IV. Problèmes sur les progressions par quotient

51 0. Les formules fondamentales de la théorie des progressions par quotient

/=ar°~*, (c) s[r'^i]=lr — a, (d)

renfermant, comme celles des progressions par différence , cinq quantités a, /, n, r et 5 peuvent servir à déterminer deux d'entre elles, quand les trois autres sont connues. De là résultent dix questions analogues à celles du n° 474.

La résolution des quatre problèmes dont les inconnues sont : 1® a, n; 2** /, n; 3® w, r; 4** w, s, exigeant l'emploi des logarithmes, sera renvoyée à l'un des chapitres suivants.

5H. Problème I. Déterminer a et 1, connaissant n, r et s. Si Ton élimine / entre les équations (c) et (d), il vient

s[r — i) = a{r^—i), d'oùa=^t— ^,

et, en substituant dans (c),

s[r — ilr"""*

512. Problème IL Déterminer a e^ r, connaissant I, n e^ s. Uéquation (d) multipliée par r"*"* devient

et, en y remplaçant ar"""* par /,

sr""— sr^-^ = /r"— / ou (^— /) r"— ^r**-*-}- Z = o ; il faudra donc, pour trouver l'inconnue r, résoudre une équation du degré n, après quoi, l'équalion a = l : r°~* fera connaître la deuxième inconnue a.

51 3. Problème III. Déterminer a et s, connaissant 1, n e^ r. La formule (c) fournit immédiatement la valeur de a, et la substitution de cette valeur dans la formule (d) donne s; on trouve de cette manière

51 4. Problème IV. Déterminer 1 et r, connaissant a, n c^ s. Éliminant / entre (c) et (d), on a, pour résoudre ce problème, les deux équations

ar"" — sr-^s — a=o, l==ar^''^ ; il dépend, comme celui du n"* 512, de la résolution d'une équation du degré n.

51 5. Problème V. Déterminer 1 et s, connaissant a, n et r. L'équation (c) donne la valeur de /; et cette valeur, substituée dans l'équation (d), conduit à celle de s. Ces valeurs sont

516. Problème VI. Déterminer r et s, connaissant a, 1 et n. On tire d'abord de l'équation (c)

d'algèbre. 243

si ensuite on substitue dans Téquation (d), il vient, après avoir

multiplié par [/"a,

s\\ri—\ra) = l\ri—a^a, d'où 8=-^^ jf— .

\ri—\ra