POLES RT PLANS POLAIRES

point de A passe par A', on voit que tout plan P issu de A' coupe A en un point qui est le pôle de A* par rapport à la conique suivant laquelle le plan P coupe la quadrique Q, Donc:

Le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux coniques d'une quadrique dont les plans passent par cette droite est sa droite conjuguée.

Le tétraèdre /;a^c considéré dans le numéro précédent est dit conjugué à Q ; ses sommets sont deux à deux conjugués à cette quadrique, ainsi que ses faces et ses arêtes opposées. Chacune de ses faces est un triangle conjugué à la conique suivant laquelle son plan coupe Q. Enfin, chacun de ses trièdres est conjugué au cône circonscrit à Q issu du sommet de ce trièdre. Ce trièdre est également dit conjugué à la quadrique; chacune de ses arêtes passe parle pôle de la face opposée.

112. Le pôle du plan de l'infini est appelé le centre de la quadrique : il est le sommet du cône asymptote, enveloppe des plans tangents à la iquadrique en ses points à l'infini.

Les droites issues du centre sont nommées diamètres.

On voit, comme dans le cas des coniques (n°78), que le centre ainsi défini est bien un centre de symétrie de la surface.

Dans le cas où eelle-ci est un paraboloïde, c'est-à-dire touche le plan de l'infini, le centre devient le point de contact de ce plan et se trouve donc rejeté à l'infinj.

D'après la définition du centre, un trièdre conjugué au cône asymptote est aussi conjugué à la quadrique ; ses trois arêtes forment trois diamètres conjugués. Le pôle d'une face do ce trièdre est le point a l'infini de l'arête opposée. Donc :

Le lieu des milieux des cordes d'une quadrique parallèles à une même direction est le plan diamétral conjugué.

Un diamètre et la droite de l'infini du plan diamétral conjugué formant deux droites conjuguées à la quadrique, on voit encore que :

Le lieu des centres des sections d'une quadrique par des

plans parallèles à un même plan diamétral est le diamètre conjugué.

On voit encore que les axes du cône asymptote (n° 107) sont des axes de symétrie de la quadi'ique. Les plans qu'ils déterminent deux à deux sont les trois plans principaux de cette surface. Dans le cas où le cône asymptote est de révolution, il en est de même de la quadrique, qui est alors (n° 107) bitangente au cercle infini, et réciproquement. Ainsi :

Les quadriques de révolution sont bitangentes à l'ombilicale, et réciproquement.

Enfin, si le cône asymptote est isotrope, la quadrique est une sphère, et trois diamètres conjugués quelconques forment alors un trièdre irireclangle.

113. Nous avons vu que, étant donnée une véritable quadrique, à tout point correspond ( n° 108) un plan polaire unique et à tout plan (n° 109) un pôle unique; enfin, aux points d'un plan correspondent (n" 110) dos plans concourants. 11 en résulte qu'en faisant correspondre à tout point son plan polaire, on obtient une correspondance corrélative (n*> 59) qui est d'ailleurs involutive ; on l'appelle transformation par polaires réciproques.

Nous reviendrons plus tard sur cette transformation dont la considération nous facilitera dès maintenant (n° 122) l'exposé d'un certain nombre de propriétés des quadriques.

Intersection de deux quadrignes.

114. L'équation générale d'une surface du second degré étapt homogène et du premier degré par rapport à dix coefficients arbitraires, il en résulte qu'une telle surface est, en général, définie par la donnée de neuf points quelconques. Il suffit, pour cela, que les neuf équations homogènes linéaires auxquelles doivent satisfaire les dix coefficients admettent un système unique de solutions. Elles pouront être indéterminées dans certains cas.

En efifet, la donnée de huit points quelconques d'une qua-