Étant donnée une conique T, différenle de deux droites

('j Théorème du à Newton {Principes).

OU de deux points, à tout point du plan ne correspond qu'une polaire par rapport à F, et réciproquement, à toute droite ne correspond qu'un pôle; d'ailleurs, à des pôles en ligne, droite correspondent des droites concourantes. La correspondance entre un pôle et sa polaire est donc (n" 59) corrélative. On voit d'ailleurs qu'en appliquant cette transformation successivement deux fois à une figure, on retrouve celte figure elle-même, ce qu'on expriine en disant qu'elle est involutive. On l'appelle transformation par polaires réciproques (') par rapport à la conique directrice Y.

85. Nous donnerons |)lus.tard quelques explications de ce mode de transformation. Nous nous bornerons actuellement à montrer qu'on peut toujours faire se correspondre par polaires réciproques deux coniques données C et C.

En effet, supposons d'abord que C et C soient deux coniques concentriques ayant les mêmes directions d'axes; considérons une conique F, dont les axes de symétrie coïncident avec ceux de C et de C, et qui soit telle que le carré de la longueur de chacun de ses axes soit moyen proportionnel entre les carrés des longueurs des axes de C et de C, qui ont la même direction. C et C" sont évidemment polaires réciproques par rapport à F. Il existe d'ailleurs quatre coniques F qui répondent aux conditions précédentes, les carrés de leurs axes ay^^nl pour valeurs zb aa' et zt. bb', en désignant par a et b, a' et b' les longueurs, réelles ou imaginaires, des axes de C et de G'.

Étant données deux coniques quelconques, on les transforme d'ailleurs en coniques coaxiales par une transformation homographique qui fait correspondre à deux des sommets de leur triangle conjugué commun les points à l'infini de deux directions rectangulaires. Donc:

On peut, en général, de quatre manières différentes, faire

(') Quelques exemples de ce procédé de transformation se trouvent déjà dans un Mémoire de i8o6 de Brianch*n (n° 64) et dans les Annales de Mathématiques de Gergonno. C'est Poncelct qui l'a mis en usage avec succès dans le Traite des propriétés projectives.

PROBI.fe.MKS lîT THÉORÈMES DIVKRS. 63

se correspondre par polaires réciproques deux coniques données.

Problèmes et théorèmes divers.

8G. Proposons-nous d'abord le problème suivant :

Trouver le lieu des points où se coupent les droites conjuguées à une conique donnée C, menées pur deux points fixes a et b.

Une droite arbitraire A étant menée par «, on obtient une droite conjuguée B passant par b en joignant ce point au pôle de A. Or ce pôle est, sur la polaire du point a, conjugué par rapport à C du point où celte polaire coupe A. Ainsi donc les droites correspondantes A et B s'obtiennent en joignant les points a et b aux points conjugués à C sur la polaire de a ou sur celle de b. Ces droites engendrent donc évidemment deux faisceaux bomograpbiqiies, et le lieu chercbé est donc une conique F passant par « el b; elle passe de plus évidemment par les points où C coupe les polaires des points a el b. On voit donc que :

// existe une conique passant par deux points quelconques et par les points de contact des tangentes menées de ces points à une conique quelconque.

Les tangentes en a et b {\Y s'obtiennent en prenant les droites conjuguées de la droite ab menées par ces points; autrement dit, elles se coupent au pôle de ab par rapport à C. Ainsi la droite ab a le même pôle par rapport aux coniques Cetr.

D'après même la définition de F, les tangentes menées à C par im point de cette conique F sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites qui joignent ce point aux points a el b; si, en particulier, ces points sont les points cycliques, la conique F est le lieu des sommets des angles droits circonscrits à C. On voit ainsi que :

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une conique est un cercle concentrique à cette conique (').

( ' ) La HiRE, Sectioiies conicœ, Livre VIII, i'J85.

(\t\ (HAP. IV. PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES.

Ofi (iésigne ce cercle sous le nom de cercle de Monge ou de cercle orthoplique (') de la conique.

87. Considérons les points communs aux cercles orlhoptiques des deux coniques C et C : de ces deux points on voit C et G sous des angles droits. L'involution des tangentes menées de chacun de ces points aux coniques du faisceau tangenliel déterminé par C et C (n° 68) comprend donc deux couples de rayons homologues rectangulaires : elle se compose donc de droites rectangulaires. On voit donc que :-

// existe deux points d'où l'on voit sous un angle droit toutes les coniques d'un faisceau tangentiel (*).

Autrement dit :

Les cercles orthoptiques des coniques d'un faisceau tangentiel passent par deux points fixes.

En particulier, on voit, en considérant les coniques formées de couples de points, que :

Les cercles qui admettent pour diamètre les trois diagonales d'un quadrilatère ont même axe radical.

Si l'un des côtés de ce quadrilatère esi la droite de l'infini, ces cercles se réduisent aux hauteurs du triangle formé par les trois autres côtés, et de leur point commufi on voit sous un angle droit toutes les coniques inscrites au quadrilatère^ qui sont ici les paraboles inscrites au triangle considéré ; on voit donc, en tenant compte du résultat du n° 65, que :

L'orthocentre d'un triangle circonscrit à une parabole est sur la directrice.

Ce théorème est dû à Steiner.

C) Celte dénomination est due à M. Picquel {Étude géométrique des syS' ternes ponctuels et tangentiels de sect. cou., 1S-2).

(^) PluOLER, Analieisc/i-geometrUc/ie E/itivicklu'igen, t. II, i83i, p. 1898,