FAISCEAUX KT RÉSEAUX DE QUADRIQUES

De cette définition résulte immédiatement que :

Par tout point de Vespace, il passe trois quadriques d'un système homofocal ; elles s'y coupent orthogonalement.

En effet, les plans tangents à ces trois surfaces au point considéré doivent être les faces d'un trièdre conjugué au cercle de l'infini, c'est-à-dire d'un trièdre trirectangle. Les arêtes de ce trièdre, qui est conjugué à la fois à toutes les quadriques de la familie considérée, sont donc les axes des cônes circonscrits à ces surfaces (').

122. La transformation par polaires réciproques (n° 113) étant une transformation corrélative, il en résulte (n° 62) que si l'on considère deux quadriques Q et Q', il doit exister en général quatre points dont les plans polaires par rapport à Q et à Q' coïncident. Soient a l'un de ces points, m un point commun à Q et à Q', ''nfin/? le point où la droite am coupe le plan polaire À de a par rapport à Q oii à Q': il est évident que le conjugué harmonique de m. par rapport aux ])oints a et p doit être à la fois sur Q et sur Q'. Ainsi toute droite issue de a et qui rencontre la courbe commune à Q et à Q' coupe cette courbe en un second point. Cette courbe F étant du quatrième degré, on voit donc que dans tout plan issu de a il n'existe que deux génératrices du cône de sommet a et de directrice, r. Ce cône est donc du second degré. Ainsi:

Lorsqu" un poinc a le même plan polaire relativement à deux quadriques^ il est le sommet d'un cône du second degré contenant la courbe comm.une à ces surfaces.

La réciproque est évidente.

Le pian A coupe Q et Q' suivant des coniques qui admettent généralement un seul triangle conjugué commun, ^yè. Il est bien évident que le plan polaire de (3, par exemple, est le plan ayâ relativement à Q ou à Q'. Ainsi :

// existe généralement quatre cônes du second degré pas- (' ) CuASLES, Aperçu historique. Note XXXI.

go CHAP. V. — PRINCIPALES PKOPRIÉTÉS DES QUADHIQUES.

sant par une même biquadratique ; ils déterminent un tétraèdre conjugué à la fois à toutes Les quadriques qui passent par cette courbe (' ).

123. Dans cerliiius cas particuliers, il peut y avoir plus de quatre points qui admettent les mêmes plans polaires relaiivement à deux quadriques (n° 62). Nous savons (n°^ 62, 55, oG) que, dans ce cas, il existeja au inoins une droite A telle que tous ses points admettent les mêmes plans polaires.

Soient a et ;3 les points où A coupe Q: leurs plans polaires par rapport à Q passent par ces points eux-mêmes; comme ils sont aussi les plans polaires de ces points relativement à Q', on voit donc que Q et Q' sont nécessairement bitangentes en a et 3.

Réciproquement, lorsque deuxquadriques sont bitangentes, il est bien évident que tout point m de la corde de contact a,3 a le même plan polaire relativement aux deuxquadriques, ce 'plan polaire se trouvant délîrH par le point m', conjugué barmonique de m par rapport au segment a,3, et par la droite A' où se coupent les plans tangents communs en a et en (3. Sur cette droite A', il existe d'ailleurs deux points admettant les mêmes plans polaires par rapport à Q et à Q': ces points sont les points doubles de l'involution déterminée sur A' par les deux couples de points où celte droite coupe Q et Q'. Ces points sont les sommets de deux cônes du second degré qui passent par les deux coniques d'intersection de Q et de Q'. Ainsi :

Lorsque deux coniques se coupent en deux points^ il existe deux cônes du second degré qui les contiennent.

Si les quadriques Q et O' passent par les côtés d'un même quadrilatère gauche, les diagonales de ce dernier sont des cordes de contact des deux (luadriques; les points de ces diagonales admettent donc lo même plan polaire relativement à ces deux surfaces.

Kufin, si Q et Q' se touchent en tous les points d'une courbe plane, tous les points du plan de cette courbe jouissent de la propriété en question.

(') l'oxciiLET, Traite lies prop. proj.. Ail. (ilo.

FAtSCEAlX ET RÉSEAUX DE (,)LAI)RIQLES. 0»

12i. Le dernier théorème du n" 121 a i)Our corrélatif la propriété suivante:

Les plans tangents communs à deux quadriques sont généralement tangents à quatre coniques dont les plans sont les faces d'un tétraèdre conjugué à la fois à ces deux quadriques (').

D';\près la proniière propriété énoncée au n° \12, les sommets de ce tétraèdre sont d'ailleurs les sommcis des cônes circonscrits aux deux quadriques.

