CHAP. VI. — ÉTUDB DE QUELQUES TRANSFORMATIONS

sphère situé dans le plan polaire du sommet du cône. Par une projection stéréographiqne, ce cercle se transforme donc en un cercle F d'un plan P coupant orlhogonalement un cercle fixe et ayant pour centre la projection du pôle du plan tangent T. Quand le plan T varie en restant tangent an cône 2, sjon pôle décrit une courbe plane, située dans le plan polaire du sommet de 2, et dont le degré est égal à la classe de ce cône. Le centre du cercle F décrit la projection de cette courbe sur le plan P, et la courbe anallagmatique envisagée est définie comme étant l'enveloppe du cercle F. On nomme déférente le lieu du centre de ce cercle, et cercle directeur le cercle qu'il coupe orthogonalement. Le rentre de ce dernier est (157) la projection du sommet de 1.

166. Les courbes âiiallagmaliques dontla déféi-ente est une conique sont appelées cycliques planes. Le cône D est alors de la seconde classe, et, par suite :

Toute cyclique plane est la projection stéréographique d'une biquadratique spKérique (*).

D'autre part, par toute biquadratique, il passe quatre cônes du second degré 2; par suite, toute biquadratique sphérique est anallagmatique de quatre manières; il en résulte que:

Toute cyclique plane est anallagmatique de quatre manières.

Toute cyclique plane a donc quatre déférentes; qui sont toutes quatre des coniques, puisque les quatre cônes 1 sont de la seconde classe. Ces quatre coniques sont d'ailleurs les projections sur le plan P des coniques C de l'espace qui correspondent aux cônes 1 par polaires réciproques relativement à la sphère S. Par suite, les coniques C appartiennent à un même faisceau tangentiel, qui comprend la sphère S. Par tout point w de l'espace, il passe donc quatre plans tangents à ces coniques et à la sphère S. Si le point w est en particulier le centre de projection, ces quatre plans se cou-

(') Laouerri:, fSidt. de la Soc. philom., 1867.

pent deux à deux suivant les génératrices de la sphère qui se croisent en co. Les traces de ces plans sur le plan P sontdonc des droites isotropes ; il en résulte que les quatre déférentes ont quatre tangentes isotropes communes ; autrement dit :

Les quatre déférentes sonthomofocales.

A chaque déférente correspond un cei-cle directeur; le centre de chacun d'eux est la projection sur le plan P du sommet d'tin des quatre cônes 1 considérés. Or ces quatre sommets déterminent un tétraèdre conjugué à la sphère S, et les cercles directeurs sont les projections stéréographiques des sections de S par les faces de ce tétraèdre. On en déduit que :

Les quatre cercles directeurs se coupent deux à deux orthogonalement.

Les sommets de trois cônes 2 déterminent un triangle à la fois conjugué à la sphère S et au quatrième cône 1; ce triangle est donc conjugué aussi à la conique C, polaire réciproque de ce dernier cône par rapport à 2. Dans la projection on voit donc que :

Les centres de trois cercles directeurs sont les sommets du triangle conjugué à la fois au quatrième cercle directeur et à la déférente correspondante.

Les théorèmes qui précèdent permettent, étant donnés une déférente et son cercle directeur, de déterminer les trois autres déférentes et leurs cercles directeurs.

167. On peut considérer sous le nom de transformation anallagmatique la transformation qui fait correspondre dans le plan, à une courbe quelconque, la courbe anallagmatique admettant la courbe donnée pour déférente, le cercle directeur étant donné : c'est une transformation de contact, qui à tout point m du plan fait correspondre le cercle ayant ce point pour centre et orthogonal à un cercle fixe F. A deux points conjugués au cercle F correspondent ainsi deux cercles qui se coupent orthogonalernent, car ils peuvent, d'après ce qui précède, être considérés comme les projections stéréo-

raS CIIAP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS.

graphifjues des sections d'Une splière par deux plans conjugués à celle sphère.

