REPRESENTATIONS PLANES DES ODADRIQUES

gnant le point w aux sommets des triangles conjugués à C, trièdres qui sont donc conjugués au cône de sommet w et de directrice C- Les plans ainsi déterminés sont donc tels que les droites communes à trois quelconques d'entre eux, pris deux à deux, se coupent en un point de coa ; par suite, ces plans coupent tous ota au même point. Donc :

Les trièdres conjugués à un cône du second degré dont le sommet appartient à une quadrique, interceptent sur celle-ci des plans qui passent par un point fixe (').

160. La représentation plane d'une quadrique permet de ramener ainsi les unes aux autres un grand nombre de questions relatives aux figures tracées sur une quadrique ou sur un pl.Eln.

Considérons, par exemple, sur la quudrique Q une biquadratique gauche passant par le centre de projection a> : sa projection sur le plan P est une cubique passant par les points i et y. On obtient d'ailleurs ainsi toutes les cubiques du plan P qui passent par i ety, car une telle cubique se trouve définie par la donnée de sept autres points (neuf points définissant en général une cubique), et les projections de ces sept points sur Q déterminent, avec co, une biquadratique gauche située sur Q. Ainsi, l'étude des cubiques du plan P qui passent par t ety se ramène à celles des biquadratiques gauches de Q qui passent par co (=*).

A, toutes les biquadratiques considérées qui passent par six points, en outre du point w, correspondent donc des cubiques qui passent par six points, en outre des points i ety. Or les premières de ces courbes passent, d'après le n° 144, par un huitième point fixe ; par suite, les cubiques considérées ont un neuvième point fixe. On voit ainsi comment l'étude des neuf points communs à deux cubiques d'un même pian peut se ramener à celle des huit points communs à trois quadriques.

(') Dans le cas pai'ticulier où les trièdres considérés sont Irirectangles, ou a un théorème dû à Frégier (1816).

(-) Cette remarque est due à M. Picquet {Bull, de la Soc. de Malh., 1894, p. 21).

122 CHAP. VI. — ÉrUDK DE QUELQUES TRANSFORMATIONS.

Inversion.

161. Un cas particulièrement intéressant de la transformation que nous venons d'étudier est celui où les points i et y sont les points cycliques du plan P : il se produit lorsque, le point w étant un ombilic de Q, le plan P est i)arallèleau plan tangent à Q en ce point. Les sections planes de Q se projettent ainsi sur le plan P suivant des cercles et réciproquement.

Dans le cas particulier où la quadricjue Q est une sphère S et où le plan tangent en co est parallèle au plan P, on obtient \a projection stéréographique qui était déjà connue de Ptolémée. Dans ce cas, la sphère S et le plan P peuvent d'ailleurs être considérés comme des surtaces se correspondant dans une transformation qui s'étend à tout l'espace, la transformation par rayons vecteurs réciproques ou par inversion. due à Bellavitis (i836).

C'est une transformation ponctuelle qui, étant donné un pôle fixe w, fait correspondre à tout point m un point m' de la droite co/n, tel que le produit w/n. um' ait une valeur donnée qu'on nomme puissance de la transformation. On voit que les points ni et m' sont réciproques; autrement dit, l'inversion est une transformation involutive.

16*2. Si l'on considère la sphère 2 de centre co dont le carré du rayon est égal à la puissance d'inversion, on voit que les points m et m' sont points conjugués à cette sphère, situés sur un même diamètre. L'inversion est donc un cas particulier de la transformation définie de la manière suivante :

Étant donnés une quadrique Q èl un point fixe &>, on fait correspondre à tout point m le point m' où la droite wm coupe le plan polaire de m par rapport à Q : on définit bien ainsi une transformation involutive.

Le transformé du point co est indéterminé dans le plan polaire de ce point, puisque la droite w/n est alors indéterminée. Il existe encore un autre cas où le point m' est indéterminé : c'est celui où la droite ww se trouve dans le plan polaire du point m, ce qui ne se produit que si elle est tan-

gcnte à la quadrique Q au point m : le point m' est alors indéterminé sur la droite oo«î, et, réciproquement, le point m correspond àlout poirjt de cette droite. Désignons \)nr II le plan polaire de w, et par F sa conique d'intersection avec Q. Supposons que le point m engendre une surface (/«) ne cojitonant ni le pôle co, ni la co-nique F, Aux points d'intersection de cette surface avec !c plan II correspondent des poinis infiniment voisins de oj, situés sur les génératrices du cône de sommet w qui admet poiii' ilireclrice l'intersection en question ; la surface (m') admet donc en w un point multiple doni lii multiplicité est égale au degré de (m). D'autre part, si l'on considère une droite quelconque issue de w, à tout point de {ni) situé sur celle droite correspond un point de {m'). On voit donc que le degré de {m') est double de celui de (m). En outre, la conique F est, sur (m'), une courhe multiple d'ordre égal au degré de (m), car chaque point de F coirespond aux divers points d'intersection de {m) avec la droite qui le joint au pôle w.

