FAISCEAUX ET RÉSEAUX DE QLADRIQIES

les deux couples de points considérés, c'est-à-dire passant par le quadrilatère gauche FSF'S'. Donc :

Si l'on considère les quadriques de récoljition bilangentes à une quadrique fixe Q et ayant un foyer principal donnéY , le lieu du second foyer principal se compose des trois quadriques honiofocales à Q, qui passent par F. Les génératrices de ces surfaces qui passent par F constituent le lieu des sommets S et S' des cônes circonscrits à la fois à Q et aux quadriques de révolution considérées.

133. Nous avons vu précédemment (n° J26) que les plans polaires d'un point m par rapport aux quadriques d'un faisceau ponctuel passent par une même droite A. Proposonsnous de chercher le lieu de celte droite quand le point m décrit une droite I).

Soient Q, et Q, deux des quadriques considéi'ées : les plans polaires du point m relatifs à ces surfaces passent par les droites D, et D^, conjuguées de D par rapport à ces quadriques. D'ailleurs à tout plan polaire issu de Di ne correspond qu'un pôle m sur I), et, par suite, qu'un plan polaire issu de Dj, et réciproquement. Ces plans polaires engendrent donc deux faisceaux homographiques d'arêtes Dj et D,. Leur intersection engendre donc une quadrique passant par D, (M l).. Lorsque le point m se trouve sur une des faces du tel iriièdre conjugué commun à Q, et à Qj, la droite A passe éviilcmmenl 'par le sommet opposé de ce tétraèdre. La quadrique engendrée par A est donc circonscrite à ce tétraèdre, quelle que soit I). Cette quadrique, qui passe par la droite D, ( onjuguée de D par rapport à l'une quelconque Qi des (juadiKjursdii faisceau ponctuel, coïncide donc aussi avec le lieu d(^ rt's di-oiles. Ainsi :

f.i s dri/iti's conjuguées d'une droite fixe par rapport aux quadriques d'un faisceau ponctuel sont les génératrices d'un même système d' une quadrique circonscrite au tétro.èdre conjugué commun aux quadriques du faisceau.

Corrélativement:

Les droites conjuguées d'une droite fixe par rapport aux

lOO CIIAP. V. — PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DF.S QUADRIQUKS.

quadriques cT un faisceau tangentiel engendrent une quadrique inscrite au tétraèdre conjugué commun aux quadriques du faisceau.

134.. Proposons-nous maintenant de chercher le lieu des pôles d'un plan fixe par rapport aux quadriques d'un faisceau ponctuel.

Soient a, b, c trois points du plan considéré, A, B et C leurs plans polaires par rapport à l'une des quadriques du faisceau. Quand cette quadrique varie, les plans A, B et C, qui pivotent autour de droites fixes (n° 126), engendrent trois faisceaux homographiques. Leur point commun décrit donc (n° kh) une cubique gauche. Ainsi :

Le lieu des pôles d'un plan fixe par rapport aux quadriques d' un faisceau ponctuel est une cubique gauche.

Si le plan fixe est le plan de l'infini, on voit que t

Le lieu des centres des quadriques d'un faisceau ponctuel est une cubique gauche.

Cette cubique passe évidemment par les sommets des cônes du faisceau et ses points à l'infini sont ceux où les paraboloïdes du faisceau touchent le plan de l'infini.

135. Si le faisceau considéré comprend une sphère, ces points de contact déterminent un triangle conjugué au cercle de l'infini (119). Autrement dit, les directions asymptotiques de la cubique gauche sont rectangulaires : on dit alors qu'elle estéquilatère. Ses asymptotes sont d'ailleurs parallèles aux axes de toutes les quadriques du faisceau.

Tout point m de celle cubique étant le centre d'une des quadriques du faisceau, la droite commune aux plans polaires de ce point par rapport à ces quadriques est nécessairement dans le plan de l'infini. Par exemple, le plan polaire de m par rapport à la sphère co du faisceau est parallèle au plan tangent en m à la quadrique Q du faisceau qui passe par ce point ; or la droite corn est normale au premier de ces plans ; elle est donc normale en m à la quadrique Q. Ainsi :

Le lieu des centras des quadriques qui passent par l'inter-

yi.AUKIQinS IIAMMO.MQIKME.VT «JIRCOSCRn fS ET I.VSCUITES. ICI

section d'une sphère et d'une quadrOfue est une cubique éffuilatère, dont les asymptotes sont parallèles aux axes de ces qaadriques. Cette courbe est en même temps le lieu des pieds des normales menées ù ces quadriques par le centre de la sphère.

