Le théorème de Desargiies a pour corrélatif le suivant

Les tangentes menées d'un point aux coniques tangentes n quatre droites forment une involution (').

Parmi ces coniques qui sont maintenant considérées comme des courbes de la seconde ciasse, il en existe trois qui sont formées chacune de deux sommets opposés du quadrilatère déterminé par les quatre droites considérées; par suite :

Les trois coup/es de droites qui joignent un point quelconque aux sommets opposés d'un quadrilatère sont trois couples de rayons homologues d'une involîition.

Enfin, le théorème du n" 67 fournit dualistiquement le suivant :

Il existe deux coniques passant par un point et tangentes à quatre droites.

69. Nous allons immédiatement appliquer ces théorèmes corrélatifs de celui de Desargues à l'élude des propriétés focales des coniques.

D'une manière générale, on nomme foyer d'une courbe plane un point tel que les deux droites isotropes issues de ce point soient tangentes à la courhe (-). On aura donc les foyers d'une courhe en prenant les points communs aux lan-

( ') Ce théorème est dû à Sturm {Annalat de Math., t. XVII ).

(') Cette définition des foyers est duo a Plùcker {Journal de Crelle, i833, [>. i^4-9i)- Elle n'est qu'une généralisatioc d'une propriété trouvée par Poncelet (Traité des propr. proj., Art. 457) relative aux foyers des coniques et qui suffît à les définir

THÉORtME IJE UESARfîl'ES-S TURSI ET SES CON'SÉQl ES &1

gentes menées à celle courbe par les points cycliques. l*ar suite, une courbe de classe n aura généralement /«- foyers; en particulier, les coniques ont en général quatre foyers. Les paraboles étant tangentes à la droite de l'infini, on ne pourra leur mener qu'une autre tangente par chacun des points cycliques; elles n'ont donc qu'un foyer à dislance finie.

Si la courbe considérée a une équation cartésienne à coefficients réels, à loute tangente imaginaire à celle courbe correspond la tangente imaginaire conjuguée; par suite « foyers sont les intersections de droites imaginaires conjuguées, et sont donc réels.

70. D'après celte définition des foyers, lorsque deux sommets opposés d'un quadrilatère sont les points cycliques, les coniques inscrites à ce quadrilatère ont les mêmes foyers : on dit alors qu'elles sont honiofocales.

L'involulion formée par les tangentes menées d'un j)oint quelconque à des coniques honiofocales admet donc comme rayons homologues les droites isotropes issues de ce point, puisque ces droites joignent le point considéré à deux des sommets opposés du quadrilatère circonscrit à ces coniques. Les rayons doublés de cette involution sont donc (n" 37) rectangulaires et sont les bissectrices de l'angle formé par deux rayons homologues quelconques, en particulier par les rayons qui joignent le point considéré à deux foyers correspondants. On voit donc que :

Les tangentes menées^d' an point à une conique sont également inclinées sur les droites qui joignent ce point à deux foyers correspondants;

Par tout point, il passe deux coniques d'un système homofocal : elles se coupent orthogonalement^ les tangentes étant les bissectrices des droites qui joignent le point considéré à deux foyers correspondants,

71. Du théorème de Desargues, on déduit aisément un tliéorème célèbre dû à Pascal (') et qui s'énonce ainsi :

(') Ce théorème fut trouvé par Pascal (iGaS-ôî) à l'âge de seize ans.

CîiAP. IV — PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES- CONIQUES.

Lorsfjuun hexagone est inscrit à une conique, les points d'intersection de ses côtés opposés sont en ligne droite.

Soienl, en effet, i, 2,.3, 4, 5 et 6 six points d'une conique, il s'agit de montrer que la droite qui joint les points a et h,

Fig. 2.

communs aux rôles opposés 12, 4'^ et 28, 56, passe par le point f, où se coupent S/j et 61.

Désignons par a et j3 les points où la droite ab coupe la conique, et par p celui où elle rencontre la diagonale 25. Les côtés iG et 25 du quadrangle i256 coupent la droite ah en deux points homologues de l'iiivoluiion que déterminent les deux coujiles ab et a^ ; il en est de même des côtés 34 et 25 du quadrangle 2345 ; par suite, les (iroites 16 et 34 passent toutes deux par le point homologue du point p dans cette involulion : elles se coupent donc hien sur ab.

(.'e théorème permet évidemment de construire linéairement une conique délinie par cinq points.

Un ou plusieurs des côtés de l'hexagone inscrit peuvent être tangents à la conique : les deux sommets adjacents appartenant à chacun de ces côtés sont alors infiniment voisins. S'il en est ainsi, par exemple, pour deux côtés opposés de l'hexagone, on obtient ce théorème :

Les tangentes menées à une conique en deux sommets opposés d'un quadrilatère inscrit à cette conique se coupent sur la droite qui Joint les points de concours des cotés opposés de ce quadrilatère.

On obtient donc ainsi quatre points en ligne droite. Si trois des côtés de l'hexagone sont tangents à la conique, le théorème de Pascal se réduit au suivant :

THÉORÈME ItK OESARGIKS-STIRM ET SKS <;0.\>ÉQL'E.NOES. 53

Les tangentes menées à une conique aux sommets d'un triangle inscrit coupent les côtés opposés en trois points en ligne droite.