CHAP. VI. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS

Jioiis. On aura deux Iransformalions quadratiques {a, a') et (a, a") en associant au point a les points où le plan P' coupe les axes des circonférences (a, «jo,) et (ajaiaO- Or dans ces transformations on a cinq couples de points conjugués, indépendants des quatre positions choisies du plan P ; il en existe donc un sixième, d'après le numéro précédent. Donc :

Si un plan P se déplace dans l'espace^ de sorte que cinq de ses points reslentsur des sphères dont les centres appartiennent à un plan fixe P', il existe dans le plan P un sixième point rouissant de la même propriété (•) .

On voit ainsi que si 6 et 6' forment le sixième couple de points conjugués dans toutes les transformations quadratiques qui admettent cinqcouples donnés de points conjugués leti', 2 et a', 3 el 3\ 4 et 4', 5 et 5', on peut placer les deux figures 123456 et i'2'3'4'5'6' dans une position relative arbitraire, et relier par six liges articulées les points correspondants sans que le système obtenu cesse d'être déformable.

18i. La transformation quadratique est un cas particulier des transformations biraiionnelles : on nomme ainsi les transformations telles qu'à tout point de l'une des figures ne corresponde en général qu'un point de l'autre. Il existe toujours sAoTS die% points singuliers dont les conjugués ne sont pas déterminés.

Ces transformations ont été étudiées par le géomètre italien Cremona, qui a montré qu'elles peuvent toujours se ramener à une suite de transformations quadratiques.

Transformation de Lie.

18o. On peut imaginer beaucoup d'autres modes de transformation des figures ; on peut, d'une manière générale, faire se correspondre entre eux d'une infinité de manières tousles êtres géométriques qui dépendent d'un même nombre de pa-

( ' ) DLi'uiH.y, loc. cit.

TRANSFORMATION DE LIK. 1 t\S

lamètres arbitraires. Parexemple, on peut associer onlre eux les points de l'espace et les cercles d'un plan, les droites de l'espace et les sphères, etc.

Parmi ces diverses transformations, les tv;msformations de contact Sont celles qui méritent le plus d ê.lre étudiées, car elles jouent un rôle important dans la théorie des équations difTérenlielles, où les a introduites le génie de Sophus J^ie.

Au début de cet Ouvrage, nous avons déjà indiqué (n"" 18 à 22) comment peuvent s'obtenir ces transformations : comme nous l'avons vu, on peut définir chacune d'elles en associant à tout point de l'espace une multiplicité ( n° 22) qui peut être, selon les cas, une surface, une courbe ou un point. Toutes les multiplicités, qui correspondent ainsi aux divers points de l'espace et dépendent, par suite, de trois paramètres indépendants, forment ce qu on nomme un complexe. Si l'on nq, considère que les multiplicités qui correspondent auTi. points d'une surfaces, on obtient une congruence : toutes ces multiplicités contiennent chacune un ou plusieurs éléments de contact d'une même multiplicité fixe, qui est justement celle qui correspond à la surface S dans la transformation de contact envisagée.

18G. Une classe intéressante de transformations de coiJtact comprend celles dans lesquelles les multiplicités qui correspondent aux divers points m de l'espace sont des droites A. Ces droites forment un complexe; aux points d'une courbe correspondent les gépéiatrices d'une surface réglée, et, à ceux dune surface, les droites d'une congruence.

A deux courbes passantpar un même point m correspondent ainsi deux surfaces réglées admettant A pour génératrice commune : ces deux surfaces se touclient donc, comme on sait, en deux points de A ; les deux éléments de contact ainsi communs à ces surfaces corres|)ondent tous detlx à l'élément de contact commun aux deux courljes envisagées . Si le point m décrit une surface S, on voit donc que les droites A de la congruence correspondante touchent chacune en deux points la multiplicité qui correspond à S ; celle-ci est appelée la focale de la congruence. Elle a deux nappes qui peuvent, dans certains cas, être algébriquement distinctes.

l/(4 CHAP. vr. — ÉTUDE DE QUI iUES THANSFOKMATIONS.

