droite. Ainsi, à une droite correspond une droite.

Une surface S, au lieu d'un point m, a pour transformée la surface S' enveloppée par le plan M' qui correspond au point ni ; le point m' où ce plan M' louche S' est, par définilion, commun à trois positions infiniment voisines de ce plan, qui correspondent à trois positions infiniment voisines de m sur S; c'est donc le point qui correspond au plan déterminé par ces trois positions de m, c'est-à-dire au plan langent en m à S. Les surfaces S et S' sont dites corrélatives^ et l'on voit que chacune d'elles peut être déduite de l'autre de deux, manières, et être définie soit comme l'enveloppe d'un plan, soit comme le lien d'un point.

Les points communs à la surface S et à une droite D ont pour transformés les plans tangents à la surface S' menés par la droite D' homologue de D : ces plans tangents seront en même nombre j^ue les points auxquels ils correspondent ; par suite :

La classe d'une surface est égalp au degré d' une surface corrélative.

A' une courbe plane correspond une surface enveloppée par des plans issus d'un point fixe, c'est-à-dire un cône; d'une manière générale, à une courbe correspond une surface enveloppée par un plan ne renfermant qu'un paramètre arbitraire, «'est-à-dire une surface développable. Les génératrices de cette surface, intersections de deux plans tangents infiniment voisins, correspondent aux droites joignant deux points infiniment voisins de la courbe, c'est-à-dire aux tangentes à celles-ci.

Les sections planes de deux surfaces algébriques corrélatives sont des courbes de la même classe.

Soient, en effet S et S' deux surfaces corrélatives ; aux tangentes menées a S par un point a dans le plan A correspondent les tangentes à S' menées dans' le plan A', corrélatif du point a, et par le if^imi a', corrélatif du plan A : le nombre

de ces tangentes représenie donc à la fois la classe des sections planes de S ou de S'. Ce théorème peut encore s'énoncer :

Les cônes circonscrits à deux surfaces corrélatives sont de même degré.

A tout point m d'une droite D ne correspond qu'un plan M mené par D', et réciproquement ; si donc [x désigne le point où le plan M' coupe une droite quelconque A, i€s points m et fjL déterminent sur D et A deux divisions homographiques; le rapport anharmonique de quatre points m est donc égal à celui des ([ualre points /jl, et, par suite, des quatre plans M' qui leur correspondent. Ainsi:

Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui des quatre plans corrélatifs.

60. De cçtte dernière propriété, nous allons, par un raisonnement semblable à celui du n° 52, déduire de» résultats analogues.

Étant données deux figures corrélati\^es, soient, en effet, dans l'une, A', B', (]', D' et E' les plans corrélatifs de cinq points a, b, c, d el e de l'autre. On peut obtenir le plan M', corrélatif d'un point quelconque m, en remarquant que le rapport anharmonique des quatre plans déterminés, par exemple, par la droite ab et les points c, rf, e et m est égal à celui des quatre points où les plans C, 1)', E' et M' coupent la droite A'B'. On déterminera ainsi le plan M', par exemple, au moyen des trois points où il coupe les droites A' B', B'C et C'A'.

D'ailleurs, si les cinq points et les cinq plans considérés sont quelconques, le plan M', que la construction précédente permet d'associer à tout point m, lui correspond bien dualistiquement : c'est ce que nous allons démontrer.

En effet, si le point m décrit une droite quelconque-^' les plans abm, bcm et cam décrivent trois faisceaux homolographiques, dont trois plans homologues coïncident avec le i)lan abc. 1! en résulte que le plan M' défini par la construction précédente coupe les droites A'B', B'C et C'A' en trois points

44 CIlAP. m. — TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES ET CORRÉLATIVES.

homologues de trois divisions liomographiques, dans lesquelles trois points homologues coïncident avec le point commun à ces trois droites. Par suite (n°31), le plan M' passe par une droite fixe.

Ainsi donc, à tous les points d'une droite A correspondent par notre construction des plans passant par une droite fixe A'; à des droites A passant par un même point m correspondent d'ailleurs évidemment des droites A' situées dans un même plan M'. Il en résulte qu'aux points d'un même plan correspondent des plans passant par un même point ; par suile, la correspondance {m. M') est bien dualislique, et nous voyons que :

On peut transformer dualistiquement une figure de sorte que cinq quelconques de ses points^ dont quatre n'appartiennent pas à un même plan, aient pour corrélatifs cinq plans quelconques, dont quatre ne soient pas concourants, et cela d'une seule manière.

Dans le cas de figures planes, on obtiendrait des résultats analogues en faisant se correspondre quatre points et quatre droites arbitraires.

61. D'après la définition même des figiireshomographiques et corrélatives, on voit que deux transformations corrélatives successives équivalent à une transformation homographique, et que deux transformations successives, l'une coriélative et l'autre homographique, équivalent à une transformation corrélative. Par* suite, plusieurs transformations successives, homographiques ou corrélatives, peuvent être remplacées par une seule transformation, qui est elle-même homographique ou corrélative, selon que les transformations successives comprennent un nombre pair ou impair de corrélations. Ainsi donc :

L'ensemble des homographies et des corrélations constitue un groupe de transformations.