A' tous les points m d'une droite D correspondent ainsi des cercles qui passent par deux points fixes a et (3, réciproques par rapport au cercle directeur. Si fa droite D est tangente à une enveloppe quelconque, les points a et (3 décrivent la transformée anallagmatique de cette enveloppe. On voit ainsi qu'à chaque tangente commune à deux déférentes correspondent deux points communs à leurs transformées.

Considérons en particulier la famille de courbes anallagmatiques ayant le même cercle directeur T et dont les déférentes sont des coniques passant par quatre points fixes de ce cercle directeur. Considérons deux de ces déférentes et une de leurs tangentes communes D : à cette droite correspondent deux points a et (3 communs aux deux cycliques correspondantes. D'autre part, les deux points de contact de D avec les deux déférentes sont (n°67) les points doubles de l'involution. déterminée sur D par le faisceau des déférentes considérées; ils sont donc conjugués au cercle F, qui appartient à ce faisceau. Les cercles qui correspondent à ces points, et qui louchent les deux cycliques considérées en a et en (3, se coupent donc orlhogonalement en ces points; il en est donc de même des deux cycliques. Ainsi :

Les cycliques ayant un même cercle directeur et dont les déférentes passent par quatre points fixes de ce cercle fornlent un système orthogonal.

D'après la définition même des courbes anallagmatiques, les points communs au cercle direcleuret à la déférente sont des cfrcles de rayon nul bitangenls à ces courbes ou, d'après la définition de Plucker (n° 69), des foyers de ces courbes. On montre que, dans le cas des cycliques, la donnée de quatre foyers situés sur un môme cercle directeur suffit à déterminer tous les autres; le théorème précédent peut donc s'énoncer ainsi :

Les cycliques honiofocales forment un système urlhogonal. La démonstration que nous venons de donner peut s'étendre.

INVERSKIN. I2Q

dans. l'espace, aux aurfaces anallajrmalk|iies doni la surface déférente est une quadrique, et qu'on jiomme cyclides. A des déférentes passant par une môme biquadratique gauche de la sphère directrice correspondent alors des cyclides qui forment un système triplement orthogonal (').

168. Lorsque la déférente est une conique bilangcnte au cercle directeur, la cyclique correspondante se décompose en deux cercles. En efl'et, d'après ce que nous avons vu, si l'on fait passer une sphère par le cercle directeur, la courbe anallagmatique est la projection sléréographique de rinlerseclion de cette sphère par le cône qui, par rapport à celte sphère, correspond à la déférente par polaires réciproques. Or, dans le cas actuel, ce cône est un cône du second degré bitangent à la sphère, qu'il coupe donc suivant deux cercles.

169. Un autre cas de réduction est celui oîi la déférente est une parabole. Le cône qui correspond par polaires réciproques à cette parabole, par rapport à une sphère menée par le cercle directeur, passe en effet alors par le centre de la projection sléréographique considérée. Ce centre de projection appartient donc à l'intersection de ce cône avec la sphère, et celte courbe se projette donc suivant une cubique circulaire, qui est anallagmalique de quatre manières.

Comme les droites qui joignent un point d'une biquadratique gauche aux sommets des cônes qui la contiennent sont évidemment des cordes de celle courbe, on voit (juc les quatre pôles d'anallagmatie se trouvent alors sur la cubique. On se rend compte aisém'^nt qu'ils sonl les points de contncl des quatre tangentes à celte courbe parallèles à son asymptote réelle.

