CHAP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS

(l'une manière inverse : une propriété tlémonlrée clans un cas particulier peut, en effet, fréquemment fournir un théorème plus général au moyen d'une transformation homographique. Nous en avons déjà vu un exemple dans les n°* 85 et 137, dans lesquels nous avons montré que deux coniques ou deux quadriques peuvent être transformées l'une en l'autre par polaires réciproques : nous avons, par une transformation homographique, étendu au cas général celte propriété facile à concevoir dans le cas où les deux coniques ou les deux quadriques envisagées ont les mêmes axes. Nous allons encore indiquer quelques exemples de ce procédé de généralisation.

14-9. Les propriétés descriptives des cercles fournissent ainsi des propriétés des coniques.

Considérons, par exemple, les cordes d'un cercle vues sous un angle donné d'un point fixe, m', de cette courbe. Leur enveloppe est évidemment un cercle concentrique au premier. Si nous faisons une transformation homographique telle que les points cycliques se transforment en deux points quelconques a el b et le point m' en un point m, le cercle considéré se transforme en une conique F circonscrite au triangle ma6, et les côtés d'un angle de grandeur donnée issu de m' ont pour transformées deux droites issues de m et telles (34) que le rapport anharmonique de ces droites et des droites ma et mb ait une valeur donnée. On voit donc que :

Les cordes interceptées sur une conique par les rayons homologues de deux faisceaux hom.o graphiques issus d^un même point de cette conique enveloppent une conique bitan- ^ente à la première aux points où elle coupe les rayons doubles des faisceaux considérés.

Considérons encore les cordes interceptées sur un cercle par les parallèles à des directions données issues d'un point variable de ce cercle : elles enveloppent encore un cercle concentrique. Par une transformation homographique, les points à l'infini des directions données deviennent deux points a el 6, le cercle donné se transforme en une conique F

APPLICATIONS DES TRANSFORMATIONS HOMOGRAPIIIQL'KS. Il3

et aux cordes considérées correspondent les cordes interceptées sur r par les droites ma et mb^ m se déploçant sur r : on voit que cette enveloppe est une conique bitangente à F aux points où elle coupe la droite ab. Dans le cas particuli(*r où les directions envisagées sont rectangulaires, l'enveloppe se réduit au centre du cercle donné; à cette hypothèse correspond, dans le cas général, celle que les points a el b sont conjugués à F : l'enveloppe considérée se réduit alors au pôle de la droite ab par rapport à celte conique. Autrement dit :

// existe une injînité de triangles inscrits à une conique et circonscrits à un même triangle conjugué à cette conique.

Voici encore un exemple d'un théorème presque intuitif dans le cas de cercles, et qui fournit une propriété générale de deux coniques :

Soit a un point commun à deux cercles de centres/ et/' : les tangentes en a à ces cercles, étant normales aux droites af et af, sont également inclinées sur ces droites. Par suite, il existe une conique de foyers/ et/ qui touche ces- deux tangentes; cette conique touche évidemment aussi les tangentes aux deux cercles menées en leur second point cominun b. Une transformation homographique fait correspondre aux deux cercles deux coniques quelconques, les droites isotropes issues de/ et de/' ayant pour transformées les tangentes à ces coniques aux points qui correspondent aux points cycliques; aux points a ei b correspondent enfin les deux autres points communs à ces coniques. On voit ainsi que :

Les huit tangentes menées à deux coniques en leurs points communs touchent une même conique.

Corrélativenftent :

Les points de contact des tangentes communes à deux coniques sont huit points d'une même conique.

130. On pourrait multiplier les applications de ce genre ; nous en indiquerons quelques-unes dans la suite; nous nous limiterons pour le moment à trois exemples.

Il4 CHAP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATiaNS,

Proposons-nous d'abord le problème suivant :

Trouver le lieu des foyers des paraboles qui passent par deux points fixes a et h et dont l'axe a une direction donnée.

Faisons une transformation homograpbique telle qu'aux points a et b correspondent les points "cycliques de la nouelie figure, et qu'aux points cycliques de la figure primitive correspondent i\eu\ points quelconques a et (5. Le pointa l'infini des axes considérés se transforme en un point •/ de la droite ajS, et le lieu cberché a pour transformé le lieu du point d'intersection des tar)gentes menées par a et ^ aux cercles tangents en ■/ à la droite «jS. Or on voit sans peine, au moyen des piopriélés élémentaires des rayons vecteurs d'une conique, que ce nouveau lieu est la conique de foyers a et (3 qui passe par y; ce lieu est donc tangent aux droites qui joignent oc et (3 aux points cycliques. Le lieu demandé est donc une conique tangente aux droites qui joignent les points cycliques aux points a et b, c'est-à-dire une conique de foyers a et b; une des asymptotes de cette conique est, d'ailleurs, parallèle à la direction donnée des axes.