62. De là résulte que deux figures corrélatives à une troisième sont homographiques ; dans ces deux figures homogra-

phiques, il existe généralement qualre plans doubles (n°56); on en déduit que :

Si l'on considère deux transformations corrélatives d'une même figure, il existe généralement quatre points de celle-ci tels que les plans qui correspondent à chacun d'eux dans les deux transformations coïncident.

Dans certains Cas parliculiers, il y aura une infîniléde points dont les plans homologues coïncideront : cela aura lieu lorsque les deux transformées par dualité seront homologiques, ou lorsqu'elles appartiendront aux homographies particulières étudiées dans les n*" 54 et 55.

03. En désignant, comme au n" 58, par A, B, C et D quatre fo.nclions linéaires et homogènes de quatre paramètres a, p, y et ô, on aura évidemhnent une transformation corrélative en faisant coiTespondre à tout point de coordonnées harycentriques(a, [3, y, ô) le plan représenté par l'équation

kx-\-]iy-\-Cz-^\yt=zo',

aux points d'un plan correspondront, en effet, ainsi des plans concouran.t en un même point.

Comme au n° 58, on voit d'ailleurs que la transformation corrélative la plus générale peut être obtenue par ce procédé qui permet de faire correspondre à cinq points arbitraires cinq plans donnés.

64. Nous terminerons ce Chapitre par quelques applications de la transformation corrélative.

Nous avons obtenu précédemment (n° 38) le théorème suivant :

Une courbe du second degré est aussi de la seconde classe.

Par une transformation dualistique plane, on en tiéduit le théorème suivant :

Une courbe de seconde classe est aussi du second degré.

Ces deux énoncés réciproques nous montrent que les

46 CHAP. IM. — TRANSFOUMATIONS HOMOGRAl'HIQUES KT CORIIÉLATIVES.

courbes du second degré et celles de la seconde classe ne forment qu'une famille ; on les désigne sous le nom de coniques : nous voyons ainsi qu'à toute propriété projeclive des coniq'ies correspondra sa corrélative.

Il y a cependant une exception : le théorème dont nous sommes partis ne s'applique pas (n"32) aux courbes du second degré formées de deux droites ; de même, l'ensemble de deux points forme bien une enveloppe de la seconde classe, et non du second degré.

D'après une remarque du n" 59, une surface du second degré, c'est-à-dire dont les sections planes sont du second degré, et, par suite de la seconde classe, a pour corrélative une surface dont les sections planes sont aussi de la seconde classe, et, par suite, du second degré; comme toute surface de la seconde classe peut être considérée comme corrélative d'une surface du second degré, on voit ainsi que :

Une surface de la .seconde- classe est aussi du second degré.

Corrélativement :

Une surface du second degré est aussi de la seconde classe.

On désigne sous le nom de quadriques les surfaces du second degré ou de la seconde classe.

Les théorèmes précédents ont cependant des cas d'exception : aux cônes du second degré, on ne peut généralement mener aucun plan tangent par une droite quelconque. De même, une conique constitue bien une enveloppe de la seconde classe, bien que, en général, une droite quelconque ne la coupe pas en deux points.

65. Aux théorèmes que nous avons démontrés au n°41 et au n" 42 correspondront, i)ar exemple, les corrélatifs suivants :

1° La droite qui joint les points lioniologu.es de deujv divisions homographiques d'un même plan enveloppe une conique;

2° Cincj tangentes déterminent en <icnéral une conique ;

3" Le rapport anharmonique des quatre points où quatre

tangentes Jî.r es d'une conique coupent une tangente variable de cette courbe est constant (•).

Supposons qu'une de ces quatre tangentes soit la droite de l'infini : on dit alors que la conique est uiio parabole; le rapport anharnionique considéré se réduit alors au rapport de doux segments, et l'on voit ainsi que :

Trois tangentes fixes à une parabole interceptent sur une tangente variable des segments dont le rapport reste constant.

Transformons enfin par corrélation la généralisation du théorème de Frégier (n" 39) : aux deux faisceaux en involution issus d'un point a d'une conique C correspondent, sur une tangente A' à la transformée C de C, deux divisions en involution ; à la corde interceptée sur C par deux rayons homologues correspond le point commun à deux tangentes menées à C'par deux points homologues. Ce point décrit une droite qui passe par les points de contact des tangentes issues des points doubles de l'involut-ion.

En particulier, si ces points doubles sont les points cycliques, C est une parabole et les tangentes issues de deux points homologues de l'involulion deviennent (n° 37) deux tangentes rectangulaires. Leur point commun décrit la droite qui joint les points de contact des tangentes menées à la parabole par les points cycliques : cette droite est appelée la directrice de la parabole. On voit donc que :

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une parabole est sa directrice (^).

(') ChasleS, ,^^e/çtf historique. Note XVI.

{') Ce théorème est dû à La Hire {Sediohes conicœ, Livre VIII].