Ce casse produit, par exemple,, si le complexe des droites A est formé par les tangentes à un-e multiplicité fixe; c'est ce qui arrive pour la transformalioQ de Lie, dotit nous allons dire quelques mots; les droites A sont alors celles du complexe formé par les droites isotropes.

187. L'exposé de cette transformation se simplifie au moyen des remarques suivantes :

Nous avons vu(n<'28) que le rapport anharmonique des quatre points oij une génératrice d'une quadrique rencontre quatre génératrices fixes de l'autre système est constant : on peut l'appeler le rapport anharmonique des quatre génératrices en question. Nous désignerons de plus par demiquadrique l'ensemble formé par les génératrices d'un même système d'une quadrique.

Ceci posé, étant données deux demi-quadriques QetQ', si l'on associe deux à deux leurs génératrices G elG' de manière qu'à toute génératrice Gnecorresponde qu'une génératriceG' et réciproquement, on dira que G et G' divisent homographiquemçnt les demi-quadriques Q et Q'. Si l'on considère sur chacune de ces surfaces une génératrice de système différent de celui de G ou de G', les génératrices G et G' correspondantes y tracent évidemmentdeux divisions homographiques; on en déduit l'égalité des rapports anharmoniques des quatre génératrices G et des quatre généralricesG' correspondantes.

188. Soient maintenant Q, Q' et Q" trois demi-quadriques passant par une même conique F, et ayant une génératrice commune A. Considérons, d'autre part, les* génératrices A d'une autre denii-quadrique S, contenant également la conique r. Chaque droite A coupe Q, Q' et Q' en trois points extérieurs à F, par chacun desquels il passe une génératrice G, G' ou G" des demi-quadriques Q, Q' et Q". Ces génératrices se correspondent homographiquement sur ces surfaces, car la donnée de l'uu^ détermine évidemment les deux autres ; d'ailleurs la génératrice A se correspond évidemment à ellemême.

Réciproquement, considérons sur Q, Q' et Q" trois divisions htgrîiographiques de génératrices G, G' et G" telles que

TRANSFORrfÎTION UE LIE. 1^5

la génératrice A coïncide avec ses homologues. A loui groupe de droites homologues G, Ci' et G" correspond une droite unique ( ' ) A, qui s'appuie à la fois sur G, G' et G' et T. Ces droites A engendrent une demi-quadrique passant parF, car une telle dèmi-quadrique est définie par deux positions de A, et, d'autre part, les trois divisions homographiques considérées sont déterminées par la donnée de deux groupes de génératrices homologues (en outre de celui des génératrices A ).

189. Ces remarques faites, |)assons à l'étude de la transformation de Lie. On peut la définir en disant qu'à tout point de l'espace elle fait correspondre une droite isotrope, de telle manière que., à des points en ligne droite., correspondent des génératrices d' un même système d'une sphère.

Nous allons montrer qu'on peut définir une telle transformation, de sorte qu'à cinq points arhilraii-es de l'espace, i, 2, 3, 4 et 5, correspondent cinq droites isotropes quelconques, Al, A2, A3, Ai et A.,.

Désignons en effet par Dus la droite isotrope unique qui s'appuie à la fois sur A,, A2 et A3; considérons de même les droitesD|2^ et D,2s. Ces Irois droites isotropes appartiennent à la sphère délerujinée par les génératrices A, et Aj : elles définissent donc une demi-sphère S, 2. Soit maintenant m un point quelconque de l'esjtace : au plan 12m faisons correspondre sur S12 la génératrice Djj telle que Iç rapport anharmonique des quatre génératrices D,23, D,2i, I),23 et D12 soit égal au rapport anharmonique 12 (345/?i). Définissons de même, sur les demi-sphères Sj3 et S3,, analogues à Si,, des génératrices 1)23 et Dsi, correspondant aux plans 23m et Si m. Désignons enfin |)ar A la droite isotrope unique qui s'appuie

( ' ) On suppose, bien entendu, que A coupe G, G' et G" en dehors de F. II n'existe qu'une telle droite, car la quadrique TGG' ne peut couper Q" suivant une génératrice G": elle la couperait en effet aussi suivant une génératrice de système différent; il faudrait donc que G et G' coupassent Q" en dos points d'une même génératrice, de système différent de celui de A ; or on suppose que les génératrices, autres que A, suivant lesquelles Q'' coupe Q et Q', ne sont pas confondues. Il n'y a exception ([ue si G. G' et G" se coupent en un même point de T.