Celle cubique coupe en six points chacune des quadriques du faisceau ; par suite :

D'un point quelconque ùj on peut mener à une quadrique Q six normales. Leurs pieds, le point 'j) et le centre de Q sont sur une même cubique équilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes de Q.

Le cône de sommelcoqui passe par celle cubique étant évidemment du second degré, on voit ainsi que :

Les six normales menées d'un point à une quadrique sont sur un même cône du second degré, dont trois génératrices sont parallèles aux axes de la quadrique et qui passe par le centre de celle-ci (*),

Quadriqnes harmQniquement circonscrites et inscrites.

136. On peut étendre aux quadriques un certain nombre de propriétés démontrées dans le Chapitre V sur les coniques harmoniquemént circonscrites.

On dira de même qu'une (juadrique circonscrite à un tétraèdre conjugué à une seconde quadrique est harmoniquemént circonscrite à cette surface.

Lorsqu'il existe un tétraèdre inscrit ù une quadrique Q et conjugué à une quadrique Q', tout point de Q est un soynmet d'une infinité de tétraèdres analogues.

Soit, en effet, Q une quadrique circonscrite à un tétraèdre abcd conjugué à une quadrique Q'. Soient y. un point quelcon(|ue de Q et 3 un des deux points où le plan polaire de a par rap]>ort à Q' coupe la ronique d'intersection de 0 piir le

('; Z\\\^\.Y.9.. Jciurnat de Mathématiques. iS3.s.

Uf. CII.Vl'. V. — PRINCU'AI-ES PROPRIÉTÉS DES QUADRIQUES.

j t bcd. Cette conique étant harmoniquement circonscrite j', |3 est un sommet d'un triangle (Bm/i inscrit à cette coique et conjugué à Q'. Le tétraèdre ^mna est donc conjugué à Q'. La section de Q par le plan mna est donc une conique harmoniquement circonscrite à Q' : or cette conique passe par le point a, car le plan mna est le plan polaire du point j3, point qui est dans le plan polaire du point a. Le |)oint a est donc un sommet d'un triangle ayd it»scrit à ce e conique et conjugué à Q'. On voit donc enfin qu'il existe un tétraèdre a^yo conjugué à Q' et inscrit à Q, admettant poi> sommet un point quelconque, oc, de cette dernière surface.

137. De même que deux coniques (85), deux quadviquesQi et Q2 peuvent être transformées l'une en l'autre par pdla res réciproques.

On peut, en effet, transformer homographiquement ces quadriques en quadriques coaxiales, en faisant corre.- potidre à trois des sommets de leur tétraèdre conjugué commun les points à l'infini de trois directions rectangulaires.

Ceci posé, Q, et Qj étant deux quadriques coaxiales, considérons une quadrique coaxiale Q, qui soit telle que le carré de la longueur de chacun de ces axes soit moyen proportionnel entre les carrés des longueurs des axes correspondants de Q, et de Q^; Qi etQj sont évidemment polaires réciproques par rapport à Q. Il existe d'ailleurs huit quadriques Q qui répondent aux conditions précédentes, les carrés de leurs axes ayant pour valeurs ztaa', ±bb' et ±cc', en désignant par a, b et c, a' b' et c' les longueurs, réelles ou imaginaires, des axes de Qi et de Q-j. Donc:

On peut, en général, de huit manières différentes, faire se correspondre par polaires réciproques deux quadriques données.

