CHAP. IV

point p, OÙ pq coupe la droite ac, est de même un des points doubles de l'involution déterminée sur celle droite par les deux couples de points a et c, 2 el 2', ceux-ci étant les points aivac coupe P et Q.

l'ig. 3.

Réciproquement, y étant un point double de l'involution

^'/> ; 3, 3') dX. pq une droite quelconciue issue de ce point, Il existe une conique qui passe par a et h^ et qui touche P et O en p et en 7.

En joignant deux à deux les points doubles des involulions (rt, ^; 3,3') el {a,c\ 2, 2'), on obtiendra donc quatre cordes de contact des droites P el Q avec quatre coniques répondant à la question. On voit en même temps que les points doubles de l'involution {h, c; i, i') seront chacun sur deux de .ces cordes.

Dans le cas particulier où P et Q sont deux droites isotropes issues d'un point /, les coniques cherchées sont les toniques circonscrites au triangle abc et admettant / pour foyer ('). On voit qu'il existe quatre de ces coniques. Les directrices, qui correspondent à/, coupent Chacun des côtés du triangle abc au même point qu'une des bissectrices de l'angle d'où ce côté est vu du point/.

En transfoimanl corrélativement les constructions précédentes, on-obtiendra quatre coniques inscrites à un triangle

( ' ) La détermination de ces coniques constitue un problème utile en Astronomie, qui a été résolu, pour la première fois par Ilalley {Transr.ctions philosophiqufs. 167G, n° 128'. La llire en donna ensuite unu construction plus élégante et plus facile

POLES ET l'OI.AIRKS. ■'■>

et passant par deux |)oints. Eu particulier, il existe quatre cercles inscrits à un triangle.

Les raisonnements qui précèdent se seraient appliqués aussi pour déterminer les quatre coni(|ues circonscrites (ou inscrites) à un triangle et bitangenles à une conique donnée..

Pôles et polaires.

74. On dit que deux points sont conjugués à une conique, quand ils divisent liarmoniquenient la corde de la conique qui passe par ces points ; on dit encore que la coni(]ue est co/i/«i,'«ee à ces points. Par exemple, toutes les hyperboles équilalères sont conjuguées aux [)oints cycliques.

Corrélativement, deux droites sont dites conjuguées à une coni(jue, lorsqu'elles divisent harmoniquement l'angle des tangentes menées à la conique par leur point com-niin. Par exemple, deux droites i-ectangulaires, issues d'un fover d'une coniqtie, sont conjuguées à celte courbe.

D'après ces définitions, il résulte du théorème de Dcstugnes que les points doubles de l'involution déterminée sur une droite parles coniques circonscrites à un quadiangle sont à la fois cotijugués à toutes ces coniques; le ihéoi-ème de Desargues prend ainsi la forme suivante :

.St' deux points sont conjugués en niétne temps à deax des conx<[t(es circonscrites à un quadrangle^ ils le sont par rapport» à tontes ces coniques.

75. Le lieu' des conjugués d'un jioint par Vai)port à une conique est appelé la polaire de ce point. Nous allons voir que :

La polaire d' un point par rapport à une conique est une droite (' ).

Soient, en etfet, 12 et 34 les points où une conique C

( ' ) Ce théerèmo était connu d'Apollonius; mais la théorie des pôles est due au'gëomètre La Ilire (lô'io-i^iS) [Sectiones conicx, Livres I et II, i685). Les mots de pôle et de polaire sont dus à Scrvois et à Gcrgonne (Afin, fie Math., t. I et lit).

{Jig. 4) coupe deux sécantes quelconques issues d'un point a. Sur une droite quelconque am, issue d(i point c, toutes les coniques circonscrites au quadrangle laS/j déterniinent une învolution dont a est évidemment un point double; l'autre point double est donc le conjugué harmonique de a par rap-

Fig.4.

port aux points où la droite am coupe une quelconque des coniques considérées. Ofi voit ainsi que le point a admet la même polaire par rapport à toutes les coniques circonscrites au quadrangle 1234. "*

La polaire du point a par rapport à C coïncide donc, en particulier, avec celle de ce point par rapport à la conique formée par les deux droites i4 el 23. Or, à cause de la propriété du rapport harmonique d'être projeclif, la polaire d'un point par rapport à un angle est évidemment une droite issue du sonmiel de cet angle. La polaire cherchée est donc une droite |)assant par le point b, où se coupent i4 et 23; elle passe de même par le point c, où se coupent i3 et ^-4.

On voit que les droites qui joignent le point a aux deux points où bc rencontre C coupent celle courbe en deux points confondus; la polaire d'un point esl donc la corde de contact des tangentes issues de ce point. Il en résulte que. si a esl sur (', sn polaire devient la tangente à cette courbe en ce point.