170. Les sections planes d'un tore offrent un exemple simple de cycliques. Le tore étant, en etïet, l'enveloppe d'une

( ' ) Dans l'Ouvrage do M. Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces, le lecteur trouvera d'intéressants développements de ces propriétés, qui ont été étudiées par Manuhcim,, Moutard, Laguerre, MM. Darboux, Uumbert, etc.

loo OHAV. VI. — i:ri ur. ^)l• q\ i;i.yiES transformations,

s[»lu'fe - de giaiuleiir donnée, tloiil le ceiilie décrit un cercle Y, toute section par un plan P peut être considérée comme l'envelopiie des cercles C suivà't lesquels le plan P coupe les sphères i. Or tout point de l'axe du tore a même puissance par rapport aux sphères 1; par suite, le point w où cet axe perce le plan P a même puissance par rapport aux cercles C, dont le centre décrit d'ailleurs l'ellipse suivant la- (|uellele cercle F se projette orthogonalemeai sur le plan P. Le cercle directeur est, dans ce cas, concentrique à la déférente : les cycliques ainsi obtenues sont aussi appelées spiriqueSf

Dans le cas d'un plan biiangenl au tore, on se rend compte aisément que la déférente est bitangente au cercle directeur. Par suite : -

La section d'un tore par un pian bitangent se compose de deux cercles.

Eu remarquant que la ligure inverse d'un tore par rapport à un point de son axe est encore un tore, M. Mannheima généralisé le théorème précédent, dû à Villarceau, et obtenu l'énoncé suivant:

Toute sphère bitangente à un tore le coupe suivant deux

cercles.

171. Comme autre application de l'inversion, transformons le théorème suivant, dont la démonstration est immédiate : Si l'on considère tous les cercles d'un pian P qui ont en un point a une tangente donnée, le lieu des points de contact des tangentes parallèles à une direction donnée se compose lie deux droites rectangulaires issues du point a.

En prenant pour pôle d'inversion un point quelconque |3 de l'espace, le plan P se transforme ^n. une sphère passant par (3, les cercles considérés deviennent des cercles A de cette ^[)hère ayant en un pointa une tangente donnée; enfin les droites du plan P qui ont une direction donnée ont pour transformées des cercles B de la sphère ayant en (3 une tangente donnée. Le lieu considéré se vansforme donc en celui des points de contact des cercles A et li, qui se compose donc (le deux cercles orthogonaux passant par a et b.

• INVÏRSION. lîl

Soit m un point de ce lieu : la tangente commune menée en ce point aux deux cercles A et B qui s'y louchent rencontre à la fois les deux tangentes fixes données qui passent par a et P; le lieu peut donc être considéré comme celui des points de contactdes tangentes à la sphère qui en rencontrent deux tangentes fixes. Ainsi :

Le lieu des points de contact des tangentes à une sphère qui s'appuient sur deux tangentes fixes se compose de deux cercles qui se coupent orthogonalement aux points de contact des tangentes fi^es ( ' ) .

172. Deux points réciproques d'une inversion étant deux points conjugués à une sphère fixe appartenant à un même diamètre, chacun d'eux est évidemment la projection du centre de la sphère sur le plan polaire de l'autre par rapport à celte sphère ; on en déduit que :

La podaire d'un point w par rapport à une surface et la. polaire réciproque de cette surface par rappoft à une sphère de centre w sont deux figures inverses, co étant le pôle d'inversion.

D'après le théorème général du i° 162, il résulte de là que :

La podaire d'un point w par rapport à une surface de classe n est, en général^ une surface de degré 2n, admettant le point w et les points de l'ombilicale pour points multiples d'ordre n.

Les cas d'exception sont ceux oii la surface considérée est telle que sa polaire réciproque par rapport à une sphère de centre 0) passe par w ou par l'ombilicale; il faut pour cela que cette surface soit tangente au plan de l'infini ou inscrite au cône isotrope de sommet co. Par exemple :

La podaire d'un point <o par rapport à un paraboloïde est une surface du troisième degré passant par l'ombilicale et admettant (ji pour point double.

(') Cette application est due à Manalu.-im, Bull, de la SOc. math., l. XXV, »897. P- 79-

l32 CHAP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS. *

La podaire d' an foyer principal d'une quadrique de révolution par rapport à cette surface est une sphère.

On voit, d'une manière générale, que les podaires des quadriques sont des inverses de quadriques, et réciproquement.

