En vertu de cette définition, on a encore, quel que

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soit le nombre représenté par y, Téquation identique

y = a'^y, dont on fera souvent usage par la suite.

528. Supposons que, dans Téquation y = a', on fasse passer y successivement par tous les états de grandeur et que, par un procédé quelcdnque, on parvienne à calculer les valeurs correspondantes de x\ Tensemble des valeurs de y et de a: constituera le système de logarithmes dont la base est a.

Comme on peut répéter la même série d'opérations en attribuant à la base a telle valeur que Ton voudra, il s'ensuit qu'il existe une infinité de systèmes de logarithmes.

529. Vunitè ne peut être prise' pour base d'un système de logarithmes; car, en faisant varier x dans Tpquation y= i*, on obtient constamment y = i ; ainsi, l'unité aurait une infinité de logarithmes, tandis que les autres nombres n'en auraient pas.

530. Dans tout système de logarithmes, le logarithme de l'unité est égal à zéro ; car, quelle que soit la valeur de la base a, on a I = a**, d'où l'on tire, à cause de la définition des logarithmes, log 1 = 0.

531 . Dans tout système de logarithmes, le logarithme de la base est égal à l'unité; car, quelle que soit la base a, on a a=a\ d'où Ton conclut log a = i.

532. Nous distinguerons deux cas relativement aux divers systèmes de logarithmes : 1** celui où la base est plus grande que l'unité; 2° celui où la base est plus petite que l'unité.

Nous n'examinerons point les systèmes de logarithmes à bases négatives, attendu qu'ils sont rarement employés et qu'ils présentent des difficultés étrangères aux éléments.

533. 1®'Cas. Dans tout système de logarithmes, dont la base est plus grande que l'unité : i^ les logarithmes des nombres plus grands que l'unité sont positifs et d'autant plus grands que ces nombres sont plus grands eux-mêmes, en sorte que le logarithme de l'infini est égal à Vin fini positif; 2" les loga-^ rithmes des nombres plus petits que l'unité sont négatifs et d'autant plus grands, abstraction faite des signes , que ces

nombres sont pltts petits, en sorte que le logarithme de zéro est égal à l'infini négatif.

1 ** Si Ton fait successivement

a? = o, ar = i, ar=2, a? = 3, a?= oo,

dans l'équation y=a', on trouve pour y les valeurs correspondantes

on a donc, en vertu de la définition des logarithmes, log 1=0, log a=i, log a*^=2, log 0^==^,,.. log <x>=<x>; d'où il suit que les nombres compris entre i et a, a et a% a* et

a^, ont leurs logarithmes compris entre o et i, i et 2, 2 et

3,,.... ; ce qui prouve la première partie de renoncé. 2° Si Ton pose, dans la même équation y =: a* ,

a?=:o, x = — I, j?= — 2, ar= — 3,.... a?= — 00,

on obtient pour y, en observant que a"*= — ^ , les valeurs dé-

croissantes

d*oii Ton conclut

conséquemment, les fractions comprises entre i et — , — et — ^ ,

— T"®* ""T»'--- o^t leurs logarithmes compris entre o et — i,

— I et — 2, — 2 et — 3, ce qui prouve la deuxième