La démonstration précédente s'applique tant que la conique considérée esl une conique véritable, c'est-à-dire ne se com-

POLES ET POLAIRE- j;

pose ni de doux points, ni de deiix droites. Dans ce dernier CttS, elle ne tombe d'ailleuis en défaut que si le point considéré est le point commun aux deux droites; la polaire de ce point dcvienl alors indétermifiée.

7C. La propriété des points conjugués d'un même point d'èlre en ligne droite a pour corrélative la suivante :

Les droites conjuguées d'une droite fixe par rapport à une conique sont concourantes.

Leur point commun est appelé \e pôle de la droite. On voit que, |)ar rapport à une conique véritable, toute droite a un pôle bien déterminé.

77. Considérons donc une telle conique C {/ig- 5), et soient /> et (j deux points d'une droite arbitraire A, conjugués à cette conique. La polaire de chacun de ces points passe évidemment par l'outre ; soient n le poifii commun à ces polaires, et x oi

i"is.

'6 les points où C coupe la polaire aq du point/». Le? points a et 9 divisant liarmoniquemeni le segment a,5, les droites />a ei pg sont conjuguées harmoniques par rappi^rt aux tangentes pa et /)^ .menées de /> à C : la droite pa est donc conjuguée de A par rapport à C : il en est de même de la droite ^a ; le point a est donc le pôle do In droite A d'après la delinilioa précédente. Les points /> et q étant conjugues de a pai' rapport à C, on voit d'ailleurs que A est la polaire du point a. Ainsi :

Me pôle de la polaire d'un point est ce point Lairnéme

^)X ClIAP r\' PRINCIPALES PROPHrÉTÉS DES CONIQUES.

On voit en jnième temp^ que :

Les polaires d' iul point d'une droite passent par le pôle de cette droite,

et que :

Les pôles des droites issues d'un point sont sur la polaire de ce point.

Le triangle aptj est dit conjugué' h M : s<'s sommets sont deux à deux conjugués à cotte conique, ainsi que ses côtés.

78. Le-pôie de la droite de l'infini est ai)pclé le centre de la conique : il se trouve ;iu point de rencontre des asymptotes. Les droites, issues du Centre sont nommées diamètres. D'après cesdétiniiions, les points a et a' où un diamètre coupe la conicjue sont conjugués harmoniquespar rapport au centre et ail point à l'infini do ce diamètre; auti'ement dit, ils sont syméliifiues par rapport au centre. CUïlui-ci, tel que nous venons de le d<^liuir, est donc bien lui centre de symétrie de la conicpie.

Dans le cas où celle-ci est une parabole, c'est-y-<lire est tangente à la di*oile de l'infini, le ceuire devient le point de contact de cette droite, et se trouve donc rejeté à l'intini.

D'après la définition du centre, deux diamètres conjugués harmoniquement par rapport aux asymptotes sont deux droites conjuguées à-la conique : on les appelle alors des diamètres conjugués. Le pôle d'un diamètre, ([«li se trouve à la fois sur le diamètre conjugué et sur la polaire du centre, est donc le point à l'infini du diamètre conjugué. [*ar suite :

Le lieu des milieux des coi des d' une conique parallèles à un même diamètre est son diamètre conj ugiié.

79. Dans l'involution formée par les diamètres conjugués d'une conique, il n'y a, en général ( n° 40), qu'un couple de rayons conjugués rectangulaires : on les nomme a.ves de la conique, et l'on voit bien, par suite de la propriété qui précède, que ce sont des axes de symétrie de la co(ube. Dans le cas où la conique est un cercle, ses asymptotes sont des

POLES ET POLAIRES. OCj

droites isotropes, et deux diamètres conjugués quelconques sont alors rectangulaires.

80. D'après la définition d'un triangle conjugué à une conique (n^TT), la dernière des propriétés énoncées au n"(J6 peut être exprimée ainsi :

Les coniques circonscrites à un qitadrangle sont conjuguées i son triangle diagonal.

Je dis que, réiiprociuemenf, lorsqu'un point a admet la même polaire A par rapport à deux coniques C et C, il est à l'intersection de deux de leurs cordes communes.

Soient, en effet, m un des points communs à C el^à C, et jjl le point où la droite am coupe la polaire A: le conjugué harmonique m' de m par rapport au segment a[i est à la fois sur C et sur C. Ainsi donc, la droite qui joint a à l'un quelconque des points communs aux coniques C et G' est une des cordes communes à ces coniques. La propriété annoncée en résulte. On voit, de plus, que :

Les coniques^ conjuguées à un triangle^ qui passent par un point donné, passent par trois autres points fixes.

