Des trois théorèmes du n^ 99 on déduit le suivant

Si G et C sont deux coniques, l' une inscrite et l'autre circonscrite à un triangle T, les sommets de ce triangle et ceux du triangle conjugué commun à C ef à C sont six points d'une même conique.

Soit, en effet, T' un des triaqgles, autres que T, circonscrits à C et inscrits à C ; ii existe une conique F conjuguée à la fois aux triangles T et T'. Il est bien évident que, par polaires réciproques relativement à F, les deux coniques C et C se transformeront l'une en l'autre; il en résulte que le triangle conjugué à la fois à ces deux coniques est aussi conjugué à F; par suite, les sommets de ce triangle et ceux du triangle T sont bien sur une même conique.

Supposons, par exemple, que C et C soient des coniques ayant les mêmes axes ; leur centre commun et les points à l'infini des axes sont alors les sommets du triangle conjugué commun à ces coniques. Par suite, on pourra, par leur centre et par les sommets du triangle T, faire passer une hyperbole équilatère d'asymptotes parallèles aux axes communs, c'està-dire une hyperbole d'Apollonius relative à C ; par suite, les normales à C aux sommets du triangle T seront concourantes. Ainsi :

C et C étant deux coniques concentriques, à axes parallèles, s'il existe des triangles circonscrits à £, et inscrits à C, les trois normales menées à C aux sommets de l'un de ces triangles sont concourantes.

Examinons encore le cas où deux des sommets du triangle conjugué commun à C et à C sont les points cycliques : C et C sont alors deux hyperboles équilatères concentriques, et l'on

C) Salmon, Secl. con., p. 326. — Cremo.na, Introd., p. 87.

CONJQUES HAUMONIQUEMENT CIKCONSCKITES A l'.NE COMQCE. 76

voit quO le cw^le circonscrit au triangle T passe par leur centre commun. D'ailleurs, ce cercle est circonscrit à une infmilé de triangles circonscrits à l'hyperbole C: l'un d'eux a pour côtés les deux asymptotes de celte conique ; le troisième côté de ce triangle touche donc C en son milieu, qui est précisément le centre du cercle considéré. L'hyperbole C est donc le lieu des centres des cercles circonscrits aux triangles inscrits à C et circonscrits à C (').

102. Soient C et C deux coniques harmoniquement circonscrites à une troisième T, a un de leurs points communs et A sa polaire par rapport à T. Cette droite coupe, par hypothèse, C et C en des points conjugués à T. L'involution déterminée sur A par les coniques du faisceau ponctuel auquel appartient C et C, comprenant ainsi deux couples de points homologues conjugués à F, il en est de même de tous les couples de points homologues de cette involution. Autrement dit, toutes les coniques du faisceau ponctuel déterminé par C et C sont circonscrites à un triangle de sommet a, conjugué à F : toutes ces coniques sont donc harmoniquement circonscrites à F. Ainsi:

Lorsque deux coniques d'un faisceau ponctuel sont harmoniquement circonscrites à une même conique, il en est de même de toutes les coniques de ce faisceau.

Celles de ces coniques qui sont formées de droites sont alors constituées par deux droites conjuguées à F. On voit ainsi, en particulier, que :

Si deux des couples de côtés opposés d'un qaadrangle sont formés de droites conjuguées à une même conique., il en est de même du troisième.

Du théorènie général qui précède, il résulte que toutes les coniques circonscrites à un triangle abc et harmoniquement

(') Ces considérations permettaient de résoudre avec élégance le problème proposé en 1896 au Concours général {Nouvelles Annales, 3' série, t. XV, i8g6, p. 566).

circonscrites à une conique T passent par un quatrième point fixe d. Les droites a/> et cû?, par exemple, sontalorsconjuguées à r ; autrement dit, la droite cd passe parle pôle y de la droite ab. On en déduit que :

Deux triangles tels que les côtés de l' un soient les polaires des sommets de l'autre par rapport à une même conique sont homologiques.

103. Ainsi donc, si C et G' sont deux coniques iiarmoniquement circonscrites à une troisième F, leurs cordes communes sont deux à deux conjuguées à F. En particulier, si C et C' sont bitangentes, leur corde de contact est sa propre conjuguée; autrement (lit, elle touche F. On en déduit, par exemple, l'énoncé suivant :

A deux triangles inscrits à une même conique on circonscrit deux coniques bitangentes entre elles : l'enveloppe de leur corde commune est la conique conjuguée à la fois à ces deux triangles.

Si C etC sonlhomothéliques, la droite qui joint leurs points communs à di&tance finie passe par le centre de F. Par exemple, si deux cercles sont harmoniquement circonscrits à F, leur axe radical passe par le centre de cette conique ; ce point a donc même puissance par rapport à tous' les cercles harmoniquement circonscrits à F ; autrement dit, ceux-ci coupent orlhogonalement un cercle fixe concentri(|ue à cette conique. Ce cercle est é^-jidemment le lieu des centres des cercles points harmonif|uement circonscrits, c'est-à-dire des points communs aux droites isotropes conjuguées à F: c'est donc (n" 86) le cercle orthoptique de cette conique; d'où l'énoncé suivant dû à M. Faure (') :

Les cercles harmoniquement circonscrits à une conique en coupent orthogonalement le cercle orthoptique.

La donnée d'un triangle conjugué à une conique équivalant

(') 1-ACiiE, l^ouv. Ann. de Math., t. XtX, p. 234.