Les propriétés analogues ont lieu dans le plan. On voit, en particulier, que l'inverse d'une conique par rapport à un de ses foyers est la podaire d'un cercle, podaire qu'on nomme limaçon de Pascal. La podaire d'une hyperbole équilatère par rapport à son centre est inverse de celte hyperbole ellemême, car celle-ci se transforme évidemment en elle-même par polaires réciproques relativement au cercle décrit sur son axe Iransverse comme diamètre : cette podaire est connue sous le nom de lemniscate de Bernoulli.

Transformons, par exemple, par inversion le premier Ihéorème énoncé dans le n° 153, en prenant pour pôle le centre w de l'hyperbole équilatère considérée: celle-ci se transforme en lemniscate, et aux quatre cercles considérés correspondent les tangentes menées à celte lemniscate par un de ses points; leurs points de contact sont sur une même droite. Cette droite correspond d'ailleurs à un cercle passant par w et dont le centre décrit l'hyperbole considérée : l'enveloppe de ce cercle est donc une lemniscate, puisque cette enveloppe est homothétique de la podaire du lieu du centre, et son inverse est une hyperbole équilatère. En résumé :

Par tout point d'une lemniscate de Bernoulli, on peut mener quatre tangentes à cette courbe : leurs points de contact sont sur une droite dont l'enveloppe est une hyperbole équilatère.

D'après ce que nous venons de dire, par polaires réciproques relativement à une sphère 1, de centre w, il correspond à une sphère S une quadrique de révolution admettant oj pour foyer principal et dont la sphère principale S' (podaire de co) est une figure inverse de S. Par suite, à toutes les sphères S orthogonales à une sphère fixe correspondront ainsi des quadriques de révolution dont les sphère? principales couperont orthogonalement une sphère fixe. Du théorème de Faure (n° 143), on déduit ainsi le suivant :

Étant donnés un point fixe to et une quadrique Q, la sphère

TRANSFOUMATIONS QL'ADHATIQUES. l33

qui passe par les projections du point w sur les faces d'un lé~ traèdre conjugué à Q coupe orthogonalernent une sphère fixe, quel que soit le tétraèdre considéré.

Dans le cas particulier où Q est un hyperboloïde équilatère, cette sphère fixe se réduit à un plan.

Si le point co est le centre de Q, ce point a même puissance par rapport aux différentes sphères considérées ; cette puissance est, comme on sait, égale au carré du rayon de l'équaleur des quadriques de révolution admettant w pour foyer principal et les sphères en question pour sphères principales. Par suite :

Les quadriques de révolution harmonique nient inscrites à une quadrique fi^e dont elles admettent le centre pour foyer principal ont' le même rayon équatorial.

Transformations quadratiques.

173. La transformation par inversion est un cas particulier (le la transformation quadratique, que nous nous bornerons à définir dans le cas de figures planes.

Considérons deux transformations corrélatives d'une figure plane: atout point /7i de celte figure correspondent ainsi deux droites qui se coupent en un point m' : la transformalion quadratique fait correspondre le point m' au point m.

Une transformation corrélative plane faisant, d'après le n° 63, correspondre à tout point (a, (3, y) la droite

Aa; + BjK-hCs = o,

A, B et C étant trois fonctions linéaires de a, (3 et y, se trouve définie si l'on assujettit les droites corrélatives de huit points donnés à passer par huit point donnés. Si l'on ne se donne que sept couples de points associés de cette manière, la corrélation ne sera plus définie ; l'équation de la corrélative d'un point donné renfermera linéairement un paramètre arbitraire. Par suite, toutes les corrélations ainsi obtenues seront^ telles que les diverses corrélatives d'un même point m passeront par un même point m'. D'après la définition

l34 CDAP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS.

de la transformation quadratique, les points m et m' se correspondent dans une telle transformation. On voit donc que:

En général, une transformation quadratique se trouve définie par la donnée de sept couples de points correspondants.

