L. WALRAS

m — 2 inconnues telles que d 0>a , d dja .*. pour avoir d b , a , ou m — 2 inconnues telles que d b , a , d Aia ... pour avoir d Cia , ou m —2 inconnues telles que d h>a , d 0 , a ... pour avoir d A , a ... en fonction cle p b , a , p„, a> p A , a ->- C’est ainsi qu’à tout système de prix de (B), (C), (D)... en (A) correspondra, pour un porteur quelconque de (A), un sys-: tème de demandes de (B), (C), (D) ... en (A) qui lui donnera la satisfaction maximum, et c’est ainsi, par conséquent, que se déterminera l’équation de demande partielle de chaque marchandise en fonction des prix de toutes.

Le second problème que nous avons à résoudre est celui-ci : — Etant données m marchandises (A), (B), (C), (D) ... et les équations de demande de chacune de ces marchandises en chacune des autres, déterminer les prix respectifs d’équilibre.

En additionnant purement et simplement les équations de demande partielle, on aurait les m — 1 équations de demande totale de (B), (C), (D)... en (A),

pjj Lc,a = F c , a (p bi , , p e>a , p AA

Dd,a = F d , a (p b , a , p c>a , p A<a . . .),

On aurait de même les m —1 totale de (A), (G), (D) ... en (B),

équations de demande

Da,b = Fa,b (Pa,b , Pc,b , p A)h ...),

D c ,b = F c ,b (p a ,b , Pc,h , Pâ,b • • •

Dd,b — F d ,b (Pa,b , Pc,b , Pd,b • •

les m — 1 équations de demande totale

; de

(D) ... en (C),

D a , c = F a ,c (Pa,c , Pb,c , pd.O • • •

D b ,c = Fb,c (Pa,c , Pb,c , P <\,c • • ■

[Il

D d ,e = F d ,c (Pa,c , Pb,c , Pd,c . .

les m — 1 équations de demande totale de

Da,d = F a ,d (|>a,d , Pb,d , Pc A . .

Db,d H F b ,d (p a ,d , Pb ; d , Pc,d • •

D c , d ==f F c , d (p a ,d , Pb,d , Pc,d • •

et ainsi de suite, soit m(m — 1) équations de demande.

Les prix d’équilibre sont ceux pour lesquels la demande totale effective est égale à l’offre totale effective. A cet égard, et l’offre effective d’une marchandise contre une autre étant toujours égale à la demande effective de cette autre multipliée par son prix en la première, nous avons les m — 1 équations d’échange de (A) contre (B), (G), (D)...

D]),a|>b,a == l) a ,b , D c ,a |>c,a = Da,c , Bd,a |?d,a = D a ,d ...

l es m —i équations d’échange de (B) contre (A), (C), (D) ...

D.,,b Pa,h = Db,a , De,b Pc,b = Db,c * Dd,b Pà,b = Db,d • • • les m— i équations d’échange de (C) contre (A), (B), (D)...

D a , c jV = D c ,a , Db,ei5b,c = D c ,b , Dd,c ^d,c = D c d ’M les m— 1 équations d’échange de (D) contre (À), (B), (C). . .

Da,dj5a,d = Dd,a , Db,d pb,à = Dd,b > D Cf d Pc,A = Dd,c •••

et ainsi de suite, soit m (m — 1) équations d’échange m(m—1) , . , , .

contenant implicitement-^-équations de récipro¬

cité des prix. Ces m(m —1) équations d’échange jointes aux m (m — 1) équations de demande forment un total de 2m (m —1) équations. Or nous avons précisément dans la question 2 m (m—1) inconnues,, savoir les m (m—1) prix des m marchandises les unes en les autres et les m (m—1) quantités totales de ces m marchandises échangées les. unes contre les autres.

Le problème de l’échange de plusieurs marchandises entre elles paraît résolu. Il ne l’est pourtant qu’à moitié. Dans les conditions ci-dessus définies, il y aurait bien, sur le marché, un certain équilibre des marchandises deux à deux ; mais ce ne serait là qu’un équilibre imparfait. L’équilibre parfait ou général du marché n'a lieu que si le prix de deux marchandises quelconques l’une en l’autre est égal ctu rapport des prix de l’une et l’autre en une troisième quelconque. C’est ce qu’il faut démontrer. Pour cela, prenons trois marchandises entre toutes (A), (B) et (C), par exemple ; supposons que le prix p Cib soit

plus grand ou plus petit que le rapport des prix p Ct », p^y, et voyons ce qui arrivera.

