CORRESPONDANCES INVOLUTIVES ET THÉORÈMES DE PONCELET

faut démontrer que le dernier sommet «n+i se confond avec îe point a,.

En effet, s'il en était autrement, la construction du contour polygonal pourrait être faite de deux manières. Soient.o'^.^.j. et a* + , les deux positions correspondantes du dernier sommet. On a vu au paragraphe précédent que, si le' point a\ se déplace sur C, les droites «,a'„+i et or, a",^, enveloppent une certaine conique C". Quand le point a, vient se confondre avec le pointa,, il en est de même des deux points a^^., eta^^,, et les deux droites «la'^^, et aiaj,+, viennent toutes les deux se confondre avec la tangente à C au point a,. La conique € et la conique C" doivent donc être considérées comme ayant pour tangente commune double la tangente à C au point a,.

Mais on peut remplacer dans ce raisonnement le point a, par les points «ï, ..., c„ qui jouent tous le même rôle. Finalement, on voit que la conique C et la conique C" ont n tangentes communes doubles, à savoir les tangentes à C aux points a,, ...,an, soit en tout an tangentes communes. Comme «est au moins égal à trois, cela exige que les coniques Cet C soient confondues.

Les droites «loc'^^., et «la^^+i devant être tangentes à C, il faut que les deux points a'„^i et a^^, se confondent avec le point a,, ce qui démontre le théorème.