151. Étant donnée une conique F, soit M un point arbitraire, et soient P et Q les points de contact des tangentes menées de M à F. Le cercle circonscrit au triangle MPQ coupe F en* deux autres points P' et Q', tels (86) que le pôle M' de P'Q' par rapport à F soit sur le cercle considéré. Nous allons montrer que les points M et M' et les deux foyers réels (ou les deux foyers imaginaires) de F sont quatre points d'un même cercle (').

Transformons homographiquement la figure, de manière que les points M et M' aient pour transformés les points cycliques que nous désignerons par m et m'; la conique F se transforme en une conique y et le cercle considéi'é a pour transformé (86) le cercle orlhoptique de y. Les deux foyers réels (ou imaginaires), F et F' de F, deviennent deux sommets opposés /et/' du quadrilatère formé par les tangentes

(') Problème proposé en 1891 au Concours d'admission à l'École Normale {voir, par exemple, Revue de Math, spéc, octobre 1891, p. igS).

APPLICATIONS DES TRANSFORMATIONS lli iMOGHAPlH^»LF>. 1 T j

à y issues des points i ely, transformés des poims cycliinies de lu prentiière figure. Le pr()l)lème initial se ninèrH» donc à montrer que les points m, m', /, f^, i elj sont snr une même conique; autrement dit, que les quatie points/.^"", / eiy^ont sur un même cercle. Or les points ^ et y sont sur le cercle orthoptique considéré, puisque celui-ci est le transformé d'un cercle de la première figure; par suite, les tangentes // et if sont reclangiilaiie?, ainsi que les tangentes y/ et y/'. Il en résulte que le cercle.de diamètre //' passe jiar «et/, ce qui démontre la propriété annoncée.

Io2. Considérons un cercle C passant par le centre ojfl'une hyperbole équilatère H et tangent à cette courbe en un point a. Soit ù le point diamétralement opposé à a dans l'hyperbole, et soient m et n les points communs à celle courbe et au cercle en question. La cnrde mn et le diamètre ab sont rectangulaires, car ces droites sont, en direction, symétriques de la tangente en a, la première par rapport aux axes (01), et la seconde par rapport aux asymptotes de H.

Le point n, par exemple, est donc (90) l'orthoccntre du triangle abm, et, par suite, d'-iprès un théorème connu de Géométrie élénieniaire, si l'on désigne |)ar h le point commun aux droites ab et mn, on a la i-elation

ba./ib -h hm.hn zz: o.

Les points a, w, m et n étant sur un même cercle, on a, d'ailleurs,

ha./ici) = hrn.ltn.

De ces deux relations on déduit que h est le milieu du segment wb. Le point m est donc équidistant des points Ci) et b, et, par suite, son symétrique p par rapport au centre w est aussi équidistant des points w et a. Le point a est donc sur le cercle de centre p qui passe par 03, et l'on voit, par suite, que :

Si, par le centre w et par un point m d'une hypei hole équilatère^ on mène les cercles tangents à la courbe, en des points autres que m, ces points sont sur un cercle passant

ii6 c.iiAP. VI. — firunK UK quelques transformations.

par w et dont le centre est le symétrique p de m par rapport

Transformons homographiquement ce résultat: au triangle déterminé par le point w et les' points cy<;liques correspond un triangle arbitraire T; H se transforme en une conique T conjuguée à ce triangle, et le théorème précédent devient !e suivant :

Étant donné un triangle T conjugué à une conique F, on peut par tout point m de Y faire passer quatre coniques circonscrites au triangle T et tangentes à T en des points différents de m. Ces points sont sur une mérrie conique ctrconscrite à T.

Supposons, en particulier, que le triangle T ait pour côtés la droite de l'infini et les axes de T. Les quatre coniques à considérer sont alors les hyperboles d'Apollonius relatives à r, qui passent par un point m de cette conique et lui sont tangentes; les quatre points de contact ainsi obtenus sont alors sur une même hyperbole d'Apollonius.