Si Qi est harmoniquement circonscrite à Qj, les tétraèdres inscrits à Q, et conjugués à Q, se transforment ainsi en tétraèdres circonscrits à Q2 et conjugués à Q,. Ainsi donc :

Une quadrique Q, harmoniquement circonscrite à une quadrique Q, peut être considérée soit comme circonscrite à une

QUADRIQUES BA.RMOmQUKMfiNT CIHCONSCRJTBS ET INSCRITES. lo3

infinité de tétraèdres conjugués à Q,, sent comme conjuguée à une injlnité de tétraèdres circonscrits à Q^,

138. Soient abcd et «(3-/(3 deux tétraèdres conjugués à une même quadrique Q'. Considérons une quelconque Q des quadriques qui passant par les sept points a, b, c, d, (3, y, à. Cette quadrique étant harmoniquement circonscrite à Q', le plan polaire «yô de (3 par rapport à Q' coupe Q et Q' suivant des coniques C et C telles que C est harmoniquement circonscrite à C. La polaire «ô de y par rapport à C coupe donc C en deux points conjugués à C : l'un de ces points étante, l'autre est donc «. La conique C et, par suite, la quadrique Q passent donc par a. D'où le théorème suivant dû à Hesse ('):

Lorsque deux tétraèdres sont conjugués à une même quadrique, leurs huit sommets sont les points communs aux quadriques d'un réseau ponctueL Autrement dit, toute quadrique qui passe par sept de ces points passe par le huitième.

139. Étant donnés un tétraèdre abcd et un triangle (3/5, il existe toujours une quadrique Q' conjuguée à ce tétraèdre et à ce triangle, celte quadrique étant ainsi assujettie à neuf conditions linéaires. D'après ce qui précède, le pôle a du plan (3yô relativement à Q' est le huitième point commun aux quadriques qui passent par les sept points a, b, c, a?, [3, y, à. Les arête» opposées du tétraèdre abcd coupent le plan P du triangle ^yô en des points conjugués à la conique d'intersection de C de Q' par ce plan : soient/? et q ceux de ces points qui se trouvent sur ac et bd, et m le point où l'arête ab perce le plan P. Toutes les coniques conjuguées au triangles (3yô et aux deux points p et q formant évidemment un faisceau ponctuel, les polaires d'pn point quelconque m de leur plan passent par un point fixe m': on peut le construire en remarquant (n° 81) que les six droites qui joignent (3 aux points y et à, p et q, m et m', sont en involution : on aura donc aisément le point m' par l'intersection des droites (3/n' et ym', par exemple. Les points m et m' étant conjugués à la qiia-

(•) Journal de Crelle, i843, p. 147.

Ki't CHAI'. V. — l'RI.NCIl'Al.KS PllUl'KlfiTf:S DES yLAl>RIVltS.

drique Q', le plan m'cd est donc, relativement à cette surface, le pi/in polaire du point m ; il passe donc par le pôle a du plan P, point dont on peut achever la détermination en construisant de même les plans <xhc et ahd, par exemple ( ' ).

Cette constiuction est en défaut si le point m' est sur cd\ dans ce cas, il y a une infinité de coniques conjuguées au triangle (3y^ et aux trois couples de points où le plan P reitcontre les arêtes opposées du tétraèdre abcd\ il existe alors (n° 81) une conique inscrite à la fois aulnangle [3yo et au quadrilatère déterminé dans le plan P par les faces du tétraèdre ahcd.

11 en résulte que les deux irièdres abcdeia'^yo, jiar exem[)le, sont circonscrits à un même cône; ils sont, par suite (n° 106). inscrits à un même cône. Il en est de même des trièdres ôac^^ et b^yà. Les sept points considérés sont donc situés sur deux cônes qui ont en commun la génératrice ab: ils sont donc sur une môme cubique gauche. Le point a est alors indéterminé sur cette courbe.

UO. Soient abcd un tétraèdre conjugué à une quadrique Q et P le plan polaire du point a par rapport à cette surface, que ce plan P coupe siiivanl ime conique C. D'après le théorème du n" I3G, toutes les quadriques qui passent par les cinq points a. 6, c, d. y. coupent le pian P suivant des coniques harmoniquement circonsdiies à C. et, réciproquement, d'après le n" 13S, toutes les quadriques circonscrites au tétraèdre «(^c^ et (jui coupent II- plan P .suivant des coniques harmoniquemetii cir.onscrites à C passent par le point y.. Supposons, en parti, uiier, <|ne O suit une sphère de centre a; la conique C devieni alors le cercle de l'infini, et le tétraèdre abrd est tel que se> hauteurs concourent en j.\ il est dit oi Lliorentrique. D'aiitre part, les ([iiadriqne- li;iiiiionii|uenieiii circnii-criies au