' Jl n'y a d'excieption que si les deux quadriques considérées sont bitangentes ; leurs plans tangents communs enveloppent alors (n° 117) deux cônes du second degré bitangents, qui se coupent suivant deux coniques.

12o. Si l'on considère les traces des quadriques d'un faisceau ponctuel sur un pian langent à l'un des cônes de ce faisceau, on a évidemment des coniques bitangentes; car l'une d'elles, intersection du plan et du cône considérés, se compose d'une droite double.

Récipro([uement, pour qu'un plan coupe les quadriques d'un faisceau ponctuel suivant des coniques bitangentes, il faut que l'une de ces coniques se compose d'une droite double, et, par suite, que l'une des quadriques du faisceau tangentes au plan considéré soit un cône.

Corrélativement, étant donné un faisceau tangenliel de quadriques, si l'on considère un point d'une des coniques de ce faisceau, les cônes circonscrits aux quadriques et issus de ce point sont bitangents, et réciproquement.

Considérons en i)articulier une famille {\o quadriques homofocales, c'est-à-dire un faisceau tangentiel déterminé par une quadrique quelconque Q et le cercle de l'infini. Le plan de l'infini est donc alors une des faces du tétraèdre conjugué à la fois à ces quadriques, et les trois sommets de celte face devant former un triangle conjugué à la. fois à Q et au cercle de l'infini sont les points à l'infini des axes de Q (n° 112).

(') POiNCELEï,>/e//iot/e sur les polaires réciproques {^Joum. de Crelle, 1S29).

Ainsi:

Les quadriques d'une famille homofocalè. ont les mêmes axes.

Outre le cercle de l'infini, celte famille comprend trois coniques situées dans les trois plans principaux. On les nomme les focales des quadriques considérées, et tout point de ces courbes est désigné sous le nom <\q foyer (^).

D'après la remarque faite au début de ce paragraphe, on voit que les cônes circonscrits aux quadriques et issus d'un foyer sont bitangents entre eux. Ils sont donc, en particulier, bitangents au cône issu de ce foyer et passant par le cercle de l'infini; ces cônes sont donc de révolution. On peut encore dire que le cône isotrope issu d'un foyer est bitangent à toutes les quadriques considérées. On voit donc que :

Les focales d'une quadrique sont le lieu des sommets des cônes isotropes bitangents à cette surface, ou encore le lieu des sommets des cônes de révolution qui lui sont circonscrits.

On voit en particulier que le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par chaque focale se compose des deux autres (-).

Dans le cas où la quadrique est de révolution, c'est-à-dire bitangente au cercle de l'infini, elle n'admet qu'une focale, intersection des deux cônes isotropes circonscrits à cette quadrique. Les sommets de ces cônes sont nommés les foyers principaux de la quadrique : ce sont évidemment les foyers de la méridienne situésjiur l'axe de révolution.

126. On peut étendre aux quadriques un grand nombre de propriétés des coniques.

Par exemple, toutes les quadriques d'un faisceau ponctuel

( ' ) Les loyers des quadriques onl été considérés ijour la pri-iuicre fois par CuASLES {^Aperçu-historique, Note XXXI). Les focales avaient déjà été obtenues par Steiner {Journal de Crelle, 1820) comme le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits.

(-) Les propriétés des foyers d'une conique situés dans l'espace sont dues à Gh. DupiN {Corresp. sur l'École Polytechnique, 180^).

FAISCEAUX ET RÉSEAUX DE QUADKIQUES. gS

déterminent évidemment une involution sur une droite quelconque. Les points doubles de celte involution sont conjugués à la fois à toutes ces quadriques, et l'on voit ainsi que, si deux points sont conjugués en même temps à deux des quadriques d'un faisceau ponctuel, ils le sont à toutes. Autrement dit :

Les plans polaires d' un point fixe relativement aux quadriques d'un faisceau ponctuel passent par une même droite.

Corrélativement :

Les pôles d'un même plan par rapport aux quadriques d'un faisceau tangentiel sont en ligne droite.

Cette droite contient en particulier les pôles du plan considéré par rapport aux quatre coniques appartenant au faisceau. En particulier, si l'on considère des coniques homofocales, le lieu des pôles du plan fixe contient le pôle de ce plan par rapport au cercle de l'infini ; autrement dit :

Le lieu des pôles d'un plan par rapport aux quadriques d'un système homofocal est une droite normale à ce plan.

Enfin, si le pian que l'on considère est le plan de l'infini, on voit que :

Le lieu des centres des quadriques d' un faisceau tangentiel est une droite qui passe par les centres des quatre coniques de ce faisceau.

127. On dit que les quadriques qui passent par sept points forment un réseau ponctuel. Nous avons déjà vu (n° 114) que ces quadriques passent par un huitième point fixe, qui peut se déduire de sept points donnés. On peut évidemment déterminer une quadrique du réseau par la donnée de deux autres points arbitraires.