Les normales en ces quatre points sont donc concourantes. Or la normale au point m rencontre chacune d'elles au point où celle-ci touche la développée de F, puisque cette dernière équivaut à deux noimales infiniment voisines menées de ce point à r. Inversement, les tangentes menées à la développée aux points où elle coupe la normale en m sont concourantes. Ainsi :

5i, à une développée de conique à centre on mène une tangente quelconque, celle-ci coupe la développée en quatre points différents du point de contact. Les tangentes à la développée en ces quatre points sont concourantes (*).

153. Nous avons eu déjà l'occasion de définir (8i^ et 113) la transformation par polaires réciproques dans le plan et dans l'espace. Cetle transformation, dont Poncelet fit un usage étendu, fut le premier exemple d'une transformation corrélative.

(' ) Ct! théorème est Jù îi Laguorre. L'auteur île cet Ouvrage l'avait retrouvé l'ii 1S92 {Revue de Malli. spéc, iev. 1892, p^ 257).

Al'I'LICATIONS Di;S TRANSFORMATIONS nOilOGnAPHIQL'HS. II7

Nous avons vu commeni, grâce à un théorème do Lagueire (3i), les relations angulaires peuvent se transformer, en général, par une Iransformalion Iiojnographiqne ou corrélalivc; mais elles se transforment d'une manière parlicidièrement simple par polaires réciproques par rapport à une sphère ou à un cercle.

Il est bien évident, en effet, que l'angle de deux plans est égal à celui des droites qui joignent au'' pôles de ces plans le centre de la sphère directrice; et l'on a une propriété analogue dans le plan.

La raison de cette simplicité de transformation des propriétés angulaires, c'est que, par exemple, dans le plan, les polaires des points cycliques paj rapport à un ccicle, qui sont évidemment les tangentes à ce cercle en ces points, sont les droites isotropes issues du centre co de ce cercle. On voit, par suite, que la transformée d'un cercle quelconque, c'està-dire d'une conique passant par les points cycliques, est tangente aux droites isotropes issues de Wv ou, autrement dit, que cette transformée admet w pour foyer. De même. dans l'espace, les polaires réciproques des sphères, relativement à une sphère, sont des quadriques de révolution admettant pour foyer principal le centre de lasphère directrice.

Par exemple, aux coniques de foyer w, qui passent par trois points a, b et c, vont correspondre, par polaires réciproques relativement à un cercle de centre o), les cercles tangents aux polaires des points a, b et c. De la construction bien connue des quatre cercles inscrits à un triangle, on déduit donc aisément une solution du problème de Halley (n°73),qui revient d'ailleurs à celle que nous avons indiquée, comme on s'en rend compte en remarquant qu'aux centres des quatre cercles en question correspondent les polaires du point w par rapport aux quatre coniques à déterminer, c'està-dire leurs directrices relatives au foyer fo.

loi. Indiquons deux applications de la transformation par polaires réciproques relativement à un cercle ou à une sphère.

Transformons d'abord la propriété suivante : les cordes d'un cercle F, vues sous un angle donné d'un point fixe w de ce cercle, enveloppent un cercle. C concentrique à F. Fre-

il s CHAP, TI. — ÉTLDE DE QLKLQUKS TKA.XSFORMATIONS.

iiuns pour c^rcte diiecleur un cercle de centre co : au certie Tva corriispondre évidenimerU une parabole T', de foyer m; aux cordes considérées correspondent les points d'où la parabole F' est vue sous l'angle donné ; le lieu de ces points eàt la transformée de C, c'est-à dire une conique de foyer cû; de plus, comme F et C sont concentriiiues, le point 0) doit avoir même polaire par rapport à F et à C. Par suite :

Le lieu des sommets des angles de grandeur donnée circonscrits à une parabole est une conique admettant le foyer de la parabole pour foyer et sa directriee pour directrice correspondante.

loo. Comme seconde application, prenons la propriété suivante, que nous avons obtenue précédemment (n° 14-0) : les quadriques circonsciites à un tétraèdre orlbocentrique et qui passent par son orlhocenlre sont des hyperboloïdes équilalères. Prenons pour sphère directrice la sphère conjuguée au tétraèdre orthocentrique en question : elle a pour centre l'orthocentre de ce tétraèdre, de sorte que les quadriques qui passent par ce point se transforment en paraboloides. Aux quadriques envisagées correspondent donc les parabolordes inscrits au tétraèdre. D'ailleurs à un hyperpoloïde équilatère correspond une quadrique telle que le cône circonscrit issu de l'orthocentre soit inscriplible à des trièdres trirectangles. Enfin le lieu des sommels des trièdres trirectangles circonscrils à un paraboloide est son plan orthoptique. On voit donc que :

L'orthocentre d' un tétraèdre orthocentrique circonscrit à un paraboloide est dans son plan orthoptique.