('; I... .„i,^tiii.lioi. (lu l,.iiii.„. ;.„i,.t .■..iMuiU!. .•.ux.iiia.lr;.|ij,'<.|ui |ass.M.I par s.-[.t i.oinls a .-t.: résolu. |,ar .liv.rs .iMl-nr. ,.atrni l.-,.,u,.ls liesse iJuiuncU de CrelU, t. -.'(M!) 'l!i^. s.riH k \'\c.,^u,.i Uhi,!., t. -^^ .( îi;)), Z.iiU>en. ite .- (//./,/ I. 10(»j, S,hr..l.-r. Caspary. ,.l.-. |,a solntion pr«(.-.Ml.M,t.-. .|ii.: jauus ,.u).lié.- en !•><.,.. .lans la [Uvif ,1, \U,lh. spéc. n viw.l a cllo .!.■ S, l,n,kr (./0/,/7/rt/ de rrellr

QIAURIQIJKS IIAIIM0NIQI;E1IENI CIRCONSCniTtS ET INSCIUTKS. Io5

cercle de l'infini dont les cônes asymptotes sont équilatères (n° 106) sont dites elles-mêmes équilatères. On voit donc que:

Les quadriques circonscrites à un tétraèdre orthocentrique et passant par son orthocentre sont équilatères, et, réciproquement, les quadriques équilatères circonscrites à un tétraèdre orthocentrique passent par son orthocentre.

141. Étant donnés cinq points a, b, c, d, ol et un plan P, il existe toujours une quadrique unique Q conjuguée au tétraèdre abcd et telle que le point a soit le pôle du plan P par rapport à celte quadrique, qu'on assujettit en effet ainsi à neuf conditions linéaires. 11 résulte donc du numéro précédent que :

Toutes les quadriques qui passent par cinq points coupent un plan quelconque suivant des coniques harmoniquement circonscrites à une conique fixe F (*).

En particulier, celles qui sont formées de plans coupent le plan considéré suivant des droites conjuguées à la conique fixe. On en déduit immédiatement que :

Le plan P rencontre la droite déterminée par deux des points et le plan déterminé par les trois autres, en un point et suivant une droite qui sont pâle et polaire relativement

Cl r.

On trouve donc i mmédiatement les dix polaires de dix points par rapport à F.

142. Les propriétés précédentes permettent de construire le quatrième point où une biquadraliqne gauche définie par huit points coupe le plan P de trois de ces points (').

Soit, en effet, F la conique du plan P à Inqnolle sont h;»r-

{ ' ) r.a conique V usl iliisigiKîe par 1*. Serret {^Géométrie de direction, i8(><;, ji. Ô7 ) sous le nom de roni(iue conjuguée au pentagone gauche des ciiKj piiints.

(-) (".ctlo constiuctioii a ttW: ituiiquéo par M. PLcqiict {Journal de C relie.

Io6 CHAP. V. — PKINCIPALES PÎIOPRIÉTÉS DES QIÎADRIQLKS.

moniquement circonscrites toutes les quadriques qui passent paries cinq des points donnés extérieurs au plan P. Celles de ces quadriques qui passent en outre par les trois autres points fl, b, c donnés dans le pian P ont un quatrième point fixe dans ce plan, celui où se coupent les trois droites qui joignent les sommets du triangle abc aux pôles des côtés opposés relativement à F : cette consiruclion résulte de ce que ( n° 102) les coniques harmoniquementcirconscriles à une conique fixe qui passent par trois points, ont un quatrième point fixe commun. On construit d'ailleurs facilement le pôle d'une droite par rapport à une conique qui, comme F, est déterminée par la condition que trois droites données soient les polaires de trois points donnés, en se servant de la propriété énoncée à la fin du n° 102.

Si, en outre des huit points précédents, qn en donne un neuvième, an pourra déterminer de même un cinquième point de la section par le plan abc de la quadrique définie par les neuf points considérés.

Ayant ainsi obtenu une conique de cette quadrique, il, devient facile d'en achever la construction et de déterminer par des constructions linéaires le second point où celte surface rencontre une sécante arbitraire menée par un des points donnés.