Nous savons (n° 62) qu'il existe en général trois points qui ont les mêmes corrélatives dans deux corrélations données ; dans une transformation quadratique, il y aura donc généralement trois pôles tels que le point correspondant à chacun d'eux sera indéterminé sur une droite; nous désignerons les trois droites ainsi obtenues sous le nom à& droites singulières de la transformation. Le point commun à deux de ces droites correspond d'ailleurs à tout point de la droite déterminée par les deux pôles correspondants.

174. Delà défmition même de la transformation quadratique, il résulte qu'une telle transformation, suivie d'une transformation homographique, revient encore à une transformation quadratique. Or, étant donnée une transformation quadratique ari)itraire {m, m'), de pôles ai |3, y et de droites singulières A, B, C, considérons une transformation homographique {m', m") dans laquelle les droites A, B et C correspondent aux droites bc, caeiab. La transformation {in\m") sera une transformation quadratique spéciale, telle que la droite qui joint deux des pôles soit la droite singulière qui correspond au troisième de ces pôles: on la désigne sous le nom de transformation du second ordre. On voit donc que:

Toute transformation quadratique revient à une transformation du second ordre^ suivie dune homographie.

Nous pouvons donc nous borner à 1 iiude de la transformation (tu second ordre.

Nous désignerons le triangle des pôles sous le nom de triangle fondamental.

175. Par suite de la définition de la transformation quadratique, si le point m décrit une droite A, son conjugué m', dans une transformation du second ordre, décrit généralement une conique. En effet, les droites qui correspondent au

TRANSFORJlAflONS yUADRATIQtBS. I 35

point m dans les deux corrélations envisagées pivotent chacune autour d'un point ^wo^ et engendrent deux faisceaux liomographirjues dont les rayons homologues ise couf)enl sur «»ne conique. Cette conique passe d'ailleurs par les trois pôles, dont chacun correspond au point où la droite A coupe le côté opposé du triangle fondamental.

Il n'y a exception que si la droite A paF'^^e par un des pôles; les faisceaux homographiques envisagés o\\\, en effet, alors un rayon homologue commun, qui est la droite singulière correspondant à ce pôle, et le point m' décrit alors aussi une droite passant par ce pôle.

A une courbe (m) de degré n correspondra en général une courbe (m') de degré 2n; en effet, toute conique circonscrite au triangle fondamental coupe (w) en in points, et cette conique se transforme en une droite qui coupe (m') aux 2/i points correspondants. D'ailleurs la courbe (m') admet les pôles pour points multiples de degré «, puisque chacun de ces pôles correspond aux n points où la courbe (m) coupe le côté opposé du triangle fondamental.

Le degré de (m') s'abaisse d'ailleurs, quand la courbe {ni) passe par un des pôles, du nombre d'unités qui exprime l'ordre de multiplicité de ce pôle, et l'ordre de multiplicité des deux autres pôles sur (m') s'abaisse du même nombre.

Ainsi:

A une conique correspond en général une courbe du qua-r trième degré admettant les pôles pour points doubles.

A une conique passant par un des pôles correspond une cubique admettant ce pôle pour point double et passant par les deux autres.

A une conique passant par deux des pôles correspond une conique passant par ces deux pôles.

A une cubique passant par les trois pôles correspond une cubique analogue.

176. Nous avons remarqué qu'à toute droite A, issue d'un des pôles a, correspond une droite A' issue du même pôle. Les droites A et A' engendrent évidemment deux faisceaux homographiques. D'autre part, comme le conjugué du pôle |5 est indéterminé sur «y, la droite ay est transformée de a^;

iSCî CHAP. VI. KTIDE Di: QUEI.QUKS TKANSfrORlM A T IONS.

(le iiu'nio y.?i correspond à ay. H en résiillc (n"3o) que les litiscoiiiix l)omogra|)hi(|ues A el A' sont réciproques, on. anlrenient dil, que les droites A cl A' sonl conjuguées dans une iiivuliition admeifant a3 et ay pour rayons conjugués. Par suite :

Il lie Iransformalion du second ordre est iin'olulive et. se trouve définie par son triangle fondanicnlnl el par un couple fie points conjugués.