A propos de la ti-aasformalion par rayons vecteurs réciprojues, nous aurons plus loin à revenir sur la transformation par polaires réciproques relativement à un cercle ou à une sphère (' ).

(') Mannlieiiii ainunlrc (■oiniinMit on peiil tiausforiner les lelatious inétritjues par polaires réciproques relativement à un cercle; on y parvient facilemeDt en reiu;ir({uant qu'à dos cercles de grandeur donnée correspondent des coniques de l.aïainétre ii.xo.

EBPRÉSENTATIONS PLANES DES QCADRIQUES. II9

Représentations planes des qaadriques.

156. Nous avons déjà (tr 15) considéré deux sortes de transformations des figures : les premières, comme les transformations homographiques et corrélatives, s'étendent aux éléments de tout l'espace; dans les autres, au contraire, on n'envisage que les éléments dedeuxsurfaces. Si, par exemple, ces sui'faces se correspondent point par point, on dit que l'une des surfaces est représentée sur l'autre : c'est le cas des transformations planes.

11 esi, par exemple, facile d'obtenir sur un plan P une représentation d'une quadrique arbitraire Q: r.) étant un poin't fixe de cette surface, et a en étant un point quelconque, il suffit de faire correspondre à ce point le point a', oh la droite wa perce le plan P. A lout point de Q correspond ainsi un seul point de P, et il n'y a exception que pour le point w, auquel correspondent tous les poinU de l'intersection du plan P et du plan tangent à Q en oj. D'autre part, les points iQ\.j,x)i\ le plan P rencontre les deux génératrices de Q qui se croisent en w, sont les seuls points du plan P qui correspondent à plusieurs points de la quadrique: chacun d'eux représente tous les points de la génératrice correspondante.

157. A toute courbe F tracée sur Q correspond une courbe T' du plan P. Si F est l'intersection de Q avec une surface de degré n, chacune des génératrices w/ et 'j)j contient n points de cette courbe ; par suite, les points i et y' sont des points multiples d'ordre n dans la courbe F'. Par exemple, si F est une biquadratique gauche, F' est une courbe du quatrième degré admettant /et/ pour points doubles.

A toute section plane deQ correspond donc, dans le plan P. une conique passant par «ety, et réciproquement, car le cône de sommet co, ayant pour base une conique passant par i clj, contient les génératrices wt et coy et coupe par suite Q suivant une seconde courbe plane.

Étant donnée une conique F sur Q, il est facile d'obtenir les tangentes en i et y' à sa transformée F' : ce sont, en effet,

I20 ClUP. AI. — ÉTLDE DE QLKLQLKS TRANSFORMATIONS.

bien évidemment, les traces sur le plan P des plans tangents à Q aux points où F coupe les génératrices wt et w/. Ces deux plans tangents passent d'ailleurs par le pôle p, par rapport à Q, du plan de F ; les tangentes en ^ ety à F se coupent donc au point/»'-, où co/? perce le plan P.

Dans le cas particulier où le plan P est parallèle au plan tangent en c6, le point /j' devient le centre de F'.

158. La représentation précédente permet donc de ramener l'étude des propriétés des coniquçs F', qui passent par i et y, à celles des sections planes F de la quadrique Q, et réciproquement. En voici un premier exemple :

Les deux points communs à deux coniques F, et F2, situées sur Q, ont pour projections sur P les deux points, autres que i ety, où se coupent F'j et F!,. Autrement dit, la seconde corde commune aux coniques F', et F', est la projection sur P de l'intersection des plans de Fj et de F,. Or, si nous considérons trois sections planes de Q, les intersections de leurs plans, pris deux à deux, passent évidemment par le point commun à ces trois plans ; leurs projections sur P sont donc concourantes. Par suite :

Quand trois coniques d'un même plan ont deux points communs^ les trois droites qui joignent les autres points que ces coniques ont deux à deux en commun sont concourantes.

En particulier :

Les axes radicaux de trois cercles pris deux à deux sont concourants.

159. Comme autre application, transformons le théorème suivant, qui résulte de ceux du n° 102 : si trois coniques harmoniquement circonscrites à une même conique C ont pour corde commune ij, les cordes communes conjuguées, qu'elles admettent deux à deux, passent par le pôle a de ij par rapport àC.

Or, aux coniques harmoniquement circonscrites à C vont correspondre sui' 0 'es sections par les plans qu'interceptent sur cette quadrique les arêtes des trièdres obtenus en joi-