PROBLÈMES ET THÉORÈMES DIVERS

88. Le premier des théorèmes obtenus au n» 86, liansformé par dualité, fournil le suivant :

Étant donnée une conique Y et deux droites quelconques A et B, il existe une conique touchant les droites A et B et les quatre tangentes menées à f aux points où cette courbe coupe A ei B.

Celte conique louche toutes les cordes de T telles que les droites qui joignent leurs extrémités au sommet de l'angle formé par les droites A el B divisent harmoniquemeni cet angle. Ce sommet a d'ailleurs la même polaire par rapport à cette conique et par rapport à F.

Si, en particulier, les droites A et B sont deux droites isotropes, on voit ainsi que :

Les cordes d'une conique T vues d'un point fixe sous un angle droit, enveloppent une conique admettant ce point pour foyer et sa polaire par rapport à Y pour directrice.

Si ce point fixe est au centre de T, l'enveloppe est donc un cercle concentrique.

89. Du théorème général qui précède, on déduit une importante propriété qu'on peut énoncer ainsi :

S'il existe un quadrilatère inscrit à une conique C et circonscrit à une conique C il en existe une infinité (').

Soit, en effet, w le point de rencontre. des diagonales d'un quadrilatère inscrit à C el circonscrit à C, et soient a et 6 les points où C coupo une tangente quelconque à C. Considérons l'involution admettant pour couples de rayons homolnimes les droites wa eicob, d'une part, et, d'autre part, les dijunnales du quadrilatère. D'après le théorème précédent. I('> cordes interceptées sur C frar les rayons homologues'de cette involulion enveloppent une conique qui louche évidemment

( ') Ce théorème est un cas particulier d'un théorème célèbro dû à Poûcelet, d'après lequel, s'il existe un polygone de n côtés inscrit à une conique et circonscrit à une autre, il en existe une infinité.

la droite ab el les côtés du quadrilatère considéré, et qui coïncide, par conséquent, avec €'. La propriété énoncée se trouve donc démontrée et l'on voit de plus que :

Tous les quadrilatères inscrits à C et circonscrits à C ont le même point de rencontre des diagonales.

D'après un cas particulier du théorème de BrianchoUj signalé précédemment. (n° 72), ce point fixe appartient également aux droites qui joignent les points oii C touche les côtés opposés de tous ces quadrilatères.

En particulier, si la conique C est une parabole, et si C est un cercle, un des quadrilatères en question admet pour sommets adjacents les points cylindriques ; deux des côtés opposés de ce quadrilatère sont donc les tangentes isotropes menées à la parabole : la droite qui joint leurs points de contact est, comme on sait, la directrice. Par suite :

Le point de rencontre des diagonales d'un quadrilatère inscriptible circonscrit à une parabole est sur la directrice.

90. Voici maintenant quelques applications du théorème de Desargues-Sturm :

D'après ce théorème, si deux points sont à la fois conjugués à deux coniques d'un faisceau ponctuel, il le sont à toutes les coniques de ce faisceau. Supposons d'abord que ces deux points soient les points cycliques : nous aurons alors la propriété suivante : '

Toutes les coniques qui passent par les points communs à deux hyperboles équilatères sont des hyperboles équiiaJ-ères .

11 en est ainsi, en particulier, de celles de ces coniques qui sont formées de droites ; autrement dit, les cordes comn^unes à deux- hyperboles équilatères sont deux à deux rectangulaires, d'où résulte que :

Les hyperboles équilatères circonscrites à un : triangle passent par son orthocentre, et réciproquement^ le '^coniques qui passent par les sommets d'un triangle et par son orthocentre sont des hyperboles équilatères.

PROBLÈMES ET THÉOKÈMF.S DIVKRS. 67

91. Considérons mainlenanl deux coniques à axe:- parallèles ; les points h l'infini de res axes sont conjugués à la fois h ces deux coniques, et aussi, par suite, à toutes celles du faisceau ponctuel qu'elles déterminent. Les points cycliques étant d'ailleurs conjugiiés harmoniques par rapport à ces points, on voit donc que:

Sideux des coniques d'un faisceau ponctuel ont leurs axes parallèles, il en est de même de toutes et l'une de ceT coniques est un cercle.

Il en résulte encore que :

IjCS cordes communes à un cercle et à une conique sont également inclinées sur les axes, et réciproque/nent.

92. Nous avons vu précédemment (n° 81) que les polaires d'un point a par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel concouraient en un point m. Proposons-nous de rechercher le lieu du point m quand le point a décrit une droite D.

Soient C et C deux des coniques considérées : les polaires du point a par rapport à ces coniques passent par les pôles a et a' de la droite D relatifs à ces courbes; d'ailleurs, à toute polaire issue de a ne correspond qu'un point a de I), et, par suite, qu'une polaire issue de a\ et réciproquement ,- ces polaires engendrent donc deux faisceaux homographiques de sommets a et a'. Le lieu du point m est donc une conique qui contient a et a . Lorscjue le point a se trouve sur un des côtés du triangle conjugué commun à C et à C, le point m coïncide évidemment avec le sommet opposé de ce triangle; la conique [m) est donc circonscrite à ce triangle, quelle que soit la droite D. Cette conique, qui passe par le pôle a de D par rapport à l'une quelconque C des coniques du faisceau ponctuel, coïncide donc aussi avec le lieu de ces pôles. Ainsi :

Le lieu des pôles d'une droite Jixc par rapporlaux coniques d'un faisceau ponctuel est une conique circonscrite au triangle conjugue commun à ces coniques ('*.