Les rayons doubles de l'involulion AA' se correspondent à eux-mêmes : ainsi, par ciiaque jxMe, il passe deux droites doubles de la transformation, qui sont conjuguées par rapport aux côtés du triangle fondamental. Deux droites doubles issues de deux pôles différents se coupent évidemment en un point double : la donnée d'un tel point suffit, avec celle du triangle- fondamenlal, pour définir la transformation, qui admet trois autres points doubles. On voit que le triangle fondamental est le triangle diagonal du quadrangle déterminé par les quatre points doubles.

En se donnant ces quatre points doubles, on définit donc encore la transformation; celle-ci revient, par suite, à associer à tout point m le point fixe m' où concourent les polaires du point m relativement aux coniques cpii passent par les quatre points doubles. On voit ainsi que sur toute droite A il existe un couple de points conjugués : ce sont les points doid)les/> et q de l'involution déterminée sur cette droite par les coniques du faisceau considéré. A la droite A correspond, par suite, la conique circonscrite au triangle fondamental et qui passe par p el q.

177. Si, par exemple, le faisceau linéaire de coniques qui ilélinit la Iranformalion est composé d'byperboles équilalères, les points cycliques forment le couple de points conjugués situés sur là droite de l'infini : ils se transforment donc l'un en l'autre. A la droite de l'infini correspond le cercle circonscrit au triangle fondamental, et à tout cercle correspond une (iuarti(|ue circulaire à trois points doubles.

tacite transformation particulière jouit encore d'une autre l')ropriélé imi)ortanle, (|ui provient d'ailleurs de ce que les

IRANSFORMATlO>S yi AliltA I IQI KS. iSj

droites isotropes issues d'un même pôle se iraiiforment l'une en l'autre: elle conserve les angles des deux droites issues d'un même pôle. On voit, en effet, qu'à ces droites correspondent leurs symétriques par rapport aux droites doubles menées par le pôle considéié.

178. Comme application de cette tranformation spéciale, nous allons traiter le problème suivant :

Trouver Le lieu du quatrième point commun à deux paraboles circonscrites à un triangle donné et dont les axes font entre eux un angle donné (' ).

Prenons le triangle donné pour triangle fondamental d'une transformation du second ordre : puisqu'il correspond une droite à toute conique circonscrite au triangle fondamental et que, d'autre part, le cercle F circonscrit à ce triangle correspond à la droite de l'infini, les paraboles? circonscrites au triangle fondamental auront pour transformées les droites A tangentes au cercle F ; au quatrième point m commun à deux paraboles P correspondra le point m' d'intersection des droites A correspondantes, et les points à l'infini de ces paraboles auront pour conjugués les points a où ces droites A toucbent F. L'angle des axes de ces deux paraboles est donc égal à celui des droites qui joignent les points a à Tun quelconque des pôles. Si cet angle a une valeur donnée, le point m' décrit évidemment un cercle concenli'iqueàF, c'esl-à-dire bitangent à F aux points cycliques; le point ni décrit alors la transformée de ce cercle, c'est-à-dire une courbe du quatrième degré à trois points doubles, bitangenté à la droite de l'infini aux points cycliques.

Dans le cas particulier où l'angle donné est droit, les deux tangentes A sont parallèles, et le lieu cherché se réduit au cercle circonscrit au triangle donné, résultat évident, puisque les points communs à deux paraboles dont les axes sont rectangulaires sont (n° 91) sur un même cercle.

(') Problème propose en 1874, au Concours d'admission à l'Kcole Polytechnique.