I46 CHAI». Vl. — ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS.

;» la fois sur D^, D,, et Dsj. A tout point m de l'espace correspond ainsi une droite isotrope A, et réciproquemenl.

Supposons maintenant que le point m décrive une droite quelconque : les plans i-xm, 28 m et 3im engendrent alors trois faisceaux homographiques, dans lesquels trois plans homologues se confondent avec le plan 128; les droites D^, 1)23 et D31 décrivent donc sur les demi-sphères S12, S..3 et S31 trois divisions homographiques, dans lesquelles trois génératrices homologues se confondent avec la droite Dus, qui correspond au plan 128 sur chaque demi-sphère. Par suite (n" 188), la droite A engendre bien une demi-sphère. Kéci- .proquement, toute demi-sphère correspond à une droite de l'espace.

190. L'existence de la transformation de Lie se trouvant ainsi élahlie, cherchons la relation géométrique à laquelle doivent satisfaire quatre droites isotropes, A, B, C et D, qui correspondent â quatre points a, b,c el d d'un même plan. Aux droites ah et cd correspondent les denn-splières AI3 el CI),, qui ont une génératrice commune, correspondant au point d'intersection des droites ah elcd. Les sphères AB el CD ayant ainsi une première génératrice commune, en ont une seconde, qui rencontre les (|uatre droites A, B, C et D ; ces tjtiatre droites s'appuient donc sur une même droite i>niiope. Ainsi :

Alla; points d'un plan correspondent des droites isotropes s' appuyant sur une même droite isotrope.

La réciproque est immédiate.

191. Puisque toute demi-spliére correspond à une droite de l'espace, il en est de même de tout cône isotrope. Chacun d'eux correspond à une droite d'un certain complexe; on peut encore dire que, dans la transformation inverse, les droites de ce complexe correspondent aux divers points de l'espace.

Si l'on considère tous les cônes isoliop(;s qui ont une gén«'ratrice commune, chacun d'eux correspond à une droite passant par le point auquel correspond cette généraliiie, ci

ril.\J<SFORMATION DE LIE. I 47

aussi, d'après !e numéro précédent, située dans un plan fixe. On en déduit que le complexe des droites auxquelles correspondent des cônes isotropes est telle que toutes celles qui passent par un point fixe sont dans un plan fixe, et réciproquement. On dit qu'elles forment un complexe linéaire.

Toutes les droites de ce complexe (A) qui rencontrent une droite fixe, D, correspondent, dans la transformation inverse de celle de Lie, aux points de la demi-sphère S que la transformation de Lie associe à D; comme ces points app;irtiennent aussi à une autre demi-sphère S' (telle que S et S' forment une autie sphère), les droites en question rencontrent aussi une autre droite I)'. On dit que les droites I) et D'sont conjuguées au complexe. On peut dire que :

Par la transformation de Lie, toute sphère correspond à deux droites conjuguées à un complexe linéaire.

19:2. La transformation de Lie est surtout intéressante par ses applications à la théorie des surfaces, car elle transforme les li}^nes asymptoliques d'une surface en lignes de courbure de sa transformée. Mais elle peut a^issi être employée avec avantage dans l'étude de la géométrie des sphères.

Par exemple, le théorème suivant :

Toutes les droites qui rencontrent trois droites fixes en rencontrent une infinité,

fournil le suivant :

Toutes les sphères tangentes à trois sphères Jixes en touchent une infinité.

L'enveloppe de ces sphères, {|ui correspond à une hyperboloïde, est donc une surface qui peut être considérée de deux manières comme l'enveloppe d'une sphère à un paramètre variable : c'est la cyclide de Dupin (').

(') Sur la transforniaUon de Lie. on consultera avec profit une conférence (Jt M. Klein {Nouv. Ann., janvier 1896).