14-3. Soit a un point commun à deux quadriques Q, et Qa harmoniquement circonscrites à une quadrique Q, et soit A le plan polaire de a par rapport à Q. Ce plan coupe, par hypothèse, Qi et Qa suivant des coniques G, el C^ harmoniquement circonscrites à la section C de Q par ce plan. Toutes les quadriques qui passent par les points communs à Q, et à Qa coupent le plan A suivant des coniques qui passeat par les points communs à C, et à Cj, et qui sont, par suite (n° 102), harmoniquement circonscrites à C : toutes ces quadriques sont donc harmoniquement circonscrites à Q. Ainsi :

Quand deux quadriques d'un faisceau ponctuel sont harmoniquement circonscrites à une même quadrique^ il en est de même de toutes les quadriques de ce faisceau.

Si les quadriques Q, et Qj se coupent suivant deux copiques.

QUADRIQUES HARMOMQUEMBNT CIBCONSCRITES ET INSCRIIES. IO7

l'ensemble des plans de ces coniques constitue une quadrique du faisceau: ces plans sont donc conjugués à Q. En particulier, si Qi et Q, sont inscrites l'une à l'autre, le plan de leur courbe de contact est tangent à Q.

Si Q, et Qî sont homothéliques, le plan de leur conique commune située à distance finie passe par le centre de Q. Par exemple, si deux sphères sont harmoniquement circonscriles à Q, leur plan radical passe par le centre de celte ([uadrique; ce point "& donc môme puissance par rapport à toutes les sphères harmoniquement circonscrites à Q; autrement dit, celles-ci coupent orlhogonalement une sphère fixe S concentrique à celte quadrique.

La sphère S est donc lé lieu des centres des sphères points, ou cônes isotropes, harmoniquement circonscrits à Q, ou, ce qui revient au même, le lieu des sommets des cônes circonscrits à Q et harmoniquement inscrits aux cônes isotropes de mômes -sommets. Autrement dit, les cônes circonscrits àQ issus des points de S sont inscriptibles à des trièdres trirectangles, ce qui montre enfin que la sphère S constitue le lieu des sommets des trièdres trirectangles circonscrits à Q.

£n résumé:

Le lieu des sommets des trièdres trirectangles circonscrits à une quadrique est une sphère concentrique, qu'on nomme sa sphère orthoptique (').

Les sphères harmoniquement circonscrites à une quadrique en coupent orthogonalement la sphère orthoptique C).

144. La sphère orthoptique d'une quadrique est le lieu des points communs à trois plans tangents menés à cette quadrique par les côtés d'un triangle conjugué au cercle de l'infini; par une transformation homographique, on voit donc que :

Si, par les côtés d'un triangle variable conjugué à une conique C, on mène trois plans tangents à une quatrique Q, le lieu de leur point commun est une quadrique qui passe par C

(') Celte généralisation du théorème de La Iliro (u" 86) est due à Monge. (^) Théorème de Faiire.

lO? *:H\y. V. — l'RlNXlPALES PROI'IUKTKS UKS QLAUHlQttS.

et par rapport à laquelle le plan de C admet le incme pôle que relativement à Q.

(^orrélalivemeiit :

L'enveloppe des- plans inlerceptéa sur une ((uadrique Q paV les arêtes des trièdres conjugués à un cône S est une quadrique inscrite au cône^, et par rapporta laquelle le sommet de S admet le même plan polaire que par rapport à Q.

Si Je cône S est Fsolrope, on.voil que l'enveloppe des plans interceptés sur une quadrique par les arêtes des trièdres Irirectanjiles issus d'un même point est une quadri(|ue de révolution admettant ce point pour foyer principal. Si ce point est le centre de la quadricpie. l'enveloppe est donc une sphère concenlri(}uc.

145. De même que les sections par un moue plan des quadriques d'un faisceau ponctuel forment un faisctau ponctuel de coniques, de même, les cônes issus d'un m'aie point et circonscrits aux quadriques d'un faisceau langenliel forment un faisceau langenliel de cônes. Si deux de ces cônes sont harmoniquement inscrits à un même cône, ils le sont donc tous.