'•*° CHAP. vr. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS.

no. Nous avons vu précédemment qu'à toute conique iJ correspond une quariique ayant pour points doubles les sommets du triangle fondamental. Les tangentes en chaque sommet sont les droites conjuguées de celles qui joignent ce sommet aux points où le côté opposé coupe la conique considérée. Si celle-ci est inscrite au triangle fondamental, on voit que les points doubles seront de rebroussement. Si elle lui est conjuguée, les tangentes en chaque pôle seront conjuguées aux côtés du triangle fondamental issus de ce point; ces tangentes corresponclent alors aux tangentes menées des pôles à la conique conjuguée au triangle : il en résulte qu'elles coupent la quartique en trois points infiniment voisins; autrement dit, elles sont d'inflexion.

Si nous transformons de celte manière le second théorème, énoncé au n° 152, en prenant T pour triangle fondamental, nous voyons donc que :

Lorsqu'une quartique a trois points doubles d'inflexion^ les quatre tangentes qu'on peut lui mener d'un de ses points ont leurs points de contact en ligne droite (').

180. Si A, B, C, A', B' et C désignent six droites tangentes, à une même conique^ il existe une transformation du second ordre telle que les droites A et A', B et B', C et C soient respectivement réciproques.

Les trois pôles sont les points ( AA'), (BB') et (CC), et l'on achève de déterminer la transformation en se donnant les points réciproques (AB) et (A'B'); les droites A et A', B et B' sont bien alors réciproques. Quant aux droites réciproques issues du point (CC ), elles forment un faisceau involutif,dont on a deux couples de rayons conjugués en joignant le point (CC), d'une part aux points (A.V) et (BB') et, d'autre part, aux points (AB) et (A'B'): ce faisceau involutif est donc celui des tangentes menées de(CC') aux coniques inscrites auqua-

(') Laguerre, Nouvelles Annales, 1878. Koir anssi le problème proposé au Concours général en 1898 .

(2) DoPORCQ, Bull, de la Soc. math., 1898, p. 81.

TRANSFORMATFONS Ql ADHATIQUES. ï Sg

drilatère formé par les droites A, A', H, h . La propriété annoncée en résuite.

S'il existe une conique tangente à la droite A et circonscrite au pentagone A'BB'CC, celle-ci se transformera alors en une conique tangente à la droite A' et circonscrite au pentagone AB'BC'C. Par suite :

Si A, A', B, B', C et C sont six tangentes à une conique, telles que la conique circonscrite au pentagone A'BB'CC touche la droite A, la conique circonscrite au pentagone AB'BC'C touchera la droite A'.

Corrélativement :

Soit 123^56 un hexagone inscrit à une conique et tel que la conique inscrite au pentagone 2^/^56 passe par le point i : la conique inscrite au pentagone iZj^ôS passera par le point 2 ( ' ).

181. Étant données deux tranformations corrélatives («, Ai ) et (a, A,), qui à tout point a d'un plan P font respectivement correspondre des droiles Ai et Aj d'un plan P', dont nous désignerons le point d'intersection par a', la transformation (a, a') représente la transformation quadratique la plus gêné» raie, d'après la définition même (n°173) de celte transformation.

Considérons maintenant une autre transformation analogue {a, a"), résultant de deux nouvelles transformations corrélatives (a, A3) et (a, Ai), et proposons-nous de chercher les points a du plan P tels que les points a' et a" correspondants coïncident.

Il faut et il suffit pour cela que les quatre droites A,, A^, Aj et Ai soient concoarantes.

Cherchons donc d'abord le lieu des points a tels que les trois droites Aj, Aj et A3 soient concourantes. Quand le point a décrit une droite arbitraire A, les droites Aj, A^ et A3 pivotent autour de trois points fixes X,, Xj et X3 : le point commun aux droites A, et A, décrit (n° 17o\iiiie conique passant j^ar À, et ?.,,

(') HuMBKRT, Comptes rendus, i^^yS. — On voit que de l'existence d'une conique inscrite à ua pentagone et passant par un point on déduit celle de cinq coniques analogues.

l4o CIUP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFOUMA IIONS.

et les droites A, et A3 se coupent de même sur une conique passant par li et I3. Les trois points, autres que X,, qui sont commun à ces deux coniques correspondent à trois positions du pointa sur A, pour chacune desquelles les trois droites corrélatives A,, A2 et A3 sont concourantes. Le lieu cherché est donc une cubique f;, qui passe d'ailleurs évidemment par les trois positions a, (3 et y du point a pour lesquelles les droites A, et A2 coïncident.

