L. WALRAS
priétaires. Il est vrai que Gossen, portant la question du terrain théorique sur le terrain pratique, nous parle de circonstances qui permettraient à l’Etat de s’avancer plus loin que les particuliers vers le prix normal des terres sans toutefois l’atteindre. Reste seulement à savoir si ces circonstances sont décisives. Quel est le prix normal V De combien s’en rapprochent les propriétaires ? De combien s’en rapproche l’Etat ? Voilà les questions que les exemples concrets de Gossen ne résolvent pas et qui, dans une affaire de cette gravité et de cette importance, veulent être tirées tout à fait au clair. Il n’y a qu’une manière d’y réussir, c’est de les reprendre pour notre compte. Nous allons faire rigoureusement la théorie mathématique du prix des terres résultant de la plus-value de la rente (§§ II et III) ; puis nous ferons la théorie de l’achat des terres par emprunt avec amortissement au moyen du fermage (§§ IV et V); et nous verrons si et comment la possibilité de l’amortissement au moyen du fermage se concilie avec le paiement du prix normal résultant de la plus-value (§§ VI et VII).
Du prix des terres. Formule de prix normal en cas de variation temporaire ou perpétuelle du fermage.
7. Dans la 49 e leçon de nos Eléments d’économie politique pure, alors que nous n’avions pas encore constaté le fait ni établi les lois de la variation des prix dans une société progressive, nous énoncions que, i étant le taux du revenu net, déterminé par le rapport du prix de vente des profits des capitaux mobiliers au prix de revient de ces capitaux, à l’état d équilibre général de la production et de l’échange, pt, pt\ pt ... étant les prix de vente des rentes des terres (T) (T')
(T")... les prix courants de ces terres Pt, P t ' Pt"... étaient déterminés par le système des équations
Dans la 52 e leçon, après avoir reconnu que, dans une société progressive, c’est-à-dire dans une société où le capital s’accroît et où la population augmente, le prix de la rente, ou le fermage, s’élève sensiblement, et que, dans une telle société, le taux du revenu net s’abaisse sensiblement, nous avons énoncé qu’en conséquence, dans une société progressive, le prix des terres s’élève en raison à la fois de l’élévation du fermage et de l’abaissement du taux du revenu net. Mais cela ne suffit pas, et le moment est venu de montrer à présent que cette circonstance de l’élévation du fermage dans une société progressive modifie notablement les équations ci-dessus.
Pour plus de simplicité, et aussi pour nous conformer autant que possible aux notations de Gossen, appelons a ce que nous appelions jusqu’ici p t , A ce que nous appelions P t . Et soit une terre qui rapporte actuellement a de fermage et dont le fermage s’élève régulièrement de z fois son montant d’année en année, z est ainsi le taux de l’accroissement annuel du fermage ou le taux de la plus-value de la rente. Nous supposerons d’abord cette plus-value temporaire et devant avoir lieu pendant m années, sauf à la supposer ensuite perpétuelle en faisant m égal à l’infini. Soit toujours i le taux du revenu net. Dans ces conditions, le fermage de la terre, fixé aujourd’hui et payable dans 1 an, est, pour la l re année, a. Il sera, après 1 an et pour la 2 e année, ff + azzra (1 z) ; après 2 ans et pour la 3 e année, a (1 +* ) + a (1 + z) z — a (1 + z) (1 + *) = a (1 + z) 2 ; après 3 ans et pour la 4 e année, a (1 + z) 2 + a (1 + z) 2 z ~ a (l+z) 2 (l+z)=a(l-|-z) 5 ...; enfin après m années et pour la.
m-\- I e année, a (1-|- 2 ) m-1 +a(l+2;) m-1 2“a(l+2) in ~ 1 (l+' 2 ) — a(l+z) m . Or il n’est pas admissible que le prix de
cette terre soit actuellement ~, dans un an —- Z ~ , dans 2
a{\ -fz)‘ 2 , D a (1 +z) 3
ans ————, dans 3 ans ... enfin dans m années
—1^— L . Les individus qui ont des épargnes à placer feront entrer l’accroissement du fermage en ligne de compte dans leur demande de capitaux fonciers ; et, à supposer que ces individus n’y songeraient pas, il se trouvera des spéculateurs pour le faire. En conséquence, le prix des terres s’élèvera. De combien? C’est ce qu’il s’agit de reconnaître.
8. Soit d’abord un individu qui a des épargnes à placer. Combien cet individu peut-il payer une terre qui rapporte actuellement a de fermage et dont le fermage s’élève régulièrement de z fois son montant d’année en année, c’est-àdire s’accroît suivant un taux égal h z?
Il est clair que cet individu peut acheter d’abord au prix de
Y le fermage a à recevoir dans 1 an et les années suivantes.
Mais, dans 2 ans, le fermage à toucher, au lieu de a, sera a{\- f-z) ; c’est-à-dire qu’il y aura, à partir de 1 an, un accroissement az. Cet accroissement vaudra dans 1 an et il vaut actuellement — az .
Dans 3 ans, le fermage à toucher, au lieu de a(l+z), sera a(l-j-z) 2 ; c’est-à-dire qu’il y aura, à partir de 2 ans, un accroissement a (l-j-z)z. Cet accroissement vaudra dans
2 ans —- - - i~ —, et il vaut actuellement .