Dans le cas oij la surface (m) admet « pour point multiple d'ordre p, le degré de {m') et l'ordre de multiplicité de F diminuent de p unités, comme on le voit aisément. Si, au contraire, {m) admet F comme courbe multiple d'ordre «jr, le degré de (m') et l'ordre de. multiplicité du pôle w diminuent de 27 unités. Ainsi :

A une surface de degré «, admettant te pôle pour point multiple d'ordre p et les points de F pour points multiples d'ordre 7, correspond une surface de degré {n — p — 27). admettant le pôle pour point multiple d'ordre {n — 217) et les points de F pour points multiples d'ordre ( « — p).

Dans le cas de l'inversion, ia courbe F est l'ombilicale; on voit ainsi que l'inverse d'un plan est une sphère passant pur le pôle, que l'inverse d'une sphère est une sphère, que l'inverse d'une quadrique est une surface du quatrième degré, admettant le pôle pour point double et l'ombilicale pour ligne double.

1G3. Il est d'ailleurs facile de trouver directement plusieurs de ces résultats.

J24 CHAH. VI. — fiTUDE DE QUELQUES THANSFORMATIONS.

Il est bien évideni,, en effet, que, si l'on considère toutes les inversions de même pôle, les différentes transformées d'une même figure seront homothétiques par rapport au pôle. Or, étant donnée une sphère quelconque, elle se transforme évidemment en elle-même, si l'on prend pour puissance d'inversion la puissance du pôle ppr rapport à celte sphère. Par suite : ,

La Iransforinée d'une sphère est une sphère.

Dans le cas où la sphère se transforme en elle-même, deux points réciproques de celte sphère se correspondent évidemment aussi dans une transformation homologique, 1^ centre d'homologie étant le pôle d'inversion et le plan d'homologie étant son plan polaire par rapport'à la sphère. Par suite, à une courbe sphérique d'un certain degré en correspondra une du même degré ; on en déduit que dans le cas général :

L'inversion conserve le degré des courbes sphériques.

Rappelons, enfin, que la figure inverse d'un plan est une sphère passant par le pôle, le plan tangent à celle sphère au pôle étant parallèle au plan considéré. La projection stéréographique est donc bien un cas particulier de l'inversion.

A deux plans vont donc correspondre deux sphères passant par le pôle w et par le cercle qui correspond à l'intersection des deux plans. Comme les plans tangents en w à ces deux sphères sont parallèles aux plans considérés, elles se coupent en tous leurs points communs sous un angle égal à celui des plans donnés. Comme, d'autre part, à des surfaces tangentes correspondent des surfaces tangentes, on voit que :

L'inversion conserve les angles.

164. Comme nous l'avons déjà remarqué (162), deux points a Ql b qui sont réciproques dans une inversion sont tels que toute sphère passant par a et 6 coupe orthogonalement une sphère fixe S. Il en résulte que :

Les figures inverses de deux figures inverses V une de l'autre sont encore inverses l'une de l'autre.

En effet, si nous transformons pur inversion la |)ren)ièie figure, à 1.1 sphère S correspond une sphère S' et aux points a et 6 deux points a' et b' tels que toutes les sphères qui passent par a' et b' coupent orthogonalement S'.

Si nous avions piis pour pôle d'inversion un point de S, la sphère S' se réduirait à un plan, elles points a' et 6' seraient symétriques par rapport à ce plan. On voit donc que :

On peut toujours transformer par inversion deux figures inverses en deux figures symétriques par rapport à un plan.

Deux courbes d'une môme sphère qui sont perspeclives l'une de l'autre peuvent être considérées comme des figures inverses; en les transformant par inversion, on aura donc encore deux figures inverses. En particulier :

Quand deux figures situées sur une même sphère sont en perspective^ leurs projections stéréographiques se correspondent par rayons vecteurs réciproques.

165. Lorsqu'une courbe ou une surface se transforme en elle-même par inversion on dit qu'elle est anallagmalique. Du premier théorème du numéro précédent on déduit donc que :

L'inverse dune figure anallagmalique est aussi anallagmatique.

On voit aussi que :

On peut, par inversion^ transformer une figure anallagmatique en une figure ayant un plan de symétrie.

Enfin :

Une courbe anallagmatique plane peut être considérée comme la projection stéréographique de l'intersection d'une sphère et d'un cône.

Or, si l'on considère l'intersection d'une sphèi'c S et d'un cône 1, tout plan T tangent au cône coupe la sphère suivant un cercle qui est visiblement bitangent à cette intersection. Ce cercle coupe d'ailleurs orthogonaleiiiient le cercle de la