CHAPITRE ly
PRrNCrPA.LES PKOPRIÉTÉS DES COiNIQLES.
Théorème de Desargues-Sturm et ses conséquences : 66. Th<5orème de Desargues- Sturm. — 67. Coniques circonscrites à un quaxlrangle et tangentes à une droite. — 68. Propriétés corrélatives. — 69. Foyers. — 70. Propriétés dos foyers. — 71-7"2. Tliéorèmes do Pascal et de Brianchon. — 73. Construction des coniques données par des points et des tangentes.
Pôles et polaires : 74-77. Définitions et propriétés des pôles et des polaires. — • 78-79. Centres et diamètres. Axes. — 80. Triangle conjugué à deux coniques. — 8t-82. Polaires d'un point par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel et propriétés corrélatives. — 83. Tangentes communes à doux coniques. — 84-85. Transformation par polaires réciproques. Application.
Problèmes et t/iéorèmes divers : 86-87. Corel» orthoptique. Théorème de Stein^r. .— 88-89. Quadrilatères inscrits à une conique et circonscrits à une autre. — 90. Faisceaux d'hyperboles équilatères. — 91. Coniques circonscrites à un quadrangle inscriptible à un cercle. — 92. Lieu des centres des coniques d'un faisceau ponctuel. — 93-95. Hyperboles d'Apollonius. Normales. — 96. Théorème de Joachimsthal.
Coniques liarmonitjiiemeiiC circonscrites ou inscrites à une co/iitfue : 97. Définition. — 98-99. Propriétés de deux triangles conjugués, inscrits ou circonscrits à une conique. — 100. Coniques harmoniqueinent inscrites. — 101. Application. — 102-lOî. Faisceau de coniques hariiioiiiquement circonscrites. Applications.
Extension aux cônes du second degré : 105-107.
Théorème de Desargues-Sturm et ses conséquences.
66. Comme nous l'avons vu précédemmenl (n°37), il ne passe qu'une conique par cinq points dont quatre ne sont pas en ligne droite, celte conique se composant de deux droites lorsque trois des points considérés sont en ligne droite.
L)e là résulte que, étant donnés quatre points a, b, c, d.
THÉORÈNli; DE DF-SARlJL KS-S TL'ItM ET SES CONSÉQUENCES. .49
doni Irois ne soiii pas on ligne droile, il n'exisie qu'une conique circonscrite au quadraiigle abcd, et passant par unpoinl quelconque de m. Si donc //i el m' désignent les deux poinls où une droile quelcon(|ue A coupe mxc conique circonscrite au quadrangle aOcd, on voit (|u'a tout point m de A ne correspond ainsi qu'un point m'. Corrinie d'ailleurs ces poinls sont évidemment réciproques, ils déterminent donc luu' involution sur A, d'où le théorème suivant connu sous h* nom de théorème de Desargiies-Sturni :
Les coniques circonscrites à un quadrani^lc déterniinenl une involution sur une droite quelconque ( ' ).
Parmi ces coniques, il en existe évidemment trois qui sont formées chacune par deux des côtés opposés du quadrangle considéré. On en déduit que :
Les trois couples de points où une droile quelconque coupe les côtés opposés d' un quadrangle se correspondent dans une involution (*).
En particulier, si la transversale considérée est une des trois diagonales du quadrangle, les extrémités de cette diagonale sont les points doubles de l'involulion déterminée sur celle droite par les coniques circonscrites au quadrangle. Ainsi :
Les coniques circonscrites à un quadrangle en divisent harmoniquement les trois diagonales {^).
67. Parmi les coniques circonscrites au quadrangle abcd, celles qui passent par des points doubles de l'involution {m, m') coupent A en deux poinls infiniment voisins, el sont
( ' ) Ce théorème est une généralisation, due à Sturm {Ann. de Alaihem., l. XVII), dun théorème énoncé par Desargues (1593-1662) et relatif aux points où une transversale coupe une conique et les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit.
(') Pappus, Collections maihém., Proposition 130.
(') Ibid., Proposition 131.
5o CHAP. IV. PRINCIPAI.KS PKOPUIÉIÉS DES CONIQUES.
d'ailleurs les seules qui jouissent de celte propriété. Ainsi :
// existe deux coniques passant par quatre points et tangentes à une droite.
Si celte droite est la droite de l'infini, les coniques qui la louchent sont, par définition, des paraboles; par suite :
// existe deux paraboles circonscrites à un' quadrangle.