Lorsque quatre quadriques appartiennent à un même réseau ponctuel, la biquadratique commune à deux d'entre elles et la biquadratique commune aux deux autres sont sur une même quadrique, et réciproquement.

Considérons, en efîet, la quadrique du réseau qui passe par deux points arbitrairement choisis sur les deuxbiquadrati(|ues en question : elle contient évidemment ces deux courbes, puisqu'elle passe par neuf points de chacune d'elles. Réciproquement, si deux biquadratiques gauches sont sur une même biquadrique, elles se coupent évidemment en huit points communs à la quadrique considérée et à toutes les quadriques qui passent par l'une ou l'autre des biquadratiques.

128, Il résulte de ce théorème que :

Si deux points a et b sont conjugués à la fois à trois quadriques Qi, Qo et Qj d'un réseau ponctuel, ils le sont à toutes les quadriques de ce réseau.

Soit, en effet, Q; une quadrique quelconque du réseau : d'après le théorème précédent, il existe une quadrique Q appartenant à la fois aux deux faisceaux ponctuels (Q,, Q2)et (QziQi). Les points a et b conjugués à Qi et Q., le sont donc (n° 12G) à Q ; et puisqu'ils sont conjugués à la fois à () et à Q3 ils le sont aussi à Q,. On en déduit que :

Les plans polaires d'un point fixe relativement aux quadriques d'un réseau ponctuel passent par un même point.

Corrélativement :

Le lieu des pôles d'un plan fixe par rapport aux quadriques d' un réseau tangentiel est un plan.

En particulier :

Le lieu des centres des quadriques d' un réseau tangentiel est un plan ( ' ).

l'29. Le théorème du n° 127 a des apjtlications intéressantes. On en déduit immédiatement que:

Si quatre quadriques sont telles que la biquadratique corn-

(') Gergonnk, Annales de Malhémaliques, t. XV[I, p. 200.

FAISCEAIX Kl lUSEAliX liK ol'AUKIQUES. QS

munc à deux d'entre elles ff la hiqnadi ntn^in- cnmrDiine hu.t deux autres soient sur une /nr/nc quadriqui% il en est de nii'nK' quelle que soit la manière de grouper deux à deux ces ijuainsurfaces (').

Supposons, par exemple, que doiiv des quadiiques considérées se composent chacune de deux plans. On voil alois que :

Si deux quadriques Q, et ()., sont bilangerUes à une troisième Q, les plans des coniques suivant lesquelles Q coupe Qj et Qi étant respectivement Ai et B,, A^ et Bj, il existe une quadrique bitangente à Qi et Qj, et passant par les coniques d'intersection de Q, par les plans A-i et B;, et de (^i par les plans Al et Bi-

130. En considérant les sections par un même plan des quatre quadriques envisagées dans le théorème général du paragraphe précédent, on obtient un théorème analogue de Géométrie plane :

Si quatre coniques sont telles qu'il existe une conique passant par les points communs à deux d'entre elles et par les points communs aux deux autres^ il en est de même quelle que soit la manière de grouper ces coniques.

Examinons en particulier le cas où deux des quatre coniques considérées se composent de droites doubles : nous avons alors la propriété suivante:

Si deux coniques C et C sont bitangentes à une IrobièmeV , les cordes de contact étant respectivement D et I)', il existe une conique Y' bitangente à C et à C, les cordes de contact étant respectivement D' e^ D.

131. Aux propriétés des numéros précédents correspondent évidemment des propriétés corrélatives. Oceupons-nous d'abord des propriétés relatives aux coniques.

C) Chasles, Comptes rendus, 1860.

gÔ CHAP. V. — PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES QUADRIQUES.

On voit que :

Si quatre coniques sont telles que le faisceau tangentiel déterminé par deux d'entre elles et le faisceau tangentiel déterminé par les deux autres admettent une conique commune, il en est de même quelle que soit, la manière de grouper deux à deux ces coniques.

Si l'on suppose que l'une des coniques considérées soit formée par les points cycliques, on voit ainsi que :

Si trois coniques sont telles que Vune d elles soit homofocale à une conique du faisceau tangentiel déterminé par les deux autres, il en est de même de chacune d'elles.

