Les quadriques se transformant dualistiquement ( n

(') Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie, i8i8.

en quadriques, les propriétés précédentes ont pour corrélatives les suivantes :

Toutes les quadriques tangentes à huit plans en touchent une infinité^ qui enveloppent une surface déceloppabte du quatrième ordre^ l'ordre d'une surface développable étant le nombre des plans tangents qu'on peut lui mener d'un point arbitraire.

Toutes les quadriques tangentes à sept plans en touchent généralement un huitième.

116. Comme nous l'avons déjà vu, la biquadratique gauche commune à deux quadriques peut se décomposer en une droite et une cubique gauche; lorsque deux quadriques ont ainsi une génératrice commune, la cubique gauche qui constitue le reste de leur* intersection coupe d'ailleurs en deux points la génératrice commune: les deux quadriques se touchent évidemment en ces deux points.

Lors(iuc deux quadriques ont en commun deux génératrices d'un mérne système A et B, on voit aisément que le reste de leur intersection se compose de deux génératrices de l'autre système. Soit, en efiet, m un de leurs points communs, extérieur aux droites A et B : il existe une droile passant par m et coupant A et B ; celle-ci ayant trois de ses points situés sur les deux quadriques appartient à ces deux surfaces. La propriété.annoncée en résulte.

117. La biquadratique gauche peut encore se décomposer en deux coniques, chacune de celles-ci pouvant d'ailleurs se décomposer en deux droites. Lorsque deux quadriques ont ainsi deux coniques communes, elles se touclicul évidemment aux deux points oij elles coupent toutes deux la droile commune aux plans de ces coniques.

Réciproquement, lorsque deux quadriques se touchent en deux points a et b n'appartenant pas à une même génératrice, elles se coupent suivant deux coniques. Soit, en e|îet, m un de leurs points communs; le plan mab coupe les deux quadriques suivant des coniques qui se touchent en a et b, et passent de plus par le point m, c'est-à-dire suivant desconiniips rnnfondnes. ce nui démontre le théorème.

KAISCKAIN kl Rf:SI.Ar\ 1)1 l,il \ Hl'.lnl i:». 87

Ce llléorèllic a pour corrôlalif le suivani :

fjorsque deux quadriques se louthenl en deux poinls n'appartenant pas à une même génératrice, i enveloppe de leurs plans tangents communs se compose de deux ct'mes du second degré.

1 18. Si deux quadriques se touchent en trois points a, h et c dont deux n'appartiennent pas à une même génératrice, elles se touchent en tous les points d' une conique.

En eiïet, d'après le [)aiagraplie précédeiii. Ir plan abc coiipiles deux quadiif|ues suivant une mémo conir|uo (1. Soil d'ailleuis /' le point où se coupent les points langcnls à la lois aux deux (|uadri(|ues aux points f?, h et c. ('e point est le pôle du plan abc j)ar rapport aux deux (luadriques : le cône de somniel p et de hase C est donc circonscrit à ces deux surfaces le long de la conique C.

Faisceaux et réseaux de quadriques.

llî). Toutes les quadriques (lui passent pai- huit points arbitraires forment un faisceau ponctuel de quadriques qui (n° lli) contiennent une même hiiiuadratique gauche. Par tout point de l'espace, extérieur à cette courbe, il passe une seule quadrique du faisceau ponctuel.

Ces diverses quadriques cou|ienl évidemment un plan quelconque P suivant des coni(|ues circonscrites à un mémcquadrangle. Trois de ces coniques sont donc formées de droites: les trois quadriques; qui conlienneni chacune un decescouples de droites sont tangentes au plan considéré. On voit "donc que :

Dans tout faisceau ponctuel de quadriques, il en existe trois qui touchent un plan donné arbitrairement.

Si le plan P est le plan de l'infini, on voit en particulier (|ue:

Tout faisceau ponctuel de quadriques comprend trois paraboloïdes.

88 CHAP. V. — FKINCIPAI.ES PROPRIÉTÉS DUS QUAORIQLES.

Les trois points de contact avec le plan P sont évidemment les sommets du triangle conjugué commun aux coniques suivant lesquelles les quadriques en question coupent ce plan On voit donc que :

Dans tout, plan^ il existe un triangle conjugué commun aux quadriques d'un faisceau ponctuel.

Si le plan coupe deux des quadriques du faisceau suivant des coniques harmoniquement circonscrites à une même conique F, on voit encore (n*" 102) qu'il en est de même des sections de toutes les quadriques du faisceau par le plan P. Si la conique F est le cercle de l'infini, on voit ainsi que :

Si deux des quadriques d'un faisceau ponctuel sont équilatères, il en est de même de toutes.

On nomme, en effet, équilatère toute quadrique dont le cône asymptote est équilatère.

120. Les propriétés précédentes ont pour corrélatives des propriétés concernant les quadriques tangentes à huit plans arbitraires, c'est-à-dire appartenant à un même faisceau tangentiel.

On voit ainsi que :

Par tout point de l'espace., il passe trois quadriques d'un faisceau tangentiel. Les plans tangents à ces trois surfaces au point considéré sont les faces d'un trièdre conjugué à la fois à toutes les quadriques du faisceau.

121. Un faisceau ponctuel de quadriques -est évidemment défini par deux quadriques, celles-ci pouvant d'ailleurs être des cônes. De même, un faisceau tangentiel se trouve défini par deux quadriques, qui peuvent d'ailleurs être constituées par desconiqires.

En particulier, le cercle de l'infini et une quadrique quelconque Q définissent un faisceau tangentiel de quadriques qu'on appelle, comme nous le verrons dans la suite, quadriques homofocales à Q.