L. WALBAS

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dans le premier membre de laquelle la fonction 4,a figure seule, et dans le second membre de laquelle il faut se représenter les variables pb , a , p& t a, pâ,à • • • comme engagées, dans un ou plusieurs termes, en des combinaisons d’addition, soustraction, multiplication, division, etc., etc., de telle sorte que, ces variables venant à être remplacées par tels ou tels prix de (B), de (G), de (D)... en (A), il en résulte mathématiquement, comme valeur de la fonction, la quantité effectivement demandée de (B) par un porteur de (A) à ces prix. De même pour les demandes partielles de (C), de (D)... en (A) par le même porteur. De même pour les demandes partielles de (B), de (G), de (D)... parles autres porteurs de (A). De même aussi pour chacune des demandes partielles de (A), de (G), de (D),.. en (B), et ainsi de suite. On voit que, dans le cas de l’échange de plusieurs marchandises entre elles, les dispositions à l’enchère de chaque échangeur ne sont plus susceptibles d’être représentées géométriquement par des courbes, et cela à cause du nombre des variables ; mais elles sont toujours susceptibles d’être exprimées algébriquement par des équations. G’est pourquoi nous passons forcément du mode géométrique au mode algébrique. Ge mode étant adopté, nous avons toujours à montrer, pour plusieurs marchandises comme pour deux : 1° Gomment les prix courants ou d’équilibre résultent des équations de demande; et 2° Gomment les équations de demande résultent elles-mêmes de l’utilité et de la quantité des marchandises. Nous résoudrons ici le second de ces deux problèmes avant le premier, et c’est en quoi nous substituerons la méthode de déduction à la méthode de réduction.

Le premier problème que nous avons à résoudre est celui-ci : — Etant données m marchandises (A), (B). (G), (D)... et Vutilité de chacune de ces marchandises pour chacun des échangeurs, ainsi que la quantité de chacune d'elles possédée par chacun des porteurs, déterminer les équations de demande.

Soit, par exemple, un porteur de (A). L’expression mathématique de la quantité de (A) possédée par ce porteur n’offre aucune difficulté : nous la désignerons par q. A . Quant à l’expression mathématique de Yutilité de (A), (B), (C), (D)... pour cet échangeur, après nos explications précédentes, elle n’en offre pas davantage. Géométriquement nous représenterions ces utilités par des courbes de besoin de (A), (B), (C), (D) .. pour l’individu dont il s’agit, les ordonnées correspondant aux quantités possédées, et les abscisses correspondant aux raretés ou aux intensités des derniers besoins satisfaits par ces quantités. Donc algébriquement nous exprimerons ces utilités par des équations qui seront celles des courbes de besoin cidessus. Nous supposerons ces équations résolues par rapport aux raretés, c’est-à-dire donnant les raretés en fonction des quantités possédées. Nous aurons ainsi les équations : r —cp a (q), r — ip h ( q), r — <p c (q), r=(p A (q)... dans le premier membre desquelles la fonction r figure seule, et dans le second membre desquelles il faut se représenter la variable q comme engagée, dans un ou plusieurs termes, en des combinaisons d’addition, soustraction, multiplication, division, etc., etc., de telle sorte que, cette variable venant à être remplacée par telle ou telle quantité possédée de (A), (B), (G), (D)... il en résulte

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mathématiquement comme valeur de la fonction, l’intensité du dernier besoin satisfait, ou la rareté, de (A), (B), (C), (D)... pour cette quantité. Les abscisses des courbes étant décroissantes pour des ordonnées croissantes, les dérivées des" fonctions par rapport à leurs variables sont négatives. L ’ utilité effective, ou la somme des besoins satisfaits par une quantité possédée de marchandise, étant représentée par les aires des courbes, sera exprimée par les intégrales définies des fonctions. Ces dernières données, au surplus, ne sont pas indispensables, et les pré- • cédentes vont nous suffire pour établir l’équation de demande de (B) en (A) par un porteur quelconque de (A).

Cet homme donne une certaine quantité de (A) pour une certaine quantité d M de (B), à un certain prix jo b , a de ~ (B) en (A), une certaine quantité de (A) pour une certaine quantité d c , a de (C), à un certain prix p c>a de (C) en (A), une certaine quantité de (A) pour une certaine quantité 4i,a de (D), à un certain prix p ia de (D) en et ainsi de suite. Soit x la quantité totale de (A) ainsi donnée contre (B), (C), (D)... et, par conséquent, q a -x la quantité gardée, on a d’abord l’équation

X = <4,a Pb ,a + d c , a p c ,a + G^.a Pd.n + . . .

et, par conséquent, l’équation

q* — X = q a — db,a Pb,a — de,a j? c ,a — d i>n p$ — .. fM

Mais, pour plusieurs marchandises comme pour deux, nous pouvons poser en fait que la demande est déterminée par la condition de satisfaction maximum des besoins ou de maximum de l’utilité effective. Et, pour plusieurs marchandises comme pour deux, nous pouvons 1 enoneer aussi que cette condition est que le rapport des J

raretés, ou des intensités des derniers besoins satisfaits, après l’échange, soit égal au prix. En effet, si le rapport de la rareté de (B) à la rareté dé (A), après l’échange, n’était pas égal au prix p b< a de (B) en (A), s’il était supérieur ou inférieur, il y aurait, en vertu de la condition de satisfaction maximum telle qu’elle a été établie dans le cas de l’échange de deux marchandises entre elles, avantage à échanger encore une certaine quantité de (A) contre une certaine quantité de (B), ou à restituer une certaine quantité de (B) contre une certaine quantité de (A). En d’autres termes, la limite n’aurait pas été atteinte ou elle aurait été dépassée. Le même raisonnement montrerait que le rapport de la rareté de (C) à la rareté de (A), après l’échange, doit être égal au prix p c , a de (G) en (A), que le rapport de la rareté de (D) à la rareté de (A) doit être égal au prix p d , a de (D) en (A)... et ainsi de suite. Soient donc r a — <p a {q. A — x ), r b — <p b (d b>a ), r c = (4,.), r d = (p d (da.a)... les raretés de (A), (B), (C),

(D)... après l’échange, on a les équations

9b (4,a) — Pb A <fa (q* — x)

= Pb,a tp a (q* — 4,a Pb.a — 4,a* p c<n — 4,a £M,a

9c (de,.) = Pc,a. 9a (q* — x)

= Pc ,a (fa (q a — 4,a J) b> a — 4,a Pc ,a — 4,a ]3 d , a —•••),

9à (4,a-) = Pà,a 9a (</a — x)

— ] J d,a 9a Ma — 4, a pb, a — 4,a Pc,a — 4,a Pd,a — ■■■),

soit m — 1 équations entre lesquelles on peut éliminer