L. WALRAS

=(l+4î4+i 2 +4i 3 +« 4 )—a[4+6(;+z)+4(î 2 +û+z 2 )+(t 3 +î 2 z+û 2 +z 3 )]. Posons, pour plus de simplicité, a — i + z ,

/9 ï‘ a +ïz+z 2 — ia-\-z 2 ,

y — :î 3 +ï 2 z+îz 2 +z 3 —t/?+z 5 ,

<? = ï 4 +i 3 z+i 2 z 2 + z’z 3 + z' 1 — iy +z 4 ,

il vient

A s = A(l + 3i+3?' 2 +f) — a(a+3a+jî),

Si on se reporte à la loi du développement du binôme de Newton, celle du développement de notre formule devient évidente, et il est clair que, si on pose

X — i' n + i n -' z +* n ~ 2 z 2 +... + z n = ix +z n ,

jtt = i n+1 +ï' n z+i n " ' 1 z 2 +...+z n + 1 r= î‘À+z n+1 ,

r = i"»+s+tn+*z+»V + 1 ..+| 5 n*a — i (U f z .n+8 ,•

55 SEP. THÉORIE MATHÉMATIQUE DU PRIX DES TERRES BULL. 243 il vient

A (P A[l + fi + ^.' + !^.N

- a |— + - «+ îjj />+■■■+■ *| .

-.p±Mi±a&±a. + (»+ i «H» +a » / , + „ +> .].

- a [ü^ + i^|±g) tt + (”+3) l^fet U/,4-... +,].

23. Gela posé, formons les différences premières JA 0 zzA — A 0 , ^A 4 =A 2 —A 4 , JA s —A z —Aj, JA Z —A k — A 3 ... JA n =A n +i—A n , iA n+1 =rA n+ 2 —An+i, z/A n + 2 =A n+3 —A n + 2 , nous aurons

JA 0 — Ai — a,

J Ai — A(ï'+ï 2 ) — a(l + «),

^/A 3 — A (i’4-3^ 2 -)-3t a -(-i 4 ) — ci (1 3cc —J— 3/? —{— y),

h * L +1 “ + ~ït~ ^ -

JA„ +I = A [i + 5±1 ** + i 3 + ... + i"«]

a [ 1+ îi+i„ + (ü+l)AV+ ... + „],

Pour que, dès le début, les différences premières 11 e soient pas positives, il faut que l’on n’ait pas

soit

A t — A 0 = JA 0 —.Ai — ft>0,

Et, en effet, il est évident que : — Si le taux de l’intérêt net est supérieur au taux initial du fermage, la somme empruntée

pour l’achat de la terre doit augmenter par emprunts nouveaux avant de diminuer par amortissement.

Si, comme nous l’avons fait (19), on représente par une courbe continue les variations discontinues de la somme

restant due à la fin de chaque année, la condition i^-r

correspond à la double circonstance d’une courbe croissante pu d’une courbe décroissante à son point de départ A. La

condition correspond à la circonstance d’une courbe

cessant d’être croissante pour devenir décroissante à son point de départ, c’est-à-dire à la circonstance d’un point de maximum en A, comme cela a lieu dans le cas de la courbe AN (Fig. 2) du 1 er tableau de Gossen, où a =: 4000,

A— 100000, et où, par conséquent, 0.04 = i.

Si l’on veut -qu’à un moment donné, la somme due cesse de s’accroître, il faut poser généralement

JA n — 0, soit

d’où l’on tire successivement

ÏT2

fi + ••• + ^ i\ + ... i n+l