(') Ï'ONCEI.ET, Traite des propr. projeciives. art. 370.

6^ CIIAP. IV. — PUIKCIPALES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES.

En particulier, si la droite fixe est la droite de l'infini, on voit que :

Le lieu des centres des coniques cii'conscriles à un quadrangle est une conique.

Cette conique a évidemment pour points à l'infini les points à l'infini des paraboles circonscrites au quadrangle.

Elle passe d'ailleurs par les milieux des six côtés de ce quadrangle, car le milieu d'un de ces côtés et le point à l'infini de la droite à laquelle il appartient sont évidemment conjugués à toutes les coniques considérées. On voit ainsi que : -

Les milieux des six cotés d'un quadrangle^ ainsi que les points de rencontre des côtés opposés, sont neuf points d'une même conique.

Lorsque l'un des sommets du quadrangle est Torthocentre du triangle déterminé par les trois autres, cette conique est un cercle, puisque (n" 90) les points cycliques sont alors les deux |)oinls doubles de l'involution formée par les points à l'infini des coniques circonscrites au quadrangle. Celles-ci sont en efi"et des hyperboles équilatères, et le lien des centres devient un cercle ; on voit ainsi que

Le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle est le cercle des neuf points de ce triangle.

93. Supposons maintenant que le quadrangle considéré soit inscrintible à un cercle; les paraboles qui lui sont circonscrites ont alors (n° 91) leurs axes rectangulaires; le lieu des centres des coniques circonscrites est donc une hyperbole équilalère. Tout point de ce lieu est d'ailleurs, d'après ce que nous avons vu dans le précédent numéro, le point commun à tous les diamètres des coniques considérées qui sont conjuguées d'une même direction, puisque ces dilTérents diamètres sont les polaires d'un même point de la droite de l'infini. Soient m un point de ce lieu, co le centre 'du cercle circonscrit au quadrangle et y le Centre de la conique C du faisceau, qui passe par m. La tangente à C en w est parallèle à la

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direction conjuguée du diamètre -/m dans la conique C: la droite wm, qui est le diamètre conjugué de celte direction dans un cercle, lui. est donc perpendiculaire ; autrement dit, celte droile est normale en m à la conique C. Ainsi :

Le lieu des centres des coniques circonscrites à un qua~ drangle inscrit dans un cercle de centre w est une hyperbole équilatèrCs dont les asymptotes sont parallèles aujc axes de ces coniques. Cette courbe est en même temps le lieu des pieds des normales abaissées du point w sur les coniques considérées:

Celte hyperbole équilatère coupe en quatre points chacune des coniques du faisceau ; par suite :

D'un point quelconque o on peut mener à une conique C quatre normales. Leurs pieds, le point co et le centre de C sont une même hyperbole équilatère, dont les asymptotes sont parallèles aux axes de C.

On nomme cette hyperbole l'hyperbole d' Apollonius du point w relativement à la conique C : elle a, en effet, été employée pour la première fois par le géomètre grec Apollonius (vers 247 av. J.-C).

94.. Étantjdonnée une corde ab d'une conique C, proposonsnous de déterminer la corde cd telle que les normales

aux quatre points, a, b, c, et d, soient concourantes. Considérons l'involulion déterminé sur l'axe ptxip' de C par les coniques circonscrites au quadrangle abcd : les sommets p

et/)' en sont deux points conjugués, ainsi que les points a et a' situés sur les cordes ab et cd ; enfin, l'hyperbole d'Apollonius, circonscrile au quadrangie abcd, passe par le centre w et par le point à l'infini de l'axe; le point co est donc le point central de cette involulion ; on a, par suite (n" 33),

a)a.(«)a' = (ùp . (tip' .

Soit, maintenant, r la projection sur pp' du pôle m de la corde ab ; on à

(oa.wr =: 03/»*.

De la comparaison de ces égalités on déduit De môme

La corde ce? est donc symétrique, par rapport au centre w, de ia droite rs qui joint les projections sur les axes du pôle m de la corde ab.

95. Lorsque le point m décrit une droiie, ses projections r ei 5 forment évidemment deux divisions semblables; la droite de l'infini est donc une des positions de^ la droite rs, dont l'enveloppe est, par suite, une parabole qui touche les axes de G aux points où ils coupent la droite décrite par le point m. Si celle-ci est tangente à G au point a, les points c eid seront les pieds des deux normales menées d'un point de la normale en a. On voit ainsi que :

Si un point décrit une normale à une conique, les pieds des trois autres normales menées de ce point sont les sommets d'un triangle dont les côtés enveloppent izne parabole tangente aux axes.

96. Soit a' le point de la conique C diamétralement opposé à a; dans le triangle aba' , la droite ba' est parallèle à la droite qui joint les milieux des côtés aa' et ab, c'est-à-dire au diamètre wm conjugué de la direction ab. D'autre part, les diagonales tom et rs du rectangle (ùrms sont également