Si l'on considère, par exemple, les cônes circonscrits aux fjuadriques d'un faisceau tangentiel, et issus d'un point commun aux sphères orlhoptiques de deux quadri([ues de ce faisceau, tous ces cônes se trouvent être harmoniquement inscrits au cône isotrope de même sommet; ce sommet appartient donc aux sphères orthoptiques de toutes les f|UHdriqries du faisceau. Par suite:

Les sphères orlhoptiques des quadriques d'un faisceau tangentiel passent par un même cercle (' ).

La perpendiculaire au plan de ce cercle en son centre est évidemment le lieu des centres des f|nadriques considérées (no 126).

(') l'HULii, //(///. de la Soc. p/iilo/n., i8f)5, p. n/J-^ou

QUADRIQUKS H ARMONCQUEMENT OrRCOXSCRITES ET- INSCRITES . lOQ

Soient maintenant Q,, Q,, O, et Q, quatre quadriques d'un même réseau tangentiel, et Q la qiiadrique de ce réseau qui (d'après le théorème corrélatif de celui du n° 127) appartient à la fois aux deux faisceaux tangentiels déterminés respectivement par les couples de quadriques Q, et Q,, Q3 et Q4. Soient S^, S,, S3, S4 et S les sphères orthoptiques de ces quadriques. D'après le théorème précédent, les deux cercles communs aux sphères S, el 82 d'une part, Sj et S4 d'autre part, sont situés sur la sphère S. Ces deux cercles ont donc deux points communs, qui appariiennerrt à la fois aux sphères S,, Sj, Sj et 84. Par suite :

Les sphères orthoptiques des quadriques d'un réseau tangentiel passent par deux points fixes ( ' ).

Le plan normal au segment limité par ces deux points en son milieu est évidemment le lieu des centres des quadriques du réseau (n'' 129).

146. Comme on a déjà pu le remarquer à diverses reprises, certains théorèmes de Géométrie plane sur les coniques ont pour analogues dans l'espace des théorèmes de deux sortes : les uns étant relatifs à des quadriques, et d'autres à des cubiques gauches.

Aux propriétés des coniques harmoniquement circonscrites à une conique correspondent, par exemple, ainsi que nous venons de le voir, des théorèmes se rapportant aux quadriques harmoniquement circonscrites à une quadrique. On peut aussi considérer des cubiques gauches harmoniquement circonscrites à des quadriques.

Si une cubique gauche passe par les sommets d'un tétraèdre conjugué à une quadrique. elle est circonscrite à une infinité de tétraèdres conjugués à cette quadrique.

Soit, en effet, F une cubique gauche circonscrite à un tétraèdre T conjugué à une quadrique Q; toutes les quadriques qui contiennent cette cubique sont alors harmoniquement

(') Vxcdvv.w Bull, de ta Soc. philoni.. iSGj. p. i()fi-îji>.

iiO Cu«P. V. — PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES QUADRIQUES.

circonscrites à Q : par suite, a étant un point quelconque de F, elles coupent le plan polaire P de a par rapport à Q suivant des coniques harmoniquement circonscrites à cetle quadrique. Or ces coniques ne sont évidemment assujetties qu'à passer par les trois points (3, y et S où le plan P coupe la cubique I; il faut donc que le triangle (3yô soit conjugué à la quadrique Q.

Réciproquement, si un triangle ^yè inscrit à la cubique F est conjugué à la quadrique Q, le pôle a du plan (3yô par rapport à Q est sur la cubique. En effet, le plan polaire de [3 par rapport à Q doit couper la cubique aux sommets d'un triangle conjugué à Q, et, comme y et ô sont deux de ces sommets, le troisième est nécessairement a.

La cubique F est dite harmoniquement circonscrite à Q.

147. Supposons que le tétraèdre T soit ofthocentrique et que la quadrique 0 soit la sphère 2 conjuguée à ce tétraèdre. D'après ce qui précède, toute cubique gauche circonscrite au tétraèdre T et passant par le centre 0 de 2 coupera le plan polaire de 0 par rapport à 1, c'est-à-dire le plan de l'infîni, aux trois sommets d'un triangle conjugué à l'ombilicale; autrement dit :

Les cubiques gauches circonscrites à un tétraèdre orthocentrique et passant par son orthocentre sont équilalères.

Réciproquement :

Toute cubique cquilatère circonscrite à un tétraèdre or thocentrique passe par son orthocentre.