Nous imaginerons, pour bien fixer les idées, que le lieu qui sert de marché pour l’échange de toutes les marchandises (A),, (B), (G), (D) ... entre elles ait été divisé en autant de parties qu’il se fait d’échanges de marchanm (ni — 1)

dises deux h deux, soit en —;—^-marches spéciaux

désignés par des écriteaux sur lesquels on aurait indiqué le nom des marchandises qui s’échangent et le prix d’échange déterminé mathématiquement en vertu du système d’équations ci-dessus. Ainsi: cc Echange de (A) contre (B) et de (B) contre (À) aux prix réciproques p 3 ^, p hia ; » — cc Echange de (A) contre (G) et de (C) contre (A) aux prix réciproques p a<c , p c . a ; » — cc Echange de (B) contre (G), et de (C) contre (B) aux prix réciproques /\ c , p c ÿy, Gela posé, si chaque porteur de (A) qui veut du (B) et du (C) se bornait à échanger son (A) contre ce (B) et ce (C) sur les deux premiers marchés spéciaux, si chaque porteur de (B) qui veut de l’(A) et du (G) se bornait à échanger son (B) contre cet (A) et ce (G) sur le premier et le troisième, si chaque porteur de (C) qui veut de l’(A) et du (B) se bornait à échanger son (C) contre cet (A) et ce (B) sur les deux derniers, l’équilibre se maintiendrait tel quel. Mais il est facile de faire voir que ni les porteurs de (A), ni ceux de (B), ni ceux de (C) ne se borneront à ces deux échanges ; ils en voudront faire un troisième.

Pour un porteur de (A), qui a gardé q a — x de (A) et obtenu ek, a de (B) et d CA de (C), on a les deux équations

<Ph (4.a) = /5b, a <P* (q a — x ),

(4,a) §= Pc, a <P* (f/a — x) ,

exprimant l’égalité de chacun des rapports de la rareté de (B) et de la rareté de (C) à la rarete de (A) avec chacun des prix de (B) et de (C) en (A), apres 1 échangé, qui est la condition de la satisfaction maximum. Or on tire de ces équations

Pc,3l

d’où, si on suppose, par exemple, p c ,b > ^ >

(fc (de,a) < Pc ,b Ç’b (db,a) 5

ce qui indique qu’il y a avantage pour notre individu, ^ après avoir fait ses deux premiers échanges sur les marchés (A, B), (A, C), à aller sur le marché (B, C) vendre du (C) en achetant du (B) au prix p a , b de (G) en (B). En vertu de la théorie de la détermination des prix cou- | rants d’équilibre, telle qu’elle a été établie dans le cas de l’échange de deux marchandises entre elles, cette opéra- . tion troublera l’équilibre du marché (B, G) en y rendant l’offre de (C) supérieure à la demande; et cet équilibre, ainsi troublé, ne pourra se rétablir que par une baisse de Pc,

De l’inégalité p c b > — on tire, en vertu de l’éga-

Pb,a

lité Pb a = —î—, p c a Dès lors, on démontrerait

’ Pa,b ’ p a ,b

aussi qu’il y a avantage, pour un porteur de (B), après avoir fait ses deux premiers échanges sur les marchés (A, B), (B, C), à aller sur le marché (À, C) acheter du (G) en vendant de l’(A) au prix p c , a de (G) en (À). Cette opération troublera l’équilibre du marché (A, C) en rendant la demande de (G) supérieure à l’offre, et cet équilibre ne pourra se rétablir que par une hausse de p c ,*.

45 SÉP. ÉQUATIONS DË L’ËCHÀNGE BULL. 379

Enfin, de l’inégalité p c , b > ~~r~> on tire encore, en

vertu de l’égalité p e , a = —— et de l’egalite p hc = r^~M

î 9 ha >-^-. Dès lors, on démontrerait, toujours de la

même manière, qu’il y a avantage pour un porteur de (C), après avoir fait ses deux premiers échanges sur les marchés (A, G), (B, C), à aller sur le marché (A, B) vendre du (B) en achetant de E(A) aü prix p b ,a de (B) en (A). Cette opération troublera l’équilibre du marché (A, B) en rendant l’offre de (B) supérieure à la demande, et cet équilibre ne pourra se rétablir que par une baisse de ph,».

On voit par là que, dans le cas où p c ,b est

quilibre du marché n’est pas définitif ou général, et qu’il s’y fait des échanges complémentaires dont le résultat est une baisse de p c ,b,- une hausse de p c ,a et une baisse de j)b, a . On voit en même temps que, dans le cas où p c ,h

Pc a

serait < ; il se ferait, sur le marché, des échanges

complémentaires dont le résultat serait une hausse de Pc,b, une baisse de p c , s et une hausse de p b , a . D’ailleurs il est assez clair que ce qui a été dit des prix de (À), (B) et (C) peut se dire aussi des prix de trois marchandises quelconques. Si donc on voulait que les échanges complémentaires n’eussent pas lieu, et que l’équilibre des marchandises deux à deux sur le marché fût général, il faudrait introduire la condition que le prix de deux marchandises quelconques l’une en l’autre fût égal au rapport des prix de l’une et l’autre en une troisième quelconque, c’est-à-dire qu’il faudrait poser, les équations suivantes :

pm r

•pL