On déduit de là que, lorsque les c|ualre points communs à deux coniques sont distincts, elles n'admettent qu'un triar.gle conjugué commun. Lorsque les deux coniques se touchent en un seul point, leiir triangle conjugué commun est infiniment aplati, mais il reste encore unique. Au contraire, si lesconiques sont bitangeiites, il est bien évident qu'elles admettent une infinité de triangles conjugués communs, dont un des côtés coïncide avec la corde de contact, le sommet opposé étant le point de concours des tangentes communes.

Un triangle conjugué commun à deux coniques est évidemment conjugué à toutes les cotuques qui passent par leurs points communs, oii encore, comme on dit, aux coniques du faisceau ponctuel diéX&vmxw^ par les deux premières. Ainsi donc, il n'existe, en général, que trois points qui admettent la même polaire par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel.

Go CHAP. IV. — PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES.

81- Les polaires d'un même point par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel'Sont concourantes.

Soit, en effet, m' le point où se coupent les polaires d'un point m par rapport à deux coniques C et C d'un faisceau ponctuel. Les points m et m' étant à la fois conjugués à ces deux coniques, le sont (n" 7i) à toutes celles du faisceau considéré, el les polaires de m concourent donc bien en m' . Ces points m et»/»' sonLévidenimenl réciproques.

SI l'on considère une des coniques du faisceau qui sont formées de deux droites, les points m el m' sont conjugués à celle conique ; autrement dit, les droites qui joignent ces points au point a, commun aux droites considérées, divisent harmoniquemenl leur angle. Les droiles telles que a//* et ani' déterminent donc une involution à laquelle appartient, bien évidemment, le couple formé |>ar les côtés du triangle conjugué commun issus de a. Ainsi :

Si m et ni, p et p' désignent deit.r couples de points conjugués à la fois à deux coniifues, dont a'^y désigne le triangle conjugué commun, les six droites am et y.ni'. c/.p et cf.p' , oc^ et c.y sont en i/ivo/ution.

On en déduit encore (u" 68). que les deux droites xi et xy sont tangentes à une mémo conique, inscrite au quadrilalère mpm'p' . Par suite :

// existe une conique inscrite à la faisan triangle a3y et au quadrilatère mpm'p' .

Si. Les transformations homographiques el corrélatives conservant les rapports harmoniques, deux poinis conjugués à une conique se transforment, liomograplii([uement, on points conjugués, et, corrélativement, en droites conjuguées à la transformée de la conique. Par suite, les propriétés d'un pôle el de sa polaire se conservent par ces Iranslormations.

Par exemple, en transformant corrélativement le théorème du II» 81, on obtient le suivant :

Les pôles d'une même droite par rapport aux coniques d' un faisceau tangentiel sont en ligne droite.

PULES ET POLAIRES. 6l

Par fin<sOeau tani^cnliel de CDiiiques. nous entendons ici les coniques iribcrites à un même quadiilalère. En particulier, si la droile considérée est la droite de l'infini, les pôles envisaf^és deviennent les centres des coniques du faisceau, et, comme les trois coniques de ce faisceau, qui sont formées de deux points, ont cvidonnncnt pour ccnlrcs les milieux des segments limités par ces points, on voit que :

Le lieu des centres des coniques inscrites à un quadrilatère est la droite qui passe par les milieux des trois diagonales (').

83. Transformons encore corrélativement la proposition rappelée au début du n" 80; nous aurons la suivante :

Lorsqu'un quadrilatère esl circonscrit à une conique, son triangle diagonal est conjugué à cette conique.

Ainsi dorui, les six points où se coupent deux à deux les tangentes conimunes à deux coniques sont deux à deux sur les côtés du triangle conjugué commun, qu'ils divisent harmoniquement.

Considérons, en particulier, une famille de coniques homofocales, c'est-à-dire inscrites à un quadrilatère dont deux sommets opposés sont les points cycliques (n" 70) : la droite de l'infini en est une diagonale; les deux autres, qui joignent entre eux les foyers conjugués, divisent harmoniquemenl le segment limité par les points cycliques, c'est-à-dire qu'elles sont rectangulaires. Ces deux diagonales sont d'ailleurs deux droites conjuguées à toutes les coniques homofocales considérées, et passent par le pôle de la droile de l'infini : ce sont donc les axes communs à ces coniques. Comme, d'ailleurs, les foyers Jes divisent harmoniquemenl, on voit finalement que :

Les quatre foyers d' une conique sont situés sur les axesel sont deux à deux symétriques par rapport au centre.