Autrement dit, C,, Cj et C étant trois coniques d'un même faisceau tangentiel et C'^ une conique homofocale à C2, il existe une conique C homofocale à C et appartenant au faisceau tangentiel (C,, Cg) ; par suite, le lieu des foyers dès coniques du faisceau tangentiel (C,, C'j) coïncide avec celui des coniques du faisceau (Ci, €5). D'ailleurs les ombilics communs aux coniques d'un faisceau tangentiel sont évidemment les foyers des coniques du faisceau formées par deux points. De l'ensemble de ces remarques il résulte que :

Si l'on considère L'ensemble des coniques homofocales aux coniques d'un faisceau tangentiel, tous les faisceaux tangentiels déterminés par deux d'entre elles ne comprennent que des coniques de cet ensemble. Leurs foyers coïncident avec les ombilics qu elles admettent deux à deux. Leur lieu coïncide, par exemple, avec celui des points de rencontre des tangentes menées à ces coniques par les foyers de V une d'elles.

Si l'on considère, en particulier, un faisceau tangentiel formé de coniques bitangentes entre elles. Je pôle oj de la corde de contact est un point double qui constitue une conique du faisceau ; les coniques homofocales à cette dernière sont évidemment les cercles du centre co. Ainsi :

Si deux coniques sont homofocales à deux coniques bilan-

FAISCEAUX ET RÉSBAUX DB QUADRIQUES. 97

génies, leurs tangentes communes sont circonscrites à un même Cercle.

Le lieu des foyers des coniques du faisceau coïncide alors avec celui des points de contact des tangentes menées de w aux coniques homofocalés à l'une des coniques du faisceau; si C, et C, désignent deux de ces coniques, les foyers de T, sont donc les points de contact des tangentes menées de u à une conique homofocale à d. On voit ainsi que :

Quand deux coniques sont bitangentes, les foyers de l'une sont sur une conique homofocale à l'autre^ et les tangentes à cette conique menées en ces points passent par le pôle de la corde de contact.

Par suite :

Le lieu du second foyer des coniques admettant un foyer F et bitangentes à une conique donnée F se compose des deux coniques homofocalés à F qui passent par F. Les tangentes en Y à ces coniques constituent d'ailleurs le lieu du pôle de la corde de contact.

Les foyers d'une conique bitangenle à une conique F étant d'ailleurs, d'après ce qui précède, deux ombilics opposés de F et d'un cercle, on peut encore dire que :

Si l'on considère les cercles tangents aux deux tangentes menées à une conique T par un point F-, le point d' intersection des deux autres tangentes communes à chacun de ces cercles et àT a pour lieu les deux coniques homofocalés à F qui passent pari?.

132. En examinant de même le théorème corrélatif de celui du n° 129, et en supposant que l'une des quadriques considérées soit le cercle de l'infini, on obtient des théorèmes analogues aux précédents. Par exemple :

Si l'on considère V ensemble des quadriques homofocalés aux quadriques d'un faisceau tangentiel, tous les faisceaux tangentiels déterminés par deux d'entre elles ne comprennent D. 7

gè CHAP. V. — PRIXCIPALES PROPRIÉTÉS DES QUADRIQUES.

que des quadriques de cet ensemble. Leurs focales coïncident avec les coniques appartenant à ces faisceaux tangentiels.

On peut d'ailleurs appliquer directement le théorème corrélatif général. Soient par exemple Qi et Qj deux quadriques circonscrites Tune à l'autre, w le sommet du cône circonscrit commun et 91 une des focales de Q,. Cette dernière quadrique appartient au faisceau tangenliel déterminé par la conique 91 et le cercle de l'infini F; elle appartient aussi au faisceau tangentiel déterminé par Q2 et par la quadrique constituée par le point double w. Il existe donc une quadrique commune aux faisceaux tangentiels (F, Q2) et (9,, w). Autrement dit :

Quand deux quadriques sont inscrites l'une à l'autre, toute focale de l'une est sur une quadrique homofocale à l'autre^ et le pôle du plan de cette focale par rapport à cette quadrique coïncide avec le pôle du plan de contact des deux quadriques données.

L'une des quadriques considérées dans ce dernier théorème peut d'ailleurs être constituée par une conique située sur l'autre quadrique. On voit ainsi que :

Par une focale d'une quadrique Q passe une quadrique admettant pour focale une section de Q par un plan quelconque.

Considérons encore une quadrique de révolution bitangen'le à une quadrique Q ; soient F et F' ses foyers principaux et soient S et S' les sommets des cônes circonscrits à la fois à cette quadrique et à Q. La quadrique Q, le couple des points S et S', celui des points F et F' et l'ombilicale sont quatre surfaces d'un même réseau tangentiel, car la quadrique de révolution considérée appartient évidemment au faisceau tangentiel déterminé par les deux premières et au faisceau tangentiel déterminé par les deux dernières. Il existe donc une quadrique tangente aux plans tangents communs à Q et à l'ombilicale, c'est-à-dire homofocale à 0» 6t tangente en même temps aux plans tangents communs aux surfaces formées par