2 ï ( 1+ 2 ) 2 Dans 4 ans, le fermage à toucher, au lieu de a(l+z) 8 , sera a(l-j-z) 3 ; c’est-à-dire qu’il y aura, à partir de 3 ans,
17 SÉP. THÉORIE MATHÉMATIQUE DU PRIX DES TERRES BULL. 205 un accroissement a(l+z) 2 z. Cet accroissement vaudra dans 3 ^ ns ^ÇL+iLf et il vaut actuellement - ^ Z ...
Enfin dans m + 1 années, le fermage à toucher, au lieu de a(l+z) m-1 , sera a(l+z) m ; c’est-à-dire qu’il y aura, à partir de m années, un accroissement a (1 + z) m 1 z. Cet
accroissement vaudra dans m années — --, et il vaut
actuellement ... ,
La valeur totale actuelle du fermage initial et des m accroissements à réaliser en m années est ainsi de
a az a{ l+z)z a(l+z) 2 z a(\+z) m ~ l z
fl , gzr 1 (î+z) , (i+0 2 . , (i+-s) m ~ 1 i
La quantité entre crochets est une progression géométrique dont la somme est
l’une ou l’autre de ces deux dernières formes devant être préférée selon que z est > ou <T i.
206 BULL. L. WALRAS SÉP. 18
Par conséquent, notre individu peut payer la terre dont il s’agit
=îD
__ fl^ j(l + ,-)m z(1+ ,)m
2(l+i) m>< 2-2 ' LJ
Nous nous réservons, pour la plus grande commodité de la discussion, de prendre l’équation du prix normal des terres tantôt sous la forme [1] et tantôt sous la forme [2].
C’est une chose qui est dores et déjà certaine que, tant que le prix des terres n’aura pas atteint cette limite , il y aura avantage, pour un individu ayant des épargnes à placer, à acheter des terres plutôt que des capitaux ; que, quand cette limite sera atteinte, l’un ou l’autre placement lui sera également avantageux ; qu’en conséquence, le prix ci-dessus représente pour lui le prix normal de la terre. Mais il ne sera pas inutile de montrer que ce même prix est aussi le prix limite de la terre pour un spéculateur.
9. Soit donc à présent un spéculateur qui opère avec des capitaux empruntés. Si on vendait les terres purement et simplement en raison de leur fermage actuel, cet homme n’aurait, pour acheter une terre de revenu a, qu’à emprunter
une somme -j. En laissant cette somme se capitaliser à
19 SÉP. THÉORIE MATHÉMATIQUE DU PRIX DES TERRES BULL. 207 intérêts composés pendant m années, il aurait à son débit, au bout de ce temps, en capital et intérêts, une somme de
Mais, d’autre part, notre homme, touchant des fermages a, «(l+Oi «(1+z) 2 — a(l+O m 1 , et les plaçant au taux de i, à intérêts composés, aurait à son crédit, au bout de m années,
fl (l +2 )m-l + a (1 +Z )m-2 (! + i) +«(! +2 )m-3 (1 +i f | ...
(i + 0 2 , , (1+tQ
La quantité entre crochets est une progression géométrique dont la somme est
(l+0 m — 1 (1 + i) (l+t)“ (l+pm -(1+2) 1
Et ainsi la somme obtenue est
La différence du crédit et du débit serait donc
• a (i + Q m — (i + Q m fl - (i+0 m >
Mais ce n’est pas tout. La terre qui, lorsqu’elle rapportait
un fermage a, se vendait j, après m années, lorsqu’elle rapporterait un fermage a (1-M) m , se vendrait ^IdhfL. p ar conséquent, le bénéfice à réaliser serait
w (i+t-) m -(i+*) m j Çi+Q" | Æ (i+*) m
ri(H-i) ra —*'(l-+-s) m —î(l+f) m -|-j(l+z) m +2r(H-î) m — z(l+z) m l
( 1+0 = az -—— L
Ce bénéfice, à réaliser dans m années, vaut aujourd’hui , (1+Q“-(!+*)" .
et c’est là précisément le supplément de prix que le spéculateur pourrait payer, tout comme le détenteur d’épargnes, pour ne faire aucun bénéfice.
10. Ainsi, le prix normal en unités de numéraire d’une terre dont le fermage actuel est a et augmente de g fois son montant par an pendant m années, quand le taux du revenu net est i, est bien, conformément à l’équation [1] ou [2],
21 SEP. THÉORIE MATHÉMATIQUE DU PRIX DES TERRES BULL. 209 et le prix normal en capitaux pour un de fermage initial est bien
au début de la plus-value. Ces mêmes prix sont évidemment
et
Am (l+g) m
à la fin de la plus-value. Nous étudierons un peu plus loin A
le mouvement de variation de — de la première valeur à la seconde.
Quand l’équation [1] ou [2] prend la forme indé¬
terminée jj. Mais on trouve alors directement, par l’un ou l’autre des deux procédés qui nous ont servi à l’établir,
et
, a , ma A = - + -7-7—.
Si, dans la formule [8] ou [4] ci-dessus, on suppose i=0.04 et £ 1 = 0 . 01 , on trouve respectivement, pour le rapport de A à a, selon que
