CHAPITRE V

PRINCIPALES PROPRIÉTÉS P3e QUADRIQUES.

Pôles et plans polaires: 108-110. Définitions et propriétés des pôles et des plans polaires. — 111. Droites et tétraèdres conjugués, — 112. Centre, diamètres, axes. — 113. Transformation par polaires réciproques.

Intersection (Je deux quadriques : 114-115. Déteriiination des qaadriques par des points ou des plans tangents. — 116. Génératrices communes. — 117-118. Quadriques bitangontes et inscrites l'une à l'autre.

FaiseeoMX et réseaux de quadriques : ild-liO. Quadriques d'un faisceau ponctuel tangentes à un plan. Propriétés corrélatives. — 121. Quadriques homofocales. — 122-124. Cônes d'un faisceau ponctuel et coniques d'un lalsceau tangentiel. — 125. Faj'ers et focales. — 126. Lieu des centres des quadriques d'un faisceau tangentiel. — 127-129. Réseaux de quadriques. — 130-131. Théorèmes relatifs à quatre coniques d'un réseau. — 132. Propriétés des focales des quadriques d'un faisceau tangentiel. — 133. Lieu des droites conjuguées d'une droite par rapport aux quadriques d'un faisceau. — 133. Centres des quadriques d'un faisceau pcmctuel. — 135. Cubique des normales.

Quadriques karmoniquement .circonscrites et inscrites: 136-137. Définitions. — 138-139. Théorème de liesse et application. — 140. Hyperboloïdes équila- ■ tères circonscrits à un tétraèdre orthocentrique. — 141. Quadriques menées par cinq points. — 142. Construction linéaire d'une quadrique. — 143-144. Théorème de Faure et applications. — 145. Théorèmes de M. Picquet. — 146-157. Cubiques gauches harmoniquetnent circonscrites à une quadrique.

Pôles et. plans polaires.

108. Lorsque deux points divisent harmoniquement une corde d'une quadrique, ils sont dits conjugués à cette surface.

Le lieu des conjugués d'un point par rapport a une quadrique est un plan.

POLES ET PLANS POLAIRES. 8l

Soit, en effet, Q une quadrique quelconque. Par le point donnéa, menons un plan quelconque quicoupe laquadriqueQ suivant une conicjue G. Les points du lieu situés dans ce plan sont évidemment ceux de la polaire du point a relativement àC.

D'ailleurs, si G désigne la section de Q par un autre plan issu du pointa, les polaires de ce point par rapport aux deux coniques G et G' sont dans un même plan, car elles passent toutes deux par le conjugué du point a situé sur la droite commune aux plans de G et de G'. Il en résulte que les points du lieu, appartenant à un plan quelconque issu de a, sont ceux d'une droite qui rencontre les deux polaires précédentes; le lieu est donc constitué par le plan de ces polaires. Ge plan est appelé le plan polaire (*) du point a relativement à Q. Le cône de sommet a, qui admet pour directrice la conique suivant laquelle la quadrique Q coupe le plan polaire de a, est évidemment circonscrit à Q le long de celte coniqde.

Lorsque le pointa est sur la quadrique Q, ses polaires par rapport aux coniques de Q dont les plans passent par a sont tangentes en a à ces coniques; le plan polaire de ce point devient alors le point tangent à Q en a.

La démonstration précédente s'applique tant que Q est une quadrique véritable, c'est-à-dire n'est ni une conique, ni un cône. Dans ce dernier cas, elle ne tombe d'ailleurs en défaut que si le point a est le sommet du cône: son plan polaire est alors indéterminé.

109. Corrélativement, lorsque deux plans divisent harmoniquement le dièdre formé par les deux plans tangents menés à une quadrique par leur intersection, ils sont dits conjugués à cette surface. Le théorème précédent a donc pour corrélatif le suivant :

Les plans conjugués d'un plan fixe par rapport à une quadrique sont concourants.

Leur point commun est appelé le pâle du plan fixe. On voit

( ' ) C'est MoNGE qui, daûs sa Géométrie descriptive, a étendu aux quadriques la théorie des pules, que La Hire avait inventée pour les coniques.

CHAI'. V. — l'IilNCJl'ALF.S l'ROPRlÉrtS L'US QU.iDRIQllES.

t|uc, !);ii ia|)|)url à une (|iuulrique véritable, tout plan a un pôle bien déterminé.

1 10. Soient donc : Q une telle quadrjque ; P un plan quelconque qui coupe Q suivant une conique C; enfin abc un triangle conjugué à C.

Le plan polaire de chacun des points «, h, c passe évidemment par les deux autres : soit/? le point commun à ces trois plans polaires, et soient [3 et y les points où Q coupe la droite a/j. Les plans tangents à Q issus de bc doivent (n° 108) toucher Q en des points situés à la fois dans des plans polaires des points ^ et c : ce sont donc les plans bc'^ et bcy. D'autre part, les points act/? divisant harmoniquement le segment Py, les plans bca et 6ry9 divisent liarmoniquement le dièdre formé par les plans bc'^ et bcy; le plan bcp est donc conjugué du plan P par rapporta Q; il en est de même desplanscrt/>eta6/); le point yo est donc le pôle du plan P, d'après la définition précédente. Les points a, b el c étant conjugués de p relativement à Q, on voit d'ailleurs que P est le plan polaire du point/?. Ainsi :

Le pâle du plan polaire d'un point est ce point lui-même. On voit en même temps que :

Les plans polaires des points d'un plan passent par le pôle de ce plan,

et (|iie :

I^es pôles des plans issus d'un point sont dans le plan polaire de ce point.

Il l. On en déduit immédiatement que, si un point appartient à. la fois à deux plans, son plan polaire passe par les pôles de ces plans ; autrement dit :

Les plans polaires des points d'une droite ^ passent par une droite A' qui est aussi le lieu des pôles des plans issus de A.

Les droites A cl A' sont donc réciproques, elles sont dites I nri/u,iri'('es à la quadrique. Puisque le plan polain; de tout