Nous obtiendrons de même une cubique Tj, telle que les droites Ai, A, et A4 correspondant à ses points soient concourantes. Les deux cubiques Ta etTi se couperont en six points difîérents de a, [3 et y, et tels que les points à' et a" correspondants coïncident. Ainsi :

Étant données dans un même plan deux transformations quadratiques d'une même figure plane^ il existe généralement six points de cette figure tels que les deux points correspondants coïncident.

182. Ceci posé, considéroiis toutes les transformations quadratiques (a, a") telles que pour cinq positions données i, 2, 3, 4, 5 du point a le point a" coïncide avec le point a' , conjugué du point a dans une transformation quadratique donnée. Toutes les cubiques qui passent par ces cinq points et parles pôles a, [3, y de la transformation {a, a') ont un neuvième point fixe 6, et il résulte de la démonstration qui précède (lue le point 6' coïncide avec 6". Donc :

La donnée de cinq couples de points conjugués dans une transformation quadratique de deux figures planes en détermine un sixième (*).

183. Voici une application de celle propriété. Elle repose sur le théorème suivant :

Étant données dans l'espace deux positions d'une même

(') DuPOHCQ ( C. Jî., 16 mai 1898). — ^ Dans le cas où les cinq couples donnés sont conjugués dans une transformation homographique, le sixième couple n'est plus déterminé: il existe alors une infinité de couples de points conjugués, qui sa correspondent homographiquoment sur deux coniques.

TRANSFORMATIONS QUADRATIQUES. 1^1

droite, les plans perpendiculaires au milieu des segments qui joignent deux positions d'un même point de cette droite passent par une droite fixe, quel que soit le point choisi sur la droite.

Soient, en effet, a, et a^, 6, et b^, c, et Cj les deux positions prises par trois points, a, b etc de la droite considérée. Soil/n un point quelconque de l'intersection des plans perpendiculaires aux segments a, a, et 6,^2. en leurs milieux : ce point est équidistant des points a^ et aj, ainsi que des points ^, et 621 Les triangles ma^ 6, et ma^ b^ sont donc égaux ; en les faisant coïncider, on amènera aussi en coïncidence Cj et c^; par suite, le point m est équidistant de ces points, et se trouve, par suite aussi, dans le plan normal au milieu du segment CiCi.

Ceci posé, considérons dans l'espace deux positions P, et P2 d'un plan P, et soit P' un plan fixe ; désignons par a, etaj les deux positions d'un même point a du plan P, et faisons correspondre à ce point la droite A3 suivant laquelle le plan P' coupe le plan normal au milieu du segment ai a^. D'après le théorème précédent, celte transformation est corrélative, car, si le point a décrit une droite du plan P, la droite A3 passe par un point fixe du plan P'. En considérant une troisième position Pj du plan P, on associera de même à tout point a de ce plan la droite Aj du plan P', située dans le plan normal au milieu dea,a3.

Des deux transformations corrélatives («t A3) et (a. A*), nous déduisons une transformation quadratique (a, a') : le -point a', commun aux droites A3 et A2, est, par suite, équidistant des points «i, a, et a^ ; c'est, en définitive, le point où le plan P' coupe l'axe delà circonférence («, a^aa).

Or, en se donnant les distances de cinq points donnés du plan P à cinq points donnés du plan P', on ne détermine pas la position du plan P, puisqu'il faut, comme on sait, six conditions indépendantes pour déterminer dans l'espace la position d'une figure égale à une figure donnée. Le plan P peut donc se déplacer dans l'espace de sorte que cinq de ses points restent sur des sphères dont les centres appartiennent au plan fixe P'. Soient P,. P., P3 et P^ quatre de ses posi-