CHAP. !. — PRÉLIMINAIRES

pai l'usage des coordonnées de Descartes ('). Au n)oyen de ia Géomélrie analytique on put soumettre à un même traitement des courbes ou des surfaces jouissant de propriétés différentes : par exemple, réquation des cercles ayant un même axe radical est la même, que ces cercles se coupent ou non ; par suite, les propriétés relatives à des cercles qui passent par deux points fixes s'étendront, en général, aux cercles ayant même axe radical et ne le coupant pas; or, il arrivera souvent que ces propriétés seront faciles à prouver géométriquement dans le premier cas, et que la démonstration ne pourra plus s'appliquer dans le second, bien que la propriété continue à subsister. C'est Monge- qui se permit le premier de généraJiser ainsi des résultats démontrés sur une .figure présentant dés propriétés contingentes spéciales, sans influence sur le résultat lui-même, mais utilisables dans sa démonstration. Ce procédé fut ensuite employé systématiquement, sous le nom de principe de continuité, par Poncelet, qui sut en tirer de féconds résultats dans son Traité des propriétés projectiles des figures (paru en 1822), Ouvrage qui exerça la plus grande influence sur le développement de la Géométrie moderne.

2. Ce principe de continuité revient à introduire les imaginaires en Géométrie ; comme le lecteur le verra plus tard, quand il aura ai)ordé l'Analyse, on ne peut étudier facilement les propriétés de la plupart des fonctions d'une variabJe réelle qu'en étendant la définition de ces fonctions aux valeurs imaginaires de la variaJjle ; les singularités que les fonctions ainsi définies présentent dans le domaine imaginaire ont leur répercussion sur les propriétés des fonctions primitivement données dans le domaine réel; pour citer un exemple, ce n'est que par l'emploi de cette méthode qu'on parviendra à énoncer des théorèmes généraux sur la convergence des développements en série des fonctions ; elle per-

(') Descartes (i.StjO-iôôo). Son Application de l'Algèbre à la théorie des courbes parut en 16.37. "-■* Géométrie analytique à trois dimensions ne se développa que plus tard, à la suite du Traité des courbes à double courbure, que Clairaut coinpos.i en 17.31, à l'âge de 16 ans.

EMPLOI DES IMAGINAIKtS. 6

mettra, en général, de coordonner entre eux des ré^uliau sans rapport apparent.

Il va en être de même en Géométrie : les imafrinaires vont servir de lien entre des propriétés souvent très différentes au prime, abord, qui se trouveront n'être au fond que des cas particuliers d'une même proposition, et ce n'est que j^ràce aux conventions de langage qu'elles permettent d'établir qu'on pourra énoncer des théorèmes présentant un haut degré de généralité.

3. L'introduction en Géométrie de ces quantités imaginaires résulte immédiatenjent de l'emploi des coordonnées de Descartes. Celles-ci font, ei\ effet, correspondre à tout point de l'espace l'ensemble {.t,y,z) de trois nombres réels, qu'on nomme coordonnées de ce point. Inversement, à tout ensemble de trois nombres réels correspond un point et un seul. On conviendra également de dire qu'il correspond un point à un ensemble de trois coordonnées, lors même qu'une ou plusieurs d'entre elles seront des quantités imaginaires : ce point sera alors dit un point imaginaire.

Ainsi un point imaginaire correspond à l'ensemble de trois quantités, dont l'une au moins est imaginaire; à l'ensemble des trois imaginaires respectivement conjuguées correspond un nouveau point: on l'appelle le \)Oin\. imaginaire conjugué Au précédent ; par exemple, les points (o, /'. i — <) et (o, — /, 1 -+- i) sont imaginaires conjugués.

Les plans imaginaires se définissent d'une manière analogue; ils correspondent à des relations du premier degré, à coefficients imagirurlres, entre les coordonnées x, y, z et sont le lieu des points réels ou imaginaires, dont les coordonnées satisfont à ces relations. A tout plan imaginaire correspond un plan imagmaire conjugué.

On considérei'a de même des surfaces algébriques d'un degré quelconque à coefficients imaginaires.

\. Pour exprimer qu'une surface passe par un point donné, on n'a qu'une relation à écrire entre les coefficients de son équation ; mais, si l'on veut que ces coefficients soient réels, et si le point donné est imaginaire, cette relation équivaut à

4 CHAP. I. PKÉLIMINAIRES.

deux relatiorts ne renfermant jilus d'imaginaires, et les surfaces, donl les coefficients satisfont à ces relations, passent, r»on seulement par le point imaginaire considéré, mais aussi par son imaginaire conjugué. 11 en est de même des courbes représentées par deux équations algébriques à coefficients réels.

Par exemple, il ne peut passer qu'une droite réelle par un point imaginaire, car le point imaginaire conjugué achève de la déterminer. On voit d'ailleurs bien que la droite qui joint deux, points imaginaires conjugués est réelle. De même, deux plans imaginaires conjugués se coupent suivant une droite réelle.

5. Toute quantité (|ui résulte de la donnée de plusieurs points ou de plusieurs surfaces réels est une certaine fonction des coordonnées de ces points ou des coefficients de ces surfaces ; on définira la même quantité, dans le cas de points ou de surfaces imaginaires, comme étant la valeur, réelle ou imaginaire, prise par cette fonction pour les coordonnées ou les coefficients imaginaires considérés.

Soient, par exemple, a ei b deux points réels de coordonnées (.r|,j,,2,) et {■i'2,j'ii^-2) '■ on sait que les coordonnées de tout point m de la droite ab peuvent s'écrire

la variable p désignant le rapport — 7 •

Si l'on considère le paramètre p comme une variable imaginaire, les formules précédentes représenteront les coordonnées d'un point quelconque, réel ou imaginaire, de la droite ab, que les points a et b soient eux-mêmes réels ou

imagin-aires. La valeur du paramètre p, qui correspond au

am point m, représente alors, par dcjuiition. le rapport — -■

Pour la A'aleur

les coordonnées tiu point m deviennent infinies ; on dit qu'à cette valeur de p correspond le point à rinjîni,àe la droite «6.