EXTENSION AUX CONES DU SECOND DEGRÉ

à trois conditions linéaires imposées à celte conique, il existe toujours un cercle unique conjugué à un triangle. Le cercle conjugué à un triangle circonscrit à une conique étant (n" 100) harmoniquement circor)scrit à celte conique, il résulte du théorème précédent que :

Le liea des centres des coniques inscrites à un triangle et telles que la somme des carrés de leurs axes ait une valeur donnée est un cercle dont le ^centre est l' orthocentre du triangle (').

En pariiculier, .

Le lieu des centres des hyperboles équilatères inscrites à un triangle est le cercle conjugué à ce triangle.

lOi. Aux théorèmes du n° 102 correspondent, par dualité, des théorèmes corrélatifs ; on voit en particulier que :

Si deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère sont conjugués à une conique, il en est de même du troisième (^).

Extension aux cônes du second degré.

105. Soit A la polaire d'un point a par rapport à une conique C; considérons un cône de sommet s et de directrice C; le rapport harmoni(|ue étant projectif, on voit que toute droite issue de a coupe le plan sh. au point conjugué de a par rapport à ceux où cette. droite rencontre le cône. Le plan s A est appelé plan polaire du point a par rapport au Cône, ou encore /?/a« diamétral conj u gué de la droite sa, car il est bien évident que, lorsque le point a décrit celte droite, son plan polaire reste invariable. Réciproquement, tout plan issu de s admet un diamètre conjugué.

En joignant le sommet s aux sommets d'un triangle con-

( ' ) Théorème dû à Steiner.

(^) Hesse, Journal de Crelle, t. XX, 18^0, p. 3oï.

jugué à C, on obtient un trièdre conjugué t^n cône: chacune de ses arêtes est le diamètre conjugué de la face opposée.

Si la conique C est rombilicale, le cône correspondant est un cône isotrope': ses trièdres conjugués sont trirectangles.

106. Les propriétés obtenues aux n°* 97-99 permettent d'énoncer des théorèmes relatifs aux trièdres conjugués à un cône. On voit ainsi, par exemple, que :

Etant donnés deux cônes de même sommet, s'il existe un trièdre inscrit au premier et conjugué au second, il en existe une infinité.

En particulier, si le second cône est isotrope, on voit que :

Si un cône passe par les arêtes d'un trièdre trireciangle, il est capable d'une infinité de tels trièdres.

Un tel cône est dit équilatere.

Si c'est, au contraire, le premier des cônes considérés dans l'énoncé précédent qui est isotrope, on trouve que:

S' il existe un trièdre trirectangle circonscrit à un cône du second degré, il en existe une infinité.

107. De même, de ce que deux coniques d'un même plan n'admettent en général qu'un triangle conjugué commun, on déduit que deux cônes de même sommet ont en général un seul trièdre conjugué commun. Si ces deux cônes sont bilangents, ils admettent une infinité de trièdres conjugués communs, dont une des faces est déterminée par les arêtes de contact, l'arête opposée étant le diamètre conjugué de cette face.

Si l'un des cônes considérés est isotrope, on voit ainsi que :

// n'existe généralement qu'un trièdre trirectangle conjugué à un cône du second degré.

Les plans des faces de ce trièdre sont évidemment des plans de symétrie du cône, puisqu'ils partagent en parties égales les cordes